2021届高考数学模拟预热卷（新高考）（一）

2021届高考数学模拟预热卷（新高考）（一）

【满分：150分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合,则(   )

A. B. C. D.

2.已知纯虚数满足,其中为虚数单位,则实数等于(   )

A. B.1 C. D.2

3.5名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革——庆祝改革开放40周年大型展览”,参观结束后5名同学排成一排照相留念,若甲、乙二人不相邻,则不同的排法共有(   )

A.36种 B.48种 C.72种 D.120种

4.如图,从山顶望地面上两点,测得它们的俯角分别为和,已知米,点位于上,则山高等于(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

5.设有两组数据与，它们的平均数分别是和，则新的一组数据的平均数是(   )。

A. B. C. D.

6.毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为.若新丸经过50天后，体积变为，则一个新丸体积变为需经过的时间为(    )

A.125天    B.100天    C.75天    D.50天

7.在中，角所对的边分别为，且．若，则的形状是（ 　　）

A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

8.已知定义在上的函数满足,且当时,，若方程有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是(   )

A.   B.   C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.设O为坐标原点，是双曲线的焦点.若在双曲线上存在点P，满足，则(   )

A.双曲线的方程可以是 B.双曲线的渐近线方程是

C.双曲线的离心率为 D.的面积为

10.等差数列的前项和为,已知,则(   )

A.  B.的前项和中最小

C.的最小值为  D.的最大值为0

11.已知函数,下列说法正确的是(   )

A.函数为偶函数

B.若,其中,则

C.函数在上单调递增

D.若,则

12.信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵，(   )

A.若，则

B.若，则随着的增大而增大

C.若，则随着的增大而增大

D.若，随机变量所有可能的取值为，且，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.抛物线上到其焦点的距离为1的点的个数为__________.

14.已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则               .

15.已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的内切球的体积为________．

16.已知长方体木块中,从该木块中挖去一个圆锥,使得圆锥的顶点为正方形的中心,底面圆为正方形的内切圆,则剩余部分的表面积为_____________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （10分）已知的内角的对边分别为,设,且.

(1)求及；

(2)若,求边上的高.

18. （12分）设是公比不为1的等比数列,为的等差中项.

(1)求的公比；

(2)若,求数列的前项和.

19. （12分）为评估设备M生产某种零件的性能,从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:

经计算,样本的平均值,标准差,以频率作为概率的估计值.

(1)为评估设备M的性能,从样本中任意抽取一个零件,记其直径为X,并根据以下规则进行评估(P表示相应事件的频率):

①;②;③.

若同时满足上述三个不等式,则设备M的性能等级为甲;若满足其中两个不等式,则设备M的性能等级为乙;若仅满足其中一个不等式,则设备M的性能等级为丙;若全部不满足,则设备M的性能等级为丁.试判断设备M的性能等级.

(2)将直径小于或等于或直径大于的零件认为是次品.

(i)从设备M的生产流水线上任意抽取2个零件,计算其中次品个数Y的数学期望;

(ii)从样本中任意抽取2个零件,计算其中次品个数Z的数学期望E(Z)

20. （12分）已知圆锥的顶点为,底面圆心为,半轻为.

(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积

(2)设是底面半径,且,为线段的中点,如图,求异面直线与所成的角的大小

21. （12分）已知函数,函数的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数的图象．

(1)写出的解析式：

(2)若时，总有成立，求实数m的取值范围．

22. （12分）已知椭圆的离心率为,点在上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设为坐标原点,,试判断在椭圆上是否存在三个不同点(其中的纵坐标不相等),满足,且直线与直线倾斜角互补？若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由.

答案以及解析

一、单项选择题

1.答案：A

解析：集合.

2.答案：B

解析：因为,所以.又是纯虚数,所以,所以.故选B.

3.答案：C

解析：除甲、乙二人外,其他3名同学排成一排,不同的排法有(种),这3名同学排好后,留下4个空位,排甲、乙,不同的排法有(种),所以不同的排法有(种).

4.答案：D

解析：在中, 米

在中米,∴米

5.答案：B

解析：设，则。

6.答案：C

解析：由题意知，当时，有.

即，得.

所以当时，有.

即，得.

所以.故选C.

7.答案：C

解析：在中，∵，
∴，

∵，∴．
∵，

∴，代入，
∴，​解得．

∴的形状是等边三角形．

8.答案：D

解析：因为,且当时, ,所以当时, ,则,当时, ,则在上单调递减.因为方程有三个不同的交点,作出函数的大致图象,如图所示.当直线和的图象相切时,结合图象,设切点为,由,可得,代入方程,可得;当直线过点时, ,由图可知实数a的取值范围是.

二、多项选择题

9.答案：BC

解析：如图，为的中点，，

，

即.

又，

.①

又由双曲线的定义得，

.

即.②

由①②得.

在中，由余弦定理得

，

，即.

又，即.

双曲线的渐近线方程为.

双曲线的离心率为，双曲线的方程可以是，

的面积.故BC正确.

10.答案：BC

解析：设数列的公差为,则解得,A错误;,B正确;,设函数,则,当时,,当时,,所以,

,且,所以最小值为,C正确;

,没有最大值,D错误.

11.答案：ABD

解析：对于A,,所以函数为偶函数,故A正确;

对于B,若,其中,则,即,得,故B正确;

对于C,函数,由,解得,所以函数的定义域为,因此在上不具有单调性,故C错误;

对于D,因为,所以,所以,故,故D正确.故选ABD.

12.答案：AC

解析：对于选项A，若，则，，，A正确.对于选项B，当时，，当时， ，由此可得，当与时，信息熵相等，B不正确.对于选项C，若，则，随着的增大而增大，C正确.对于选项D，若，随机变量的可能取值为，由知，；；；；.，，.易知，，，，，，，故D错误.

三、填空题

13.答案：1

解析：本题考查抛物线的定义.由题知焦点，设抛物线上的点，则，解得，则，所以抛物线上到其焦点的距离为1的点的个数为1.

14.答案：2

解析：

15.答案：

解析：三棱锥展开后为一等边三角形,设边长为,则，

∴三棱锥棱长为,三棱锥的高为，

设内切球的半径为,则，

∴，

∴三棱锥的内切球的体积为

故答案为：

16.答案：

解析：剩余部分的表面积为长方体木块的表面积减去一个半径为的圆的面积,再加上一个底面半径为,高为的圆锥的侧面积,即.

四、解答题

17.答案：(1)因为,根据正弦定理得,

又因为,

因为所以,

(2)由(1)知,

由余弦定理得

因为,所以所以

设BC边上的高为.

,

即BC边上的高为.

18.答案：(1)设的公比为,由题设得,即.

所以,解得(舍去),.

故的公比为.

(2)记为的前项和.由(1)及题设可得,.所以,

.

可得

.

所以.

19.答案：(1)因为,,,

所以设备M的性能等级为丙.

(2)易知样本中次品共6个,可估计设备M生产零件的次品率为0.06.

(i)由题意可知,于是.

(ii)Z的分布列为

故.

20.答案：(1)记圆锥底面半径为R,联结,则底面,

为圆锥的高,记其长度为,∴;

根据题意,

∴在中, ;

圆锥底面积

故圆锥体积 

(2)找到中点,并联结

根据中位线定理, 且(),故异面直线与所成角的大小,即为与所成角的大小

又为中点,故;而故在等腰中算得: 、

故在中

故,即异面直线与所成角的大小为

21.答案：(1)由题意， 设是函数图象上的任意一点，

则P关于原点的对称点Q的坐标为．

因为已知点Q在函数的图象上，

所以，而，

所以，所以，

而是函数图象上的点，

所以．

(2)当时，

 ．

下面求当时的最小值．

令，则．

因为，即，解得，

所以．

又，所以，

所以，

所以 时，的最小值为0.

因为当时，总有成立，

所以，即所求m的取值范围为． 

22.答案：(1)由题意知

可得,,,解得,,

则椭圆的方程为；

(2)由题意,直线的斜率存在且不为0,设直线方程为,

设点,

联立,得,

所以 ,,   

 ,

因为,

所以,

因为在椭圆上,所以,

化简得,

满足,

又因为直线与直线倾斜角互补,

所以,

所以,

所以,

所以,

所以,

因为,所以,代入得,    

所以存在满足条件的三个点,此时直线的方程为或.