2021届高考数学模拟预热卷（新高考）（二）

2021届高考数学模拟预热卷（新高考）（二）

【满分：150分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合,若,则实数m构成的集合是(   )

A.  B. C.  D.

2.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为(   )

A．2              B．          C．             D．

3.为了落实中央提出的精准扶贫政策，永济市人力资源和社会保障局派3人到开张镇石桥村包扶5户贫困户，要求每户都有且只有1人包扶，每人至少包扶1户，则不同的包扶方案种数为（    ）

A.30    B.90 C.150 D.210

4.的内角的对边分别为。若的面积为,则(   )。

A. B. C. D.

5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是(   )

A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差

6.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,下表是某公司前5天监测到的数据:

则下列函数模型中,能较好地反映计算机在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是(   )

A.  B.

C.  D.

7.在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，则 （     ）

A．     B．       C．        D．

8.函数是上的奇函数，满足当时，，则(   )

A.2              B.             C.              D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中的有关结论正确的是(   )

A． B． C． D．

10.已知数列的前n项和为，若是与的等差中项，则下列结论中正确的是(   )

A.当且仅当时，数列是等比数列 B.数列一定是单调递增数列

C.数列是单调数列 D.

11.已知函数的定义域为,导函数为,且,则(   )

A.  B.在处取得极大值

C.  D.在上单调递增

12.某学校共有6个学生餐厅,甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择到每个餐厅概率相同),则下列结论正确的是(   )

A.四人去了四个不同餐厅就餐的概率为

B.四人去了同一餐厅就餐的概率为

C.四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为

D.四人中去第一餐厅就餐的人数的数学期望为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知分别是双曲线的左、右焦点，P是抛物线与双曲线的一个交点.若，则抛物线的准线方程为_________.

14.若正项数列的前n项和为，且，定义数列对于正整数是使不等式成立的n的最小值，则的前10项和为            .

15.如图,在棱长为2的正方体中,为的中点,为直线上一动点,则点到直线的距离的最小值为_______________.

16.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3其外接球的体积为________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （10分）在中，，点 在边上，.

(1) 求 ;

(2) 求的面积.

18. （12分）已知数列的前5项分别为1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5,数列满足.

(1)求的前项和.

(2)求数列的前项和.

19. （12分）体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度（单位：）平均在之间即为正常体温，超过即为发热．发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：；高热：；超高热（有生命危险）：.

某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗. 医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间，患者每天上午8:00服药，护士每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下：

（1）请你计算住院期间该患者体温不低于的各天体温平均值；

（2）在19日—23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“项目”的检查，记为高热体温下做“项目”检查的天数，试求的分布列与数学期望；

（3）抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由．

20. （12分）如图所示,该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成的,.

(1)证明：平面平面；

(2)求正四棱锥的高,使得二面角的余弦值是.

21. （12分）已知函数。

（1）当时，若函数恰有一个零点，求a的取值范围；

（2）当时，恒成立，求m的取值范围。

22. （12分）已知椭圆的离心率为,且过点

(1)求的方程；

(2)点在上,且,为垂足,证明：存在定点,使得为定值.

答案以及解析

一、单项选择题

1.答案：B

解析：因为,所以.若,即,

，符合题意.若,即,当时, ,不符合题意;当时, ,符合题意.所以实数m构成的集合为.

2.答案：A

解析：复数，它是纯虚数，所以，

故选A

3.答案：C

解析：根据题意,分2步进行分析: 
①、将5户贫困户分成3组,若分成2、2、1的三组,有种分组方法, 
若分成3、1、1的三组,有种分组方法, 
则有种分组方法, 
②、将分好的三组全排列,对应派出的3人,有种情况, 
则有种不同的包扶方案, 
所以C选项是正确的.

4.答案：C

解析：已知的面积为,又,所以,整理可得。根据余弦定理可知,所以。因为,所以。故选C。

5.答案：A

解析：记9个原始评分分别为(按从小到大的顺序排列),易知为7个有效评分与9个原始评分的中位数,故不变的数字特征是中位数,故选A.

6.答案：D

解析：对于A选项,当时,对应的y值分别为;对于B选项,当时,对应的y值分别为;对于C选项,当时,对应的y值分别为;对于D选项,当时,对应的y值分别为.而表中所给的数据当时,对应的y值分别为,通过比较,即可发现选项D中y的值误差最小,即能较好地反映y与x之间的关系,故选D.

7.答案：C

解析：如图所示,

中,，

∴，

再由可得，

∴；

又，

∴，

∴；

又

∴.

故选：C.

8.答案：B

解析：∵

∴

又∵函数是定义在上的奇函数

∴

∴∴

则是函数的一个周期

设则

即，

∴故选：B

二、多项选择题

9.答案：ABCD

解析：因为点在双曲线上，结合双曲线的定义可得由题意得,解出在三角形中，设，又,所以,当时，由余弦定理得即：所以，即，∴又，可得同理当时，可得，即，又，可得

10.答案：CD

解析：因为是与的等差中项，所以，所以.又，所以，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，，故选项A错误.当时，数列是单调递减数列，故选项B错误.因为，所以，当时，数列是单调递减数列；当时，数列是单调递增数列，故选项C正确.由于，故选项D正确.所以正确选项为CD.

11.答案：ACD

解析：函数的定义域为,导函数为,即满足.

.

可设(为常数),.

,解得.

.

,满足C正确.

,且仅有,

B错误,A,D正确.故选ACD.

12.答案：ACD

解析：四位同学随机选择一家餐厅就餐有种选择方法.四人去了四个不同餐厅就餐的概率为，所以选项A正确；四人去了同一餐厅就餐的概率为，所以选项B不正确；四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为，所以选项C正确；每位同学选择去第一餐厅的概率为，所以去第一餐厅就餐的人数，所以，所以选项D正确.故选ACD.

三、填空题

13.答案：

解析：将双曲线方程化为标准方程得，则为抛物线的焦点，抛物线的准线方程为，联立解得(舍去)，即点P的横坐标为.由解得，，解得，抛物线的准线方程为.

14.答案：1033

解析：当时，，解得.

当时，

整理，得.由题意得，

，故为等差数列，且.

令，则，且，，.

的前10项和为 .

15.答案：

解析：点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离.以点为原点,分别以的方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系,则,设,则,,取,则.又异面直线与的距离.

16.答案：

解析：如图所示：

设球心为，所在圆面的圆心为，则平面；因为，，所以是等腰直角三角形，所以是中点；所以当三棱锥体积最大时，为射线与球的交点，所以；因为，设球的半径为，所以，所以，解得：，所以球的体积为：.

四、解答题

17.答案：（1）由，知，

则.

（2）在中，由正弦定理得，即，

即，所以，

于是.

18.答案：(1)由,得.

所以.

所以.

(2)记.

则

.

设,①

则.②

,得,

所以.

所以.

19.答案：（1）由表可知，该患者共6天的体温不低于，记平均体温为，·

．

所以，患者体温不低于的各天体温平均值为.

（2）的所有可能取值为0,1,2．

, 

,

．

则的分布列为：

所以．

（3）“抗生素”治疗效果最佳可使用理由：

“抗生素”使用期间先连续两天降温又回升，“抗生素”使用期间持续降温共计，说明“抗生素”降温效果最好，故“抗生素”治疗效果最佳．

抗生素”治疗期间平均体温，方差约为0.0156；“抗生素”平均体温，方差约为0.1067，“抗生素”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素”治疗效果最佳．

“抗生素”治疗效果最佳可使用理由：

自使用“抗生素”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素”治疗当天共降温，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素”治疗效果最佳．

20.答案：(1)在直三棱柱中,平面,

平面,所以.

又平面平面,

所以平面.

因为平面,所以平面平面.

(2)由(1)知平面,如图,以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,

则,.

设平面的法向量为,

则取,则,

所以.

设平面的法向量为,

则取,则,

所以.

因为二面角的余弦值为,

所以,

解得或(舍),

所以正四棱锥的高.

21.答案：（1）由题知定义域为，当时，

所以

①当时，，时无零点。

②当时，，在内单调递增，

取，则

又因为，所以，所以由1个零点。

③当时，令，得，

当时，所以在单调递减。

要使恰有一个零点，则，。

（2）令，

由题意时，恒成立，，

若，则当时，恒成立，

所以在内是增函数，且，所以不符合题意。

若，则当时，恒成立，

所以在内为增函数，且，所以不符合题意。

若，则当时，恒有。故在区间内是减函数，

所以对任意都成立的充要条件是即

解得故,综上，m的取值范围是

22.答案：(1)由题设得,解得.

所以的方程为.

(2)设.

若直线与轴不垂直,设直线的方程为,代入得

.

于是.①

由知,故,可得.

将①代入上式可得.

整理得.

因为不在直线上,所以,故.

于是的方程为.

所以直线过点,若直线与轴垂直,可得,

由得.

又,可得.解得（舍去）,.

此时直线过点.

令为的中点,即.

若与不重合,则由题设知是的斜边,故.

若与重合,则.

综上,存在点,使得为定值.