数学七年级下册6.3 实践与探索优秀第1课时学案设计

第6章 一元一次方程

6.3  实践与探索

第1课时 面积与体积问题探索

学习目标：1．体会用不同的设未知数方法解决实际问题的思维方式；（重点）

          2．掌握用一元一次方程解决面积与体积问题的一般方法．（重点，难点）

自主学习

知识链接

1．常见的面积公式：长方形的面积=____×____，正方形的面积=________，三角形的面积=×____×____，梯形的面积=×（_______+_______）×____．

2．常见的体积公式：长方体的体积=____×____×____，正方体的体积=________，圆柱的体积=π×___________×____，圆锥的体积=π×____________×____．

合作探究

一、要点探究

探究点1：面积问题

合作探究：

如图，小刚将一个正方形纸片剪去一个宽为5 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为6 cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，求所剪下的两个长条的面积之和．

（1）找等量关系：①面积相等：________________的面积=________________的面积；②正方形的邻边相等：正方形的边长=_______________的长=________________的长+5 cm．

（2）设元、列方程：若设正方形的边长为x cm，则第一次剪下的长条的长是____cm，第二次剪下的长条的长是________cm，那么可根据等量关系①列方程为________________；若直接设所剪下的两个长条的面积之和为S cm2，由于两次剪下的长条面积正好相等，故两次剪下的长条面积都是____cm2，则可根据等量关系②列方程为________________．

（3）对比、思考：你认为用哪种思维列方程更简单？哪个方程更容易求解？第①种方法中方程的解是最后答案吗？

（4）求解：分别根据上述两种思路完成后面的求解过程，并检验最后的结果是否相同．

探究点2：体积问题

【典例精析】

例 有一块棱长为0.6 m的正方体钢坯，想将它锻压成横截面是0.008 m2的长方体钢材，锻成的钢材有多高？

要点归纳：等积变形问题中，一般根据变形前后的面积或体积关系列方程求解，注意牢记各种常见几何图形的面积和体积公式．

【针对训练】

1．第一块试验田的面积比第二块试验田的3倍还多200 m2，这两块试验田共3000 m2，两块试验田的面积分别是多少平方米？

2．将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱，锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？

二、课堂小结

1．当实际问题中的等量关系不唯一时，设未知数的方法往往也不唯一，可以灵活选择.

2．等积变形问题中一般根据变形前后的体积关系列方程求解．

当堂检测

1．某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱，现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m，那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变成（　　）

A．3.125 m          B．6.25 m          C．7.2 m             D．8 m

2．如图，宽为50 cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（　　）

A．400 cm2          B．500 cm2          C．300 cm2             D．750 cm2

第2题图                                     第3题图

3．如图，一个瓶子的容积为500 mL，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20 cm，倒放时，空余部分的高度为5 cm（如图）．则瓶内溶液的体积为_______mL（提示：可设瓶子的底面积为x cm2，“图1中溶液体积+图2中空余部分体积=瓶子的容积”求出x的值，再求溶液体积）．

4．用一根长为80厘米的铁丝围成一个长方形．

（1）如果长方形的长比宽多10厘米，那么这个长方形的面积为________________平方厘米；

（2）如果长方形的长比宽多4厘米，那么这个长方形的面积为______平方厘米．

（1）和（2）小问中的问题一样，可以把2中的适当改成宽比长少4cm

5．如图，甲、乙两个等高圆柱形容器，内部底面积分别为20平方厘米，50平方厘米，且甲中装满水，乙是空的.若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲中的水位高度低了3厘米，求这两个容器的高度．

参考答案

自主学习

知识链接

1．长   宽   边长2   底   高   上底   下底   高

2．长   宽   高   棱长3   底面圆半径2   高   底面圆半径2   高

合作探究

一、要点探究

探究点1：面积问题

合作探究：

（1）①第一次剪下的长条   第二次剪下的长条   ②第一次剪下的长条   第二次剪下的长条

（2）x  (x-5)  5x=6（x-5）      ÷5=÷6+5

（3）第①种思维列方程更简单，也更容易求解．第①种方法中方程的解不是最后答案．

（4）解法①：由5x=6（x-5），解得x=30．30×5×2=300（cm2）．

解法②：由÷5=÷6+5，解得S=300．

检验发现，两种解法最后的结果相同．

答：所剪下的两个长条的面积之和为300 cm2．

探究点2：体积问题

【典例精析】

例 解：设锻成的钢材有x m高，则依题意可得0.008x=0.63，解得x=27．

答：锻成的钢材有27 m高．

【针对训练】

1．解：设第二块试验田的面积为x平方米，则有3x+200+x=3000，解得x=700．3000-700=2300（m2）．

答：第一块和第二块试验田的面积分别为2300 m2和700 m2．

2．解：设高变成了x厘米，则有π×x=π××36，解得x=9．

答：高变成了9厘米．

当堂检测

1．B

2．A

3．400  解析：设瓶子的底面积为x cm2，根据题意得x•(5+20)=500，解得x=20，则溶液体积为20×20=400（mL）．

4．解：（1）设长方形的宽为x厘米，则长方形的长为（x+10）厘米，根据题意可知x+（x+10）=40，所以x=15，故长方形的长为25厘米，宽为15厘米，则面积为25×15=375（平方厘米），

答：这个长方形的面积为375平方厘米.

（2）396  解析：设长方形的宽为y厘米，则长方形的长为（y+4）厘米，根据题意可知：y+（y+4）=40，所以y=18厘米，故长方形的长为22厘米，宽为18厘米，面积为22×18=396（平方厘米）．

5．解：设甲、乙两容器的高度均为x cm，根据题意，得20x=50（x-3），解得x=5．

答：这两个容器的高度均为5 cm．