2021届高考文科数学模拟预热卷（全国Ⅰ卷）

2021届高考文科数学模拟预热卷（全国Ⅰ卷）

【满分：150分】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则(   )

A. B. C. D.

2.在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.某人在地上画了一个角,他从角的顶点出发,沿角的一边行走后,拐弯往另一边的方向行走正好到达的另一边上的一点,我们将该点记为点,则与之间的距离为(   )。

A. B.  C. D.

4.第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16 日在郑州举行，甲、乙两人都想去现场观看比 赛，他们到车站买动车票，甲买票用微信支付的概率为0.4，乙买票用微信支付的概率为0. 3，两人是否用微信支 付互不影响，则恰有一人用微信支付的概率为(    )

A.0.46 B.0.58 C.0.7 D.0.88

5.某工厂的每月各项开支与毛利润（单位：万元）之间有如下关系，与的线

性回归方程是，则(   )

A.17.5 B.17 C.15 D.15.5

6.圆与圆有三条公切线,则半径(   )

A.5 B.4 C.3 D.2

7.已知函数.给出下列结论：

①的最小正周期为；

②是的最大值；

③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象.

其中所有正确结论的序号是(   )

A.① B.①③ C.②③ D.①②③

8.已知实数满足,则实数的大小关系为(   )

A. B.  C. D.

9.执行如图所示的程序框图，若输入的，输出的S大于2 020，则判断框中的整数m最小为(   )

A.5 B.6 C.7 D.8

10.已知等差数列的前n项和为,则(   )

A.3 B.6 C.9 D.12

11.已知是双曲线的左、右焦点，过点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于两点.若为等边三角形，则双曲线C的离心率为(   )

A. B. C.2 D.3

12.正方体的棱长为1,点是棱的中点,点都在球的球面上,则球的表面积为(   )

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若满足约束条件则的最大值为____________.

14.的三内角所对的边分别为,设向量,若,则的值为_____________。

15.已知曲线在点处的切线为,若与曲线相切,则____________.

16.已知数列的通项公式为,记数列的前项和为.若,则数列的通项公式为__________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. （12分）某校高三年级在5月份进行了一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：

已知用分层抽样的方法在不低于550分的考生中随机抽取5名考生进行质量分析，其中文科考生抽取了2名。

（1）求z的值；

（2）如图9-18是不低于550分的6名文科考生的语文成绩的茎叶图，计算这6名考生的语文成绩的方差。

18. （12分）在中,内角所对的边分别为,已知,且.

(1)求角的大小;

(2)若,求的面积.

19. （12分）如图,三棱柱中,.

(1)证明:;

(2)若,求三棱柱的体积.

20. （12分）已知函数

(1)求曲线在点处的切线方程

(2)当时,证明

(3)判断在定义域内是否为单调函数,并说明理由.

21. （12分）已知直线，圆，椭圆的离心率，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线的斜率都存在，求证：两条切线斜率之积为定值.

（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22. [选修4 – 4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.
(1)为曲线的动点,点在线段上,且满足,求点的轨迹的直角坐标方程;
(2)设点的极坐标为,点在曲线上,求面积的最大值.

23. [选修4 – 5：不等式选讲]（10分）

已知函数.

(1)当时,求不等式的解集.

(2)若函数的图像与轴没有交点,求实数的取值范围.

答案以及解析

一、选择题

1.答案：B

解析：，所以，则，选B.

2.答案：D

解析：,所以的共轭复数为,在复平面内对应的点为,位于第四象限,故选D.

3.答案：C

解析：如图,设,

则,

。

。

或(舍去)。

与之间的距离为。

4.答案：A

解析：设事件A为“甲买票用微信支付"，事件B为“乙 买票用微信支付”，事件C为“恰有一人用微信支付”，依题意得，,所以故选 A.

5.答案：A

解析：;因为与的线性回归方程为,代入，得故选：A

6.答案：C

解析：由圆,得,圆心坐标为,半径为2；由圆,得圆心坐标为,半径为r.圆与圆有三条公切线,两圆相外切,

,即,.故选C.

7.答案：B

解析：的最小正周期为，①正确；为的最大值，②错误；将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，③正确.故选B.

8.答案：D

解析：依题意,,故.

9.答案：A

解析：运行程序，输入，此时，执行下一步，

，

不成立，；

不成立，；

不成立，；

不成立，；

成立.所以满足题意的整数m最小为5.故选A.

10.答案：B

解析：设等差数列的公差为.,.故选B.

11.答案：B

解析：如图所示，设，由于为等边三角形，所以，所以，即.又，所以.在中，，根据余弦定理得，整理得，即，所以离心率.故选B.

12.答案：C

解析：如图,分别取的中点,连接,则为直四棱柱,该直四棱柱的八个顶点均在球的球面上.设球半径为,则,所以,则球的表面积为,选C.

二、填空题

13.答案：2

解析：作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示.观察可知,当直线过点时,取得最大值,最大值为2.

14.答案：

解析：因为,

所以,

即,

,

.

15.答案：8

解析：令,则.因为,所以曲线在点处的切线的斜率,则曲线在点处的切线方程为,即.联立得方程组所以.由于切线与曲线相切,故,解得.

16.答案：

解析：因为,所以.所以当时,,两式相减,得,所以;当时,,所以.综上所述,.

三、解答题

17.答案：（1）依题意，得。

（2）这6名文科考生的语文成绩的平均分为，

则这6名考生的语文成绩的方差为。

18.答案：(1),即.

由正弦定理可得,,即.

,即.

(2),

,

则的面积.

19.答案：(1)如图,取的中点,连接.

因为,所以.

由于,

故为等边三角形,所以.

因为,所以平面.

又平面,故.

(2)由题设知与都是边长为2的等边三角形,

所以.

又,则,故.

因为,所以平面,

即为三棱柱的高.

又的面积,

故三棱柱的体积.

20.答案：函数的定义域为,．

(1)因为,,

所以曲线在点处的切线方程为,

即

(2)当时,． 

欲证,

即证,

即证．

令,

则．

当变化时,变化情况如下表：

所以函数的最大值为,故．

所以．

(3)函数在定义域内不是单调函数．理由如下：

令

因为,

所以在上单调递减．

注意到．

且．

所以存在,使得．

当时,,从而,所以函数在上单调递增；

当时,,从而,所以函数在上单调递减．

故函数在定义域内不是单调函数．

21.答案：(1)设椭圆的半焦距为c，

圆心O到直线l的距离，

则l被圆O截得的弦长为，所以.

由题意得

又，所以.所以椭圆E的方程为.

(2)设点，过点P的椭圆E的切线的方程为，整理得.

联立直线与椭圆E的方程得

消去y，得，整理得，

因为切线与椭圆E相切，

所以，

整理得，

因为，所以.

设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为，

则.

因为点P在圆O上，所以，所以.

所以两条切线斜率之积为定值.

22.答案：(1)设的极坐标为,的极坐标为.

由题设知,.

由得的极坐标方程.

因此的直角坐标系方程为.
(2)设点的极坐标为.

由题设知,,

于是面积

.

当时, 取得最大值.

所以面积的最大值为.

23.答案：(1)当时,不等式可化为,即,

或,解得或.

(2)当时,

要使函数的图像与轴没有交点,只需即；

当时,,函数的图像与轴有交点；

当时,

要使函数的图像与轴没有交点,只需此时无解.

综上所述,函数的图像与轴没有交点时,实数的取值范围为.