初二数学.寒.直升班.教师版.第4讲 圆（二）

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圆（二）
模块一 弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系
模块二 基本定理综合
模块三 点、直线和圆的位置关系初步
模块一 弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系．
1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等．
2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等．
3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条．
模块二 基本定理综合
模块三 点、直线和圆的位置关系初步
1．点和圆的位置关系有三种：
点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
则有：点在圆外；
点在圆上；
点在圆内.
2．三角形的外接圆
（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．
（2）外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
注意：
（1）外心的确定：三条垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在它的内部；直角三角形的外心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形的外心在它的外部．
（2）外心到三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径．
3．直线和圆的关系有三种：相交、相切和相离．
模块一 弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系
0
（1）如图1-1，已知中，，，则__________．
（2）如图1-2，，弦AB与弦CD交于点E，，则等于_______．
（3）如图1-3，中，，截的三边所截得的弦都相等，则_____．

图1-1 图1-2 图1-3
（1）；（2）；（3）．
【教师备课提示】这道题主要考查弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系．
已知：如图，MN是的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，P是MN上一动点，的半径为1，则的最小值是__________．

作B点关于MN的对称点，连结与MN交于点P，
易证得，此时取得最小值．
根据圆的对称性，点在上，且，
∵A是半圆的三等分点，∴，∴，∵B是的中点，
∴，∴，∴，
∵半径为1，∴，∴，∴的最小值为．
【教师备课提示】这道题主要考查弧和圆心角的关系，综合将军饮马．
（1）在同圆中，所对的圆心角小于，且（可以是优弧），那么弦AB和弦CD的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
（2）（嘉祥月考）如图，在中，，那么（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系不能确定
（1）D；
（2）如图所示，作，则，
∵在中，∴，
∵，∴，
∴，即．故选．
【教师备课提示】这道题主要考查弧和弦的关系．
模块二 基本定理综合
0
已知：在半径为的内，有互相垂直的两条弦AB，CD，它们相交于P点．
（1）设BC的中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：．
（2）若，，求O、P两点之间的距离．

（1）∵F为BC的中点，为直角三角形，∴，．
又∵，，∴．
∵，∴．∴．
（2）作于M，于N，∴OMPN为矩形．
连接OB，OD，OP，由垂径定理，得，．
由勾股定理，得，．∴．
如图所示，圆O是的外接圆，与的平分线相交于点，延长交圆于点，连结BD、CD．
（1）求证：．
（2）若圆O的半径为10cm，，求的面积．

（1）∵AD平分，∴，∴，∴．
∵，∴，
∵BI平分，∴，
∴，
∵，∴，∴，∴．
（2）连接BO、DO，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴是等边三角形，
∵，∴，
∴．
如图，已知是的内接三角形，，点P是的中点，连接PA，PB，PC．
（1）如图6-1，若．求证：．
（2）如图6-2，若，求的值．

图6-1 图6-2
（1）证明：∵，∴．
又∵，∴为等边三角形．
∴，∵点P是的中点，
∴．又，∴．
在中，，∴．
（2）解：连接AO并延长交PC于E，交BC于F，过点E作于点G，连接OC．
∵，∴，．
∵点P是的中点，∴．∴．
∵．∴．
设，则，∴，．
在中，，∴．
在和中，，
∴．∴．
∴．
在中，，M是它的外接圆上包含点C的的中点，AC上的点X使得，求证：．
解法一：过点M作交于，
过点N作于E．
∴，，
∵，∴
∴，∴，∴；
解法二：如图，在XA上取一点D，使得，
连接MC，MB，MD，MA，
由，，∴，
又∵M是圆上包含点C的弧AB的中点
∴，又，
，∴，
∴，∴
∵，∴；
解法三：如图，过M点作交BC延长线于E，
连结MA、MB、MC，
∵M是圆上包含点C的弧AB的中点，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
（类似此方法还可以“延长BC到E，使，连结ME”）
解法四：如图，延长AC到F，使，连结MA、MB、MC、MF，
∵M是圆上包含点C的弧AB的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，∴，
∴．
此法还可以连接FB，利用等腰三角形的性质可以证得结论．
【教师备课提示】此题为阿基米德折弦定理，还有很多种不同的解法，老师们可以引导学生拓展思维，多总结方法.
模块三 点、直线和圆的位置关系
0
（1）已知矩形ABCD的边，．如果以点A为圆心作，使B、C、D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么的半径的取值范围是___________．
（2）（七中育才月考）一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm，最小距离为1cm，则此圆的半径为___________．
（1）；（2） = 1 \* GB3 ①当点在圆外时，， = 2 \* GB3 ②当点在圆内时，．
【教师备课提示】这道题主要考查点和圆的位置关系．
（1）确定已知弧所在圆的圆心．
（2）在中，，，，则它的外接圆的直径为_______．
（3）中，，，则其外接圆的半径为_______．
（1）在上任取一点C，连接AC、BC．
作弦AC、BC的中垂线，他们的交点即为圆心O．
（2）5cm；（3）．
【教师备课提示】这道题主要考查确定圆的条件和三角形的外接圆．
（1）如图10-1，为等边三角形，，动点O在的边上从点A出发沿着的路线匀速运动一周，速度为1个长度单位每秒，以O为圆心，为半径的圆在运动过程中与的边第二次相切时是出发后第__________秒．
（2）如图10-2，直线AB、CD相交于点O，，半径为1cm的的圆心在直线AB上，开始时，．如果以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当的运动时间t(秒)满足条件 时，与直线CD相交．

图10-1 图10-2
（1）4；（2）．
【教师备课提示】这道题主要考查直线和圆的位置关系．
模块一 弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系
复习巩固
（1）如果两条弦相等，那么（ ）
A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等
C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对
（2）如图，在中，，，则________．
（1）D；
（2）．
模块二 基本定理综合
如图，AC为的直径，，B、D分别在AC两侧的圆上，，BD与AC的交点为E．
（1）求点O到BD的距离及的度数；
（2）若，求CD的长．
（1）作于点F，连接OD，
∵，∴，
又∵，∴，∵AC为的直径，，
∴．∴，即点O到BD的距离等于1．
（2）∵，于点F，∴．
由，设，
则，，，．
，∴，，
在中，，，，
∴，∴，∴，
∴．∴．
已知：如图，在中，，以AB为直径的分别交BC、AC于点D、E，连接EB交OD于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求AE的长．

（1）连接AD，
∵AB是的直径，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴．
（2）方法一：∵，，，，
∴，,
在、中，，
则有，
设，则，
解得：，∴．
方法二：∵，∴，，设，∴，
在、中，，
∴，
∴，
解得：，∴．
方法三：∵，，∴，
∴，∵，，∴，∴．
已知点A、B、C、D顺次在上，，于M，求证：．

解法一：补短法
过B点作交DC延长线于N．
∵，，∴，
∵，，∴，
∴，，
∵，
∴，∴，
∴．
（或延长DC到N，使，连结BN，也可证得结论．）
解法二：截长法
在AM上取一点P，使得，连结BP．
则很容易证明，∴，
∵，∴，
∴．
模块三 点、直线和圆的位置关系
（1）定义：定点A与上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与之间的距离．现有一矩形ABCD如图，，，与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，则点A与的距离为______．

（2）一个已知点到圆周上的点的最大距离为8cm，最小距离为2cm，则此圆的半径________．
（3）如图，已知，在ON上有一点P，，若以P点为圆心，r为半径作圆，当射线OM与只有一个公共点时，半径r的取值范围是____________．
（1）连结KE、AK，
由题意可知的半径为6cm，，，
∴，∴，
∴点A与的距离为．
（2）5cm或3cm；（3）或．
已知中，，D是外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分；
（2）若，中BC边上的高为，求外接圆的面积．

（1）如图，设F为AD延长线上一点
∵D在外接圆上（A、B、C、D四点共圆）
∴
又，∴，
且，∴
对顶角，故，
即AD的延长线平分．
（2）设O为外接圆圆心，
连接AO交BC于H，则．
连接OC，由题意，，∴．
设圆半径为r，则，得，外接圆的面积为．
位置关系
定义
图形
性质及判定
直线l与相交
直线与圆有两个交点，直线叫做圆的割线．
直线l与相切
直线与圆有唯一交点，直线叫做圆的切线，交点叫做圆的切点．
直线l与相离
直线与圆没有交点．