中考数学复习专题-【二次函数】高频考点专项含答案

这是一份中考数学复习专题-【二次函数】高频考点专项含答案，共14页。试卷主要包含了关于抛物线y＝3，已知二次函数y＝，已知二次函数y＝a等内容，欢迎下载使用。


一．选择题
1．关于抛物线y＝3（x﹣1）2+2，下列说法错误的是（ ）
A．开口方向向上
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标为（1，2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
2．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，那么该二次函数图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1
3．将抛物线y＝﹣2x2﹣3向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣2（x+2）2+2B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣2
C．y＝﹣2（x+2）2﹣2D．y＝﹣2（x﹣2）2﹣5
4．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，说法正确的是（ ）
A．若图象经过点（0，1），则﹣＜a＜0
B．若x＞﹣时，则y随x的增大而增大
C．若（﹣2020，y1），（2020，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2
D．若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则≤m＜2
5．对于抛物线y＝ax2+2ax，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根
7．已知函数y1＝ax2﹣2ax+c（a＞0），y2＝﹣ax2+2ax+c，当0≤x≤2时，2≤y1≤3，则当0≤x≤2时，y2的最大值是（ ）
A．﹣3B．2C．3D．4
8．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内只有一个实数根，则t的取值范围是（ ）
A．0≤t＜8或t＝﹣1B．t≥0
C．0＜t＜8D．0≤t＜8
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其中y与x的部分对应值如表：
下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0
B．4a+2b+c＞0
C．若x＜﹣1或x＞3时，y＞0
D．方程ax2+bx+c＝5的解为x1＝﹣2，x2＝3
10．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣x2+50xB．y＝﹣x2+24x
C．y＝﹣x2+25xD．y＝﹣x2+26x
11．已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣2B．a＜4C．﹣2≤a＜4D．﹣2＜a≤4
12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①b2＞4ac；②b+2a＜0；③当x＜﹣，y随x的增大而增大；④a﹣b+c＜0中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题
13．如果抛物线y＝x2+（b+3）x+2c的顶点为（b，c），那么该抛物线的顶点坐标是 ．
14．如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．
现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为 ．
15．如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝﹣x2+x+，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米．
16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点．则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 ．
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
则代数式（4a+2b+c）（a﹣b+c）的值为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，经过点A、B的抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）的顶点为E．若△ABE为等腰直角三角形，则a的值为 ．
三．解答题
19．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）把表达式化成y＝﹣2（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标与对称轴．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2bx+1．
（1）若此抛物线经过点（﹣2，﹣2），求b的值；
（2）求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点A（m，m）和B（n，n），且|m|＞2，|n|＜2，求b的取值范围．
21．某水果批发商销售每箱进价为40元的水果，市场调研发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，每箱价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）直接写出平均每天的销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（x＞50）的关系式 ；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）的关系式；
（3）求当每箱水果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？
22．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，点D与点B关于抛物线的对称轴对称，联结BC、BD．
（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；
（2）点E在线段BC上，当∠CED＝∠OBD时，求点E的坐标；
（3）点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．
23．已知，抛物线y＝ax2+bx+c，过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），点M为顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，并求出P的坐标；
（3）若直线l经过点 C、M两点，且与x轴交于点E，判断△AEC的面积与△BCM的面积是否相等？请说明理由．
24．某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度为3m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；
（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m处，通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；
（3）点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，当点P的纵坐标为2时，过点P作直线PQ∥x轴，点M为直线PQ上的一个动点，过点M作MN⊥x轴于点N，在线段ON上任取一点K，当有且只有一个点K满足∠FKM＝135°时，请直接写出此时线段ON的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标是（1，2），对称轴是直线x＝1，根据a＝3＞0，得出开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴A、B、C说法正确；
D说法错误．
故选：D．
2．解：∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴对称轴是：直线x＝2．
故选：A．
3．解：∵抛物线y＝﹣2x2﹣3向右平移2个单位长度，
∴平移后解析式为：y＝﹣2（x﹣2）2﹣3，
∴再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为：y＝﹣2（x﹣2）2﹣3+1．
即y＝﹣2（x﹣2）2﹣2；
故选：B．
4．解：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，
∵a＜0，1＜m＜2，
∴﹣1＜a＜﹣，故选项A错误；
∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），a＜0，
∴该函数的对称轴为直线x＝，
∴0＜＜，
∴当x＜时，y随x的增大而增大，故选项B错误；
∴若（﹣2020，y1），（2020，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2，故选项C正确；
∴若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤，故选项D错误；
故选：C．
5．解：当x＝1时，y＝a+2a＝3a＞0，
函数的对称轴为：x＝﹣1，
顶点纵坐标为：0﹣＝﹣a＜0，
故顶点的横坐标和纵坐标都为负数，
故选：C．
6．解：函数y＝ax2+bx+c向上平移个单位得到y′＝ax2+bx+c+，
而y′顶点的纵坐标为﹣2+＝﹣，
故y′＝ax2+bx+c+与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧，
故ax2+bx+c+＝0有两个同号不相等的实数根，
故选：D．
7．解：由题意得：当0≤x≤2时，函数y1在对称轴x＝1时取得最小值，即y1＝a﹣2a+c＝2①，
函数y1在x＝2时，取得最大值，即y1＝4a﹣4a+c＝3②，
联立①②并解得：，
故y2＝﹣ax2+2ax+c＝﹣x2+2x+3，
当0≤x≤2时，y2在对称轴处取得最大值，
∴当x＝1时，y＝4，
故最大值是4，
故选：D．
8．解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．
∴﹣＝2，解得：b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x+3，
∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0有实数根可以看做y＝x2﹣4x+3与函数y＝t只有一个交点，
∵方程x2﹣4x+3﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内只有一个实数根，
当x＝1时，y＝0；
当x＝5时，y＝8；
当x＝2时，y＝﹣1；
∴t的取值范围是0≤t＜8或t＝﹣1．
故选：A．
9．解：∵x＝0.5，y＝﹣3.75；x＝1.5，y＝﹣3.75，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∵设y＝a（x+1）（x﹣3），
把（﹣2，5）代入得5＝a×（﹣2+1）（﹣2﹣3），解得a＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴abc＞0，所以A选项错误；
4a+2b+c＝4﹣4﹣3＝﹣3＜0，所以B选项错误；
∵抛物线开口向上，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴x＜﹣1或x＞3时，y＞0，所以C选项正确；
方程ax2+bx+c＝5表示为x2﹣2x﹣3＝5，解得x1＝﹣2，x2＝4，所以D选项错误．
故选：C．
10．解：设饲养室长为xm，占地面积为ym2，
则y关于x的函数表达式是：y＝x•（50+2﹣x）＝﹣x2+26x．
故选：D．
11．解：y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9
＝x2﹣2ax+a2﹣2a+8，
∵图象与x轴没有公共点，
∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣2a+8）＜0
解得a＜4；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∴a≥﹣2，
∴实数a的取值范围是﹣2≤a＜4．
故选：C．
12．解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∴b＝3a，
∴b+2a＝5a，
而抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∴b+2a＜0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＜﹣，y随x的增大而增大，所以③正确；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，所以④错误．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
13．解：根据顶点公式：b＝﹣，
解得：b＝﹣1，
c＝＝，
解得：c＝1．
所以抛物线的顶点坐标是（﹣1，1）
故答案为：（﹣1，1）．
14．解：设将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y＝（x﹣1﹣m）2﹣1，
将（3，3）代入，得（3﹣1﹣m）2﹣1＝3．
整理，得4﹣m＝±2
解得m1＝2，m2＝6．
故新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．
故答案是：y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．
15．解：由题意可得：
y＝﹣x2+x+＝﹣（x2﹣8x）+
＝﹣（x﹣4）2+3，
故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．
故答案为：3．
16．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点，
∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0．
17．解：观察表格可知：x＝0时，y＝7，x＝2时，y＝7，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，
∵x＝3时，y＝13，
∴x＝﹣1时，y＝13，
∴4a+2b+c＝7，a﹣b+c＝13，
∴（4a+2b+c）（a﹣b+c）的值为91，
故答案为91．
18．解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，且A、B关于直线x＝2对称，
过E作EF⊥x轴于F，交AB于D，
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴AD＝BD＝2，
∴AB＝4，DE＝AB＝2，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝AB＝BC＝OC＝4，EF＝4+2＝6，
∴A（0，﹣4），E（2，﹣6），
把A、E的坐标代入y＝a（x﹣2）2+c得：，
解得：a＝，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
19．解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5），
∴，解得：；
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2﹣4x+1；
（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3，
∴抛物线的顶点坐标为：（﹣1，3），对称轴为：直线x＝﹣1．
20．解：（1）∵抛物线经过点（﹣2，﹣2），
∴4+4b+1＝﹣2，
解得b＝﹣；
（2）∵y＝x2﹣2bx+1＝（x﹣b）2﹣b2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（b，﹣b2+1）；
（3）∵点A（m，m）和B（n，n），
∴点A（m，m）和B（n，n）在直线y＝x上，
由，消去y得x2﹣2bx+1＝x，
整理得x2﹣（2b+1）x+1＝0，
∴△＝（2b+1）2﹣4＞0，即（2b+3）（2b﹣1）＞0，
∴或，
解得b＞或b＜﹣，
由x2﹣（2b+1）x+1＝0可知m•n＝1，
∴m、n同号，
∵|m|＞2，|n|＜2，
∴当m＞n＞0时，m+n＞，
∴2b+1＞，解得b＞
当0＞m＞n时，m+n＜﹣，
∴2b+1＜﹣，解得b＜﹣，
综上，b的取值范围为b＞或b＜﹣．
21．解：（1）由题意得：
y＝90﹣3（x﹣50）
＝90﹣3x+150
＝﹣3x+240，
故答案为：y＝﹣3x+240；
（2）由题意得：
w＝（x﹣40）y
＝（x﹣40）（﹣3x+240）
＝﹣3x2+360x﹣9600，
∴该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）的关系式为w＝﹣3x2+360x﹣9600；
（3）∵w＝﹣3x2+360x﹣9600，二次项系数﹣3＜0，
∴当x＝﹣＝60时，w取得最大值，
∴当每箱水果的销售价为60元时，可以获得最大利润．
22．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x，
∴对称轴为直线x＝2；
（2）∵点D与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴点D（5，3），
∴BD＝6，
∵点C（2，0），点B（﹣1，3），
∴BC＝3，直线BC解析式为y＝﹣x+2，
如图，连接BO，
∵BD∥OC，
∴∠DBE＝∠BCO，
∵∠CED＝∠OBD，∠CED＝∠EBD+∠BDE，∠OBD＝∠OBC+∠DBE，
∴∠OBC＝∠BDE，
∴△OBC∽△EDB，
∴，
∴＝，
∴BE＝2，
设点E（x，﹣x+2），
∴2＝，
∴x＝1或x＝﹣2（舍去），
∴点E（1，1）；
（3）当OA为边时，
∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴OA＝MN＝4，OA∥MN，
∴点N横坐标为6或﹣2，
∴点N的纵坐标为，
∴平行四边形的面积＝4×＝，
当OA为对角线，
∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN与OA互相平分，
∴，
∴Nx＝2，
∴点N（2，﹣），
∴平行四边形的面积＝4×＝，
综上所述：平行四边形的面积为或．
23．解：（1）把C（0，﹣3）代入得解析式得C＝﹣3，
又因为抛物线过A（﹣1，0），B（3，0），
将其代入解析式，得．
解得a＝1，b＝﹣2．
即抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴M（1，﹣4）；
（2）根据题意知，抛物线的对称轴为直线x＝1，点A与点B关于直线x＝1对称，
如图，连接BC交直线x＝1于P点，则PA＝PB，
∵PA+PC＝PB+PC＝BC，
∴此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，则满足条件的P点坐标为（1，﹣2）；
（3）△AEC的面积与△BCM的面积相等．
理由如下：
∵M（1，﹣4），
设直线CM的解析式为y＝px+q，
把M（1，﹣4），C（0，﹣3）代入得，
解得，
∴直线CM的解析式为y＝﹣x﹣3，
当y＝0时，﹣x﹣3＝0，
解得x＝3，则E（﹣3，0），
∴S△ACE＝×（﹣1+3）×3＝3，S△BCM＝×（﹣2+4）×3＝3，
∴△AEC的面积与△BCM的面积相等．
24．解：（1）由题意知抛物线顶点坐标为（1，3），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，
将点C（3，0）代入，得：4a+3＝0，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3；
（2）当x＝2时，y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣×（2﹣1）2+3＝＞1.8，
∴身高1.8m的王师傅不会被淋湿．
25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过点P作PG⊥x轴，交BC于G，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，
∴点C（0，3），
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
设点P（p，﹣p2+2p+3），则点G坐标为（p，﹣p+3），
∴PG＝﹣p2+2p+3﹣（﹣p+3）＝﹣p2+3p，
∵PG∥OC，
∴＝＝，
∴当p＝时，的值有最大值，
∴点P（，）；
（3）当点M在点F的右侧，如图2，连接FM，以FM为斜边，作等腰直角△FHM，当以H为圆心FH为半径作圆H，与x轴相切于K，此时有且只有一个点K满足∠FKM＝135°，
连接HK，交PM于Q，延长CF交HK于E，则HK⊥x轴，
设点H（x，y），
∵点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，
∴点F（2，3），CF∥x轴，
∴CF∥PM，
∴HK⊥CF，HK⊥PM，
∴∠FEH＝∠HQM＝90°＝∠FHM，
∴∠FHE+∠QHM＝90°＝∠FHE+∠HFE，
∴∠QHM＝∠HFE，
又∵FH＝HM，
∴△FHE≌△HMQ（AAS），
∴HE＝QM＝y﹣3，HQ＝EF＝x﹣2，
∴y﹣2＝x﹣2，
∴x＝y，
∵FH2＝HE2+EF2，
∴y2＝（y﹣2）2+（y﹣3）2，
∴y＝2+5，
∴QM＝2+5﹣3＝2+2，
∴点M的坐标（4+7，2），
∵MN⊥x轴，
∴ON＝7+4，
当点M在点F的左侧，同理可求ON＝3+4，
综上所述：线段ON的长为7+4或3+4．
x
﹣2
﹣1
0.5
1.5
y
5
0
﹣3.75
﹣3.75
x
0
1
2
3
y
7
5
7
13