2021届高考文科数学模拟预热卷（全国Ⅲ卷）

2021届高考文科数学模拟预热卷（全国Ⅲ卷）

【满分：150分】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，集合，全集，则为（  ）

A． B． C． D．

2.已知（其中为虚数单位），则的虚部为(   )

A.  B.  C. 2 D. 2

3.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日,每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：

甲地：总体平均数为3,中位数为4；

乙地：总体平均数为1,总体方差大于0；

丙地：总体平均数为2,总体方差为3；

丁地：中位数为2,众数为3；

则甲、乙、两、丁四地中,一定没有发生大规模群体感染的是(    )

A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地

4.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为(   )

A.30元 B.42元 C.54元 D.越高越好

5. (    )

A. B. C. D.

6.已知三点,,,则外接圆的圆心到原点的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

7.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．若一个鳖臑的主视图、侧视图、俯视图均为直角边长为的等腰直角三角形（如图所示），则该鳖臑的体积为（   ）

A. B. C. D.4

8.已知椭圆的左、右焦点为,离心率为,过的直线交椭圆于两点,若的周长为,则的方程为(   )

A.   B.
C.   D.

9.已知双曲线的右焦点,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点.则此双曲线离心率的取值范围是(   )

A.  B.  C.  D.

10.设,,,则的大小关系是（    ）

  A．    B．     C．    D．

11.在中，分别是角的对边,若,且，则的值为(   )

A.2 B. C. D.4

12.设分别是函数和的零点(其中),则的取值范围为(   )

A.  B.  C.  D.  

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知满足,则的最小值等于__________．

14.已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆，圆A与双曲线C的一条渐近线交于两点.若，则C的离心率为__________________.

15.曲线在点处的切线方程为___________.

16.已知正三棱柱中，底面积为，一个侧面的周长为，则正三棱柱外接球的表面积为_______________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. （12分）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，.

（1）求的通项公式;

（2）求数列的前n项和.

18. （12分）为助力湖北新冠疫情后的经济复苏,某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价,用不同的单价在平台试销,得到如下数据:

(1)根据以上数据,求关于的线性回归方程;

(2)若该产品成本是4元/件,假设该产品全部卖出,预测把单价定为多少时,工厂获得最大利润?

(参考公式:回归方程其中。

19. （12分）如图，在三棱锥中，，，分别为,的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）若，是面积为的等边三角形，求四棱锥的体积.

20. （12分）已知函数．

(1)若,求函数的极值和单调区间；

(2)若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数a的取值范围．

21. （12分）在圆上任取一点P,过P做x轴的垂线段,D为垂足．

(1) 当点P在圆上运动时，求线段中点Q的轨迹方程；

(2) 直线与Q的轨迹交于两点，点，求的面积．

（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22. [选修4 – 4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．

（1）求圆C的直角坐标系方程与直线的普通方程；

（2）设直线截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．

23. [选修4 – 5：不等式选讲]（10分）

已知函数

(1)当时,求不等式的解集；

(2)若的最小值为,且,求的最小值。

答案以及解析

一、选择题

1.答案：C

解析：集合 或，

集合，

全集,则；

所以.

故选：C.

2.答案： B

解析：的虚部为

3.答案：C

解析：对于甲地, 总体平均数为3,中位数为4.平均数与中位数,不能限制极端值的出现,因而可能会出现超过7人的情况,所以甲地不符合要求;

对于乙地, 总体平均数为1,总体方差大于0.没有给出方差具体的大小,如果方差很大,有可能出现超过7人的情况,所以乙地不符合要求;

对于丁地：中位数为2,众数为3.中位数与众数不能限制极端值的大小,因而可能出现超过7人的情况,所以丁地不符合要求;

对于丙地,根据方差公式.若出现大于7的数值,则,与总体方差为3矛盾,因而不会出现超过7人的情况出现.

综上可知,丙地符合要求.

故选:C

4.答案：B

解析：设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销售利润为y元.由题意得，.

上式配方得.

当时，利润最大.故选B.

5.答案：A

解析：

.

故选：A

6.答案：B

解析： 圆心在线段的垂直平分线上,故设圆心为.又圆过,所以圆的半径为b,故圆的方程为.代入点B的坐标得 ,解得,故圆心到原点的距离为.

7.答案：A

解析：根据几何体的三视图：
得知：该几何体是由一个底面以和为直角边的直角三角形和高为的四面体构成，
故：．

8.答案：A

解析：

∵的周长为，
∵的周长，
∴，
∴，
∵离心率为，
∴，，

∴，
∴椭圆C的方程为．
故选A．

9.答案：C

解析：双曲线的渐近线为.因为过点且倾斜角为的直线的斜率为,

由题意得, ,即.

所以,

所以,所以.

10.答案：D

解析：由对数函数的性质，可得，

又由，所以，，，

根据指数函数的性质，可得，所以. 故选：D.

11.答案：A

解析：中,由,利用正弦定理得，

∴,故.

由余弦定理得,即，

又,所以,求得

12.答案：D

解析：的零点是方程,即的解, 的零点是方程,即的解,即分别是与图象的交点的横坐标,可得.∵的图像与的图像关于直线对称, 的图像也关于直线对称,∴点关于直线对称,设,∴,且,∴,故的取值范围是,故选D.

二、填空题

13.答案：-6

解析：画出对应三条直线分析可得可行域为

由有,故在处取得最小值.

所以,即,故最小值

故答案为：

14.答案：

解析：为等边三角形，到直线的距离为，即，化简得.又.

15.答案：

解析：∵,∴，

又∵，

∴所求切线方程为，即.

故答案为：.

 16.答案：

解析：如图所示,设底面边长为a,则底面面积为,所以.又一个侧面的周长为,所以.设分别为上、下底面的中心,连接,设的中点为O，则点O即为正三棱柱的外接球的球心,连接,则.在直角三角形中, ，即外接球的半径,所以外接球的表面积.

三、解答题

17.答案：解：（1）设的公差为d，的公比为q，则依题意有

，

解得，．所以，．

（2）．，①

，②

②－①得，

．

18.答案：（1），

.

,

,

,

,

所以回归直线方程为.

（2）设工厂获得的利润为万元，

则

，

所以该产品的单价定为8.25元时，工厂获得利润最大，最大利润为361.25万元.

19.答案：（1）因为为的中点，所以，

所以，

因为，所以，

又因为，所以，即，

因为，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）因为，所以，从而平面，

是面积为的等边三角形，所以，可得，

.

20.答案：(1)当,,

令,得,

又的定义域为,由得,由得,

所以时,有极小值为1．

的单调递增区间为,单调递减区间为．

(2),且,令,得到,若在区间上存在一点,使得成立,即在区间上的最小值小于0．

当,即时,恒成立,即在区间上单调递减,

故在区间上的最小值为,

由,得,即．

当,即时,

①若,则对成立,所以在区间上单调递减,

则在区间上的最小值为,

显然,在区间上的最小值小于0不成立.

②若,即时,则有

所以在区间上的最小值为,
由
得,解得,即.
综上,由(1)(2)可知:符合题意

21.答案：解：（1）设点Q的坐标为，点P的坐标为，

则

因为点在圆上，

所以上，

把 代入，得，即，即为Q的轨迹方程；

（2）联立 ，

化简得，

设，则

，，点M到直线的距离为，所以．

22.答案：1.直线的参数方程为(t为参数)，消去参数t，可得：；
由圆C的极坐标方程为，

可得，根据，
可得圆C的直角坐标系方程为：，

即．

2.由1可知圆C的圆心为半径，
直线方程为；
那么：圆心到直线的距离
直线截圆C的弦长为
解得：或
故得直线截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍时a的值为32或

23.答案：(1)当时,,又,则有或或；解得或或.即或.所以不等式的解集为或 

(2)因为在处取得最小值,

所以,则,由柯西不等式

所以,当且仅当,即,时,等号成立.

故的最小值为.