中考数学复习专题 三角形综合 高频考点专项含答案

这是一份中考数学复习专题 三角形综合 高频考点专项含答案，共14页。试卷主要包含了对于下列说法，已知等内容，欢迎下载使用。


一．选择题
1．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，2B．4，5，6C．5，12，13D．1，2，
2．如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠COB的度数是（ ）
A．75°B．105°C．115°D．100°
3．对于下列说法：
①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等；
④直角三角形只有一条高线．
正确的有（ ）
A．①②③④B．①③C．①②③D．①②④
4．如图，直线l1∥l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
5．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是（ ）
A．9B．13C．14D．25
6．小明同学有一块玻璃的三角板，不小心掉到地上碎成了三块，现要去文具店买一块同样的三角板，最省事的是（ ）
A．带②去B．带①去C．带③去D．三块都带去
7．已知：如图，D、E、F分别是△ABC的三边的延长线上一点，且AB＝BF，BC＝CD，AC＝AE，S△ABC＝5cm2，则S△DEF的值是（ ）
A．15cm2B．20cm2C．30cm2D．35cm2
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD＝1，AD平分∠CAB，交CB于点D，DE垂直平分AB，垂足为E，则AE的长是（ ）
A．1B．C．2D．2
9．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（ ）
A．3B．4C．5D．9
10．已知，如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下列结论：①AC平分∠PAD；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AC＝AO+AP；
其中正确的序号是（ ）
A．①③④B．②③C．①②④D．①③
11．如图，三角形ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且BD＝CD，与CD相交于点F，下列结论中
①DF＝DA；②∠A+∠DFE＝180°；③BF＝AC；④若BE平分∠ABC，则CE＝BF
正确有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．如图，△ABC为等腰直角三角形，BF平分∠ABC，交AC于点F，AD⊥BF交BF的延长线于点D，交BC的延长线于点E，CG⊥BF于点G；下列结论：①AD＝DE；②∠E＝3∠ABD；③AF＝CF；④AD﹣CG＝GF．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
二．填空题
13．在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，4）关于x轴对称的点为B，P（m，0）是x轴上的一动点，当△ABP为等腰直角三角形时，m的值是 ．
14．如图，△ABC中，AC＝7，BC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，那么△BCE的周长为 ．
15．如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，则∠ABD＝ ．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝8．D是边BC上一点，BD＝6，以BD为一边向上作正三角形BDE，BE、DE与AC分别交于点F、G，则线段FG的长为 ．
17．如图，已知AB＝AC，AD是△ABC的中线，∠B＝30°，那么∠CAD＝ °．
18．如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，2），过点B作直线l∥x轴，点P（a，2）是线l上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，使∠APQ＝Rt∠．
（1）当a＝0时，则点Q的坐标是 ；
（2）当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动，则点Q运动路线的函数解析式是 ．
三．解答题
19．（1）如图①，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B，C，E在一条直线上，连结BD和AE，直线BD，AE相交于点P．则线段BD与AE的数量关系为 ；BD与AE相交构成的锐角的度数为 ．
（2）如图②，点B，C，E不在同一条直线上，其它条件不变，上述的结论是否还成立？请说明理由．
（3）应用：如图③，点B，C，E不在同一条线上，其它条件依然不变，此时恰好有∠AEC＝30°．设直线AE交CD于点Q，请把图形补全．若PQ＝2，则DP＝ ．
20．如图，△ABD和△BCE都是等边三角形，AE与CD相交于F，连接BF．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：BF平分∠DFE．
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝20cm，动点E、F同时从点B出发，分别沿BA、BC的方向向终点A、终点C运动，点E的速度是1cm/s，点F的速度是2cm/s，当一点到达终点后，两点同时停止运动，设运动时间为t（s），四边形DAEF的面积为S（cm2）．
（1）求S与t的函数关系式；
（2）当△DEF为等腰三角形时，求t的值．
22．在△ABC中，AB＝AC，点D平面内一点，M是BD中点，连接AM，作ME⊥AM．
（1）如图1，若点E在CD的垂直平分线上，∠BAC＝m°，则求∠DEC的度数（用含m的式子表示）；
（2）如图2，当点D在CA延长线上，且DE⊥BC，若tan∠ABC＝k，则求的值（用含k的式子表示）．
23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB．点D为线段BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在射线AB上，连接DE，使得DE＝DA．作点E关于直线BC的对称点F，连接BF，DF．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠CAD＝∠BDF；
（3）用等式表示线段AB，BD，BF之间的数量关系，并证明．
24．在ABC中，CA＝CB＝5，∠ACB＝120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°、∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．
（1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由．
（2）在点P滑动的过程中，是否存在△ADP≌△BPC．若存在，求出AP长度；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：A、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；
B、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故此选项符合题意；
C、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；
D、12+22＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意．
故选：B．
2．解：∵∠BOC＝∠BDC+∠OCD，∠BDC＝60°，∠OCD＝45°，
∴∠BOC＝105°，
故选：B．
3．解：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等，正确；
②等腰三角形的底边上的高、中线以及顶角的角平分线互相重合，错误；
③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，正确；
④直角三角形有三条高线，错误；
故选：B．
4．解：∵直线l1∥l2，∠1＝40°，∠2＝75°，
∴∠1＝∠4＝40°，∠2＝∠5＝75°，
∴∠3＝65°．
故选：C．
5．解：展开圆柱的半个侧面是矩形，
矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即为12，矩形的宽是圆柱的高5．
根据两点之间线段最短，
知最短路程是矩形的对角线的长，即＝13，
故选：B．
6． C．
7．解：连接AD，EB，FC，如图所示：
∵BC＝CD，三角形中线等分三角形的面积，
∴S△ABC＝S△ACD；
同理S△ADE＝S△ADC，
∴S△CDE＝2S△ABC；
同理可得：S△AEF＝2S△ABC，S△BFD＝2S△ABC，
∴S△EFD＝S△CDE+S△AEF+S△BFD+S△ABC＝2S△ABC+2S△ABC+2S△ABC+S△ABC＝7S△ABC；
故答案为：S△EFD＝7S△ABC＝7×5＝35cm2
故选：D．
8．解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，DE＝CD＝1，
在△AED中，∠DEA＝90°，DE＝1，∠EAD＝30°，
∴AD＝2DE＝2，
∴AE＝＝＝，
故选：B．
9．B．
10．解：①∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC；
∴∠CAD＝∠BAC＝60°，∠PAC＝180°﹣∠CAB＝60°，
∴∠PAC＝∠DAC，
∴AC平分∠PAD，故①正确；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，
故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形；
故③正确；
④如图，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP；
故④正确．
故选：A．
11．解：如图所示：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠CDA＝90°，∠BEA＝90°，
又∵∠ABE+∠A+∠BEA＝180°，
∠ACD+∠A+CDA＝180°，
∴∠DBF＝∠ACD，
在△BDF和△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴DF＝DA，BF＝AC
∴结论①、③正确；
又∵∠FDA+∠A+∠AEF+∠EFD＝360°，
∠FDA＝∠FEA＝90°，
∴∠A+∠DFE＝180°，
∴结论②正确；
∵CD⊥AB，BD＝CD，
∴∠ABC＝45°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝，
又∵∠BEA＝90°，
∴∠A＝67.5°，
又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝67.5°，
∴△ABC是等腰三角形，
∴CE＝，
又∵BF＝AC，
∴CE＝BF，
∴结论④正确；
综合所述，正确结论为①、②、③、④；
故选：D．
12．解：如图，过点F作FT⊥AB于T，过点C作CJ⊥AE于J．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBE＝22.5°，
∵BD⊥AB，
∴∠ADB＝∠BDE＝90°，
∴∠BAD＝∠BED＝67.5°，
∴BA＝BE，
∵BD⊥AE，
∴AD＝DE，故①正确，
∵∠CAE＝∠BAE﹣∠CAB＝22.5°，∠E＝67.5°，
∴∠E＝3∠CAE，故②正确，
∵BF平分∠ABC，FT⊥AB，FC⊥BC，
∴FC＝FT，
∵∠FTA＝90°，∠FAT＝45°，
∴∠TAF＝∠TFA＝45°，
∴AT＝TF，
∴AF＝FT＝CF，故③正确，
在△BCF和△ACE中，
，
∴△BCF≌△ACE（ASA），
∴CF＝CE，
∵CG⊥BD，CJ⊥AE，BD⊥AE，
∴∠CGD＝∠CJD＝∠GDJ＝90°，
∴四边形CGDJ是矩形，
∴∠GCT＝∠FCE＝90°，CG＝DJ，
∴∠GCF＝∠JCE，
在△CGF和△CJE中，
，
∴△CGF≌△CJE（AAS），
∴GF＝JE，
∵AD＝DE＝DJ+JE＝CG+FG，故④正确，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
13．解：因为A（3，4）关于x轴对称的点为B，
可得点B的坐标为（3，﹣4），
可得：AB＝8，
因为P（m，0）是x轴上的一动点，当△ABP为等腰直角三角形时，
可得：AP＝BP＝4，
可得：点P的坐标为（﹣1，0）或（7，0），
故答案为：﹣1或7．
14．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+EA+EC＝BC+AC＝11，
故答案为：11．
15．解：在直角△BCD中，∵∠C＝90°，BC＝3，CD＝4，
∴BD＝5，
在△ABD中，∵AD2＝132＝AB2+BD2＝122+52，
∴∠ABD＝90°，
故答案为：90°．
16．解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠A＝60°，AB＝BC•tan∠C＝8×＝，AC＝2AB＝．
∵三角形BDE是等边三角形，
∴∠EBD＝∠BDE＝60°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠EBD＝90°﹣60°＝30°，
∠AFB＝180°﹣∠A﹣∠ABF＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
∵在△ABF中，∠AFB＝90°，∠ABF＝30°，
∴AF＝AB＝．
∵∠BDE＝60°，∠C＝30°，
∴∠DGC＝∠BDE﹣∠C＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DGC＝∠C＝30°，
∴DG＝CD＝BC﹣BD＝8﹣6＝2．
如图，过D作DH⊥AC于H，则GC＝2HC．
∵在△CDH中，∠CHD＝90°，∠C＝30°，
∴DH＝CD＝1，CH＝DH＝，
∴GC＝2，
∴FG＝AC﹣AF﹣GC＝﹣﹣2＝2．
故答案为：2．
17．解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠CAD＝60°，
故答案为：60．
18．解：（1）a＝0时，P与B重合，如图1所示：
过Q作QM⊥y轴于M，
∵A（1，0），B（0，2），
∴AO＝1，BO＝2，
∵△APQ是等腰直角三角形，
∴∠ABQ＝90°，BA＝BQ，
由角的互余关系得：∠ABO＝∠BQM，
在△BQM和△ABO中，
，
∴△BQM≌△ABO（AAS），
∴BM＝AO＝1，QM＝BO＝2，
∴OM＝OB+BM＝3，
∴点Q的坐标是（2，3）；
故答案为：（2，3）；
（2）过点P作PE⊥OA于E，过点Q作QF⊥BP于F，如图2所示：
∵BP∥OA，PE⊥OA，
∴∠EPF＝∠PEO＝90°．
∵∠APQ＝90°，
∴∠EPA＝∠FPQ＝90°﹣∠APF，
又∵PA＝PQ，
∴△PEA≌△PFQ（AAS），
∴PE＝PF，AE＝QF，
∵点P的坐标为（a，2），
∴PF＝PE＝2，QF＝AE＝|2﹣a|，
∴点Q的坐标为（a+2，4﹣a）．
∵无论a为何值，点Q的坐标（a+3，4﹣a）都满足一次函数解析式y＝﹣x+7，
∴点Q始终在直线y＝﹣x+7上运动，
即则点Q运动路线的函数解析式是y＝﹣x+7，
故答案为：y＝﹣x+7．
三．解答题（共6小题）
19．解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD＝AE，∠AEC＝∠BDC，
由三角形的外角性质，∠DPE＝∠AEC+∠BDC，
∠DCE＝∠BDC+∠DBC，
∴∠DPE＝∠DCE＝60°；
故答案为：相等，60°；
（2）成立．
证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD＝AE，∠AEC＝∠BDC，
又∵∠DNA＝∠ENC，
∴∠DPE＝∠DCE＝60°．
（3）补全图形如图③，
由（1）（2）可知△AEC≌△BDC，
∴∠AEC＝∠BDC＝30°，
∵△DEC为等边三角形，
∴∠DEC＝∠EDC＝60°，
∴∠DEP＝∠DEC﹣∠CEP＝60°﹣30°＝30°，
∠PDE＝∠BDC+∠EDC＝60°+30°＝90°，
∴∠DPQ＝60°，
∴∠DQP＝90°，
∵PQ＝2，
∴DP＝2PQ＝2×2＝4．
故答案为：4．
20．证明：（1）∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴DB＝AB，BC＝BE，∠DBA＝∠CBE＝60°，
∴∠DBC＝∠ABE，
在△DBC和△ABE中，
，
∴△DBC≌△ABE（SAS），
∴AE＝CD；
（2）如图，过点B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于E，
∵△DBC≌△ABE，
∴S△DBC＝S△ABE，
∴CD×BM＝AE×BN，
∴BM＝BN，
又∵BM⊥CD，BN⊥AE，
∴BF平分∠DFE．
21．解：（1）由题可知：BE＝t，BF＝2t，CF＝20﹣2t，AE＝10﹣t，
∴S＝S矩形ABCD﹣S△BEF﹣S△CDF
＝
＝﹣t2+10t+100；
（2）由勾股定理可得：EF2＝BE2+BF2＝t2+（2t）2＝5t2，
DF2＝CD2+CF2＝102+（20﹣2t）2＝4t2﹣80t+500，
DE2＝AE2+AD2＝（10﹣t）2+202＝t2﹣20t+500，
①当DE＝DF时，DE2＝DF2，
即t2﹣20t+500＝4t2﹣80t+500，
解得：t1＝0，t2＝20，都不符合题意，舍去，
②当DE＝EF时，DE2＝EF2，
即t2﹣20t+500＝5t2，
解得：（不符合题意，舍去），，
③当EF＝DF时，EF2＝DF2，
即5t2＝4t2﹣80t+500，
解得：，（不符合题意，舍去），
综上所述，当△DEF为等腰三角形时，或．
22．解：（1）如图1中，延长AM到K，使得MK＝AM，连接BK，EK，AD，KD，延长KD交AC于N．
∵M是BD的中点，
∴BM＝MD，
∵MA＝MK，
∴四边形ABKD是平行四边形，
∴AB∥DK，AB＝DK，
∵AB＝AC，
∴DK＝AC，
∵EM⊥AK，AM＝MK，
∴EA＝EK，
∵点E在CD的垂直平分线上，
∴ED＝EC，
∴△AEC≌△KED（SSS），
∴∠EAC＝∠EKD，∠AEC＝∠KED，
∴∠AKN＝∠KEA，∠KEA＝∠DEC，
∴∠DEC＝∠ANE，
∵AB∥DK，∠BAC＝m°，
∴∠ANK+∠BAC＝180°，
∴∠DEC＝180°﹣m°．
（2）如图2中，延长AM到K，使得MK＝AM，连接AE，BK，EK，DK，延长DK交CB的延长线于N，过点E作EP⊥AN于P，EQ⊥CD于Q．
∵M是BD是中点，
∴BM＝DM，
∵MA＝MK，
∴四边形ABKD是平行四边形，
∴DN∥AB，DK＝AB＝AC，
∴∠DNC＝∠ABC＝∠ACB，
∴DN＝DC，
∵DE⊥CN，
∴∠EDP＝∠EDQ，
∵EP⊥DN，EQ⊥DC，
∴EP＝EQ，
∵ME⊥AK，MA＝MK，
∴AE＝EK，
∵∠EQA＝∠EPK＝90°，
∴Rt△EPK≌Rt△EQA（HL），
∴∠EKP＝∠EAQ，
∴△KED≌△AEC（SAS），
∴DE＝CE，
∴∠EDC＝∠ECQ，
∵∠EDC+∠DCB＝90°，∠ECQ+∠CEQ＝90°，
∴∠CEQ＝∠ACB，
∴tan∠ACB＝k＝tan∠QEC＝，
∴＝．
23．解：（1）如图所示：
（2）证明：
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠BAC＝∠CBA＝45°，
∴∠CAD+∠DAB＝45°，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEB，
∵∠DBA是△DBE的一个外角，
∴∠EDB+∠DEB＝∠DBA＝45°，
∴∠EDB＝∠CAD，
∵点E关于直线BC的对称点F，
∴∠EDB＝∠FDB，
∴∠CAD＝∠FDB；
（3）线段AB，BD，BF之间的数量关系是AB﹣BF＝BD，
证明：过点D作AC的平行线交AB于M点，
∴∠C＝∠MDB＝90°，∠CAB＝∠DMB＝45°，
∴∠DMB＝∠DBM，
∴DM＝DB，
∴MB＝BD，
∵点E关于直线BC的对称点F，
∴DE＝DF，
∵AD＝DE，
∴AD＝DF，
∵AC∥MD，
∴∠CAD＝∠ADM，
∵∠CAD＝∠FDB，
∴∠ADM＝∠FDB，
∴△ADM≌△FDB（SAS），
∴AM＝BF，
∴AB﹣BF＝AB﹣AM＝MB，
又∵MB＝BD，
∴AB﹣BF＝BD．
24．解：（1）当PN∥BC时，△ACP是直角三角形，
理由：∵PN∥BC，∠MNP＝30°，
∴∠MNP＝∠PCB＝30°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠ACP＝∠ACB﹣∠PCB＝90°，
∴△ACP是直角三角形；
（2）在点P滑动的过程中，存在△ADP≌△BPC，
∵∠ACB＝120°，CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝30°，
∵∠APC＝∠B+∠PCB，∠APC＝∠DPA+∠MNP，∠MNP＝30°，
∴30°+∠PCB＝∠DPA+30°，
∴∠PCB＝∠DPA，
∵△ADP≌△BPC，
∴AP＝BC，
∵BC＝5，
∴AP＝5．