初一数学.寒.直升班.教师版.第5讲 母子型和辅助线添加初步

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第五讲
K字型全等和母子型
模块一 K字型全等
模块二 母子型
模块一 K字型全等
如图，，，，且，则有．
模块二 母子型
1．等边三角形
2．正方形（等腰直角三角形）
模块一
K字型全等
（15—16年成华期末）在中，，，直线l经过点C，且于点D，于点E．
（1）当直线l绕点C旋转到图1-1位置时，求证：①，②；
（2）当直线l绕点C旋转到图1-2位置时，求证：；
（3）当直线l绕点C旋转到图1-3位置时，请直接写出线段AD、BE、DE之间满足的等量关系．

图1-1 图1-2 图1-3
（1）①∵，，∴．
∴．
∵，∴．∴．
∵，∴．
②∵，∴，．
∵，∴．
（2）∵，，∴．
∴．
∵，∴．∴．
∵，∴．
∴，．
∵，∴．
（3）．
【教师备课提示】这道题主要让孩子们熟悉模型并熟练过程．
（15—16年嘉祥期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，AE交BD于F，过F作交BC于H，连接AH．
（1）过点F分别作AB、BC的垂线，垂足分别为M、N，求证：；
（2）过点H作，垂足为G，试求FG和BD的数量关系．
（1）证明，
∴．
（2）作于点T，则，
∴．
（嘉祥）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，EG与HA的延长线交于点M，求证：AM是的中线．
过点E作的延长线于P，过点G作于Q，
，，
，
，
在和中，
，
，，
同理可得，，
在和中，
，
，
，是的中线．
【教师备课提示】例题2和例题3主要讲解构造K字型全等，让孩子们熟悉模型．
如图，CD是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线CD上两点，且．
（1）若直线CD经过的内部，且E、F在直线CD上，请解决下面两个问题：
①如图4-1，若，，则BE_____CF；EF_____（填“＞”、“＜”、“=”）；
②如图4-2，若，请添加一个关于与关系的条件_______，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．
（2）如图4-3，若直线CD经过的外部，，请提出EF、BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
图4-1 图4-2 图4-3
（1）①=；=；
②，先证明，再证明．
（2）．
【教师备课提示】这道题主要讲解K字型全等的变式题．
模块二
母子型
如图，点C为线段AB上一点，、是等边三角形．请你证明：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）为等边三角形；
（5）．
（1）、是等边三角形，
，，
又，，．
（2）由（1）得，，．
（3）过点C作AF和BF的垂线，利用角平分线的判定，即可．
（4）由易推得，
所以，又，进而可得为等边三角形．
（5）由（4）得，为等边三角形，，．
【教师备课提示】这道题主要考查等边三角形的母子型．
（14—15年成外）已知，在中，，．
（1）如图6-1，若EC，DB分别平分、，交AD，AE于点C、B，连接BC．请判断AB、AC是否相等，并说明理由；
（2）的位置保持不变，将（1）中的绕点A逆时针旋转至图6-2的位置，线段CD和BE相交于O，请判断线段BE与CD的位置关系与数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，试求四边形CEDB的面积．

图6-1 图6-2
（1），在和中
∴(ASA)，∴．
（2），且．
母子型，得到，
通过倒边倒角得到，且．
（3）18（提示：对角线互相垂直的四边形的面积可以为对角线乘积的一半）．
【教师备课提示】这道题主要考查等腰直角三角形的母子型．
如图7-1，若四边形ABCD、GFED都是正方形，显然图中有，．
（1）当正方形GFED绕D旋转到如图7-2的位置时，，是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（2）当正方形GFED绕D旋转到B、D、G在一条直线（如图7-3）上时，连接CE，设CE分别交AG、AD于P、H，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

图7-1 图7-2 图7-3
（1），成立．
四边形ABCD、四边形DEFG是正方形，
，，．
．
，，
延长CE交AG于点T，则，
，
又，，即．
（2）同（1）可得，，
，，
，，．
．，即．
【教师备课提示】这道题主要考查正方形的母子型，在正方形母子型当中最重要的就是垂直相等结论．
（15年西川半期）如图8-1，在和中，，，，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD，点M，N分别为BE，CD的中点．
（1）求证：；
（2）求证：是等腰三角形；
（3）在图8-1的基础上，将绕点A按顺时针方向旋转，使D点落在线段AB上，其他条件不变，得到图8-2所示的图形，（1）（2）中的两个结论是否仍然成立？请你直接写出你的结论．

图8-1 图8-2
（1）∵，
∴，
在和中，
∴(SAS)
∴．
（2）由（1）得，(SAS)
∴，即．
又点M，N分别为BE，CD的中点，
∴．
在和中，
∴(SAS)
∴．
∴是等腰三角形．
（3）仍成立，有，是等腰三角形（同理可得）
【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的母子型，看看孩子们是否理解母子型全等的本质．
复习巩固
模块一
K字型全等
在中，，直线l经过点A.
（1）如图1-1，，，，垂足分别为D、E．探究BD、CE、DE三者之间的数量关系，直接写出你的结论．
（2）如图1-2，将（1）中“，，”改为“”，探究BD、CE、DE三者之间的数量关系，证明你的结论．
图1-1图1-2
（1）；
（2），证明即可．
如图，在中，，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且，．图中是否存在和全等的三角形？说明理由．
，理由如下：
∵，
，
∴，
又∵，，
∴．
模块二
母子型
如图，B、C、E三点在一条直线上，和都为等边三角形，连接AE、DB．
（1）试说出的理由．
（2）如果把绕C点顺时针旋转一个角度，使B、C、E不在一条直线上，（1）中的结论还成立吗？（只回答，不说理由）
（3）在（2）中若AE、BD相交于P，求的度数．
（1）∵、都为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∵在与中：

∴，
∴；
（2）仍然成立；
（3）∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
，
即．
以点A为顶点作两个等腰直角三角形（，），如图4-1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．
（1）说明；
（2）延长BD，交CE于点F，求的度数；
（3）若如图4-2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．
图4-1 图4-2
（1）∵、是等腰直角三角形，
∴，，，
∵在和中，
，
∴，∴；
（2）∵，
∴，
而在中，，
又∵，
∴；
（3）成立，且两线段所在直线互相垂直，即．理由如下：
∵、是等腰直角三角形
∴，，，
∵，
∴，
∵在和中，，
∴
∴，，
∴．
如图5-1，等边中，D是AB上一点，以CD为边向上作等边，连接AE．
（1）求证：AE//BC；
（2）如图5-2，若点D在AB的延长线上，其余条件均不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．
图5-1 图5-2
（1）∵，
∴，
即，
∵和是等边三角形，
∴，，
在与中，，
∴，∴，
∴，∴AE//BC；
（2）成立，证明如下：
同（1）可得，，∴，
∴，∴AE//BC．
如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．求证：（1）；（2）．
，，
在和中
，
，
设AE分别与DG、CG交于M、N
则，，．