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初一数学.春季.直升班.教师版.第2讲 二次根式（一）
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这是一份初一数学.春季.直升班.教师版.第2讲 二次根式（一），共20页。
第二讲
二次根式（一）
模块一 二次根式的基本概念
模块二 二次根式的四则运算
模块三 二次根式的基本题型
模块一：二次根式的基本概念
1．二次根式：
一般地，形如的代数式叫做二次根式，a叫做被开方数．
2．n次根式：
形如的代数式叫做n次根式，其中若n为偶数，则必须满足．
3．最简二次根式：
满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
= 1 \* GB3 ①一般地，被开方数不含分母，即被开方数是整数或整式；
②被开方数中不含有能开方的因数或因式．
4．两个重要性质：
；
5．同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式．
模块二：二次根式的四则运算
1．乘除法：
；．
2．加减法：
，．
3．混合运算：
遵循有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用．
4．乘法公式的推广：
①；
②；
③．
5．二次根式的分母有理化
定义：在二次根式中，将无理数的分母化为有理数的过程．
方法：分子分母同时乘以有理化因式（有理化因式是指相乘之后使分母变为有理数的因式）．
6．（1）单项根式的分母有理化，同乘以分母本身．例：．
（2）两项根式的分母有理化，同乘以使分母构成平方差公式的因式．
例：．
12.（3）分母有理化和最简是对二次根式结果的两大要求．
模块三：二次根式的基本题型（方法）
1．分母有理化+知二推二．
2． = 1 \* GB3 ①暴算；②移项平方后，运用整体代入或者降次思想（巧算）．
3．裂项相消、换元等．
模块一
二次根式的基本概念
（1）当x取何值时，下列二次根式在实数范围内有意义．
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③； = 4 \* GB3 ④．
（2）在二次根式、、、中，是最简二次根式的是________．
（3）将下列二次根式化成最简二次根式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．
（1） = 1 \* GB3 ①且； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③； = 4 \* GB3 ④；
（2）；
（3）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．
【教师备课提示】这道题主要考查最简二次根式的判定以及二次根式的化简．
（1）数必须是整数，式子必须是整式；（2）根号下不能含有可开方因子．
建议：讲解二次根式的化简，通过最特殊的开始让学生们做大量的练习．（开火车）
（1）已知最简根式与是同类二次根式，则________，________．
（2）在，，，…，这20个式子中，与是同类二次根式的共有____个．
（3）在，，，…，这1999个式子中，与是同类二次根式的共有________个．
（4）方程的整数解有_________组．
（1）根据同类二次根式定义可知：，解之得．
（2），，与同类，共3个．
（3），所以，，…，与同类，共19个．
（4）∵，，为同类二次根式，，
∴原方程为：．设，，
∴，∴、1、2、…、11、12，∴m、n的值有13组，
故原方程的整数解有13组．
【教师备课提示】这道题主要考查同类二次根式的概念，相对较难．
模块二
二次根式的四则运算
计算下列各式：（1）
（2）
（3）
（4）
（1）；（2）；（3）；（4）．
【教师备课提示】这道题主要练习二次根式的四则运算：
（1）加减法：先化简二次根式，然后合并同类二次根式；
（2）乘除法：二次根式的除法转化为乘法．
计算下列各式：（1）
（2）
（3）
（1）；（2）；（3）．
【教师备课提示】这道题主要练习含字母的二次根式的计算，实际上方法是一样的．
将下列二次根式分母有理化：
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③； = 4 \* GB3 ④； = 5 \* GB3 ⑤； = 6 \* GB3 ⑥； = 7 \* GB3 ⑦； = 8 \* GB3 ⑧．
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③； = 4 \* GB3 ④； = 5 \* GB3 ⑤； = 6 \* GB3 ⑥；
= 7 \* GB3 ⑦；
= 8 \* GB3 ⑧法1：当时，，
当时，原式；
法2：．
【教师备课提示】最终结果分母不能有根式；这道题主要大量练习分母有理化．注意第（8）题如果使用分母有理化一定注意要讨论．
计算下列各式：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）原式
（2）原式
（3）原式=
（4）原式
（三元完全平方法或平方差）
（5）原式
（6）原式
【教师备课提示】这道题主要练习可以利用平方差公式进行二次根式的计算．对于根号里面有小数可将小数换成分数后进行计算．
模块三
二次根式的基本题型
（1）（七中高新）已知，，求代数式的值．
（2）（石联半期），，则的值为________．
（1），，则，，
∴原式．
（2），，则，
∴原式．
【教师备课提示】这道题主要考查分母有理化化简再运用知二推二求值．
（1）设，则的值为________．
（2）（树德实验半期）已知：，则的值为________．
（1），则，
；
（2）∵，∴，
∴原式．
【教师备课提示】这道题主要考查平方有理化（消根号）的化简求值．
此类题型：法1：代入暴算求值；
法2：移项平方后运用整体代入或降次思想．
（1）________．
（2）________．
（1）原式；
（2）先找到它的通项公式：
，
故原式．
________．
令，则
原式
【教师备课提示】这道题主要考查换元法（糖葫芦）；来求根式的值．
复习巩固
模块一
二次根式的基本概念
（1）（树德实验半期）已知实数a满足，则a的取值范围是________．
（2）下面各式：①；②；③；④成立的是（ ）
A．①② B．③ C．①②③ D．②③
（3）化简________．
（4）下面与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
（5）方程的整数解有________组．
（1）；（2）B；
（3）由题意知，所以.
（4）C;（5）∵为同类二次根式，，
∴原方程为：．
设，，
∴，∴m、n的值有四组，
即，，，，
故原方程的整数解有4组．
第（2）、（3）题易错，可以讲一下．
模块二
二次根式的四则运算
计算下列各式：（1）
（2）
（1）原式=
．
（2）原式．
计算：（1）
（2）
（3）
（4）
（1）；（2）；（3）；（4）．
模块三
二次根式的基本题型
（1）（实外半期）已知，，则的值为________．
（2）（育才半期）若，，则的值为________．
（1）25；（2）5．
（1）当，时，代数式的值是_______．
（2）（全国初中联赛题）当时，多项式的值为（ ）．
A．1 B． C．22001 D．
（1）；（2）B．
第二讲
二次根式（一）
模块一 二次根式的基本概念
模块二 二次根式的四则运算
模块三 二次根式的基本题型
模块一：二次根式的基本概念
1．二次根式：
一般地，形如的代数式叫做二次根式，a叫做被开方数．
2．n次根式：
形如的代数式叫做n次根式，其中若n为偶数，则必须满足．
3．最简二次根式：
满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
= 1 \* GB3 ①一般地，被开方数不含分母，即被开方数是整数或整式；
②被开方数中不含有能开方的因数或因式．
4．两个重要性质：
；
5．同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式．
模块二：二次根式的四则运算
1．乘除法：
；．
2．加减法：
，．
3．混合运算：
遵循有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用．
4．乘法公式的推广：
①；
②；
③．
5．二次根式的分母有理化
定义：在二次根式中，将无理数的分母化为有理数的过程．
方法：分子分母同时乘以有理化因式（有理化因式是指相乘之后使分母变为有理数的因式）．
6．（1）单项根式的分母有理化，同乘以分母本身．例：．
（2）两项根式的分母有理化，同乘以使分母构成平方差公式的因式．
例：．
12.（3）分母有理化和最简是对二次根式结果的两大要求．
模块三：二次根式的基本题型（方法）
1．分母有理化+知二推二．
2． = 1 \* GB3 ①暴算；②移项平方后，运用整体代入或者降次思想（巧算）．
3．裂项相消、换元等．
模块一
二次根式的基本概念
（1）当x取何值时，下列二次根式在实数范围内有意义．
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③； = 4 \* GB3 ④．
（2）在二次根式、、、中，是最简二次根式的是________．
（3）将下列二次根式化成最简二次根式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．
（1） = 1 \* GB3 ①且； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③； = 4 \* GB3 ④；
（2）；
（3）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．
【教师备课提示】这道题主要考查最简二次根式的判定以及二次根式的化简．
（1）数必须是整数，式子必须是整式；（2）根号下不能含有可开方因子．
建议：讲解二次根式的化简，通过最特殊的开始让学生们做大量的练习．（开火车）
（1）已知最简根式与是同类二次根式，则________，________．
（2）在，，，…，这20个式子中，与是同类二次根式的共有____个．
（3）在，，，…，这1999个式子中，与是同类二次根式的共有________个．
（4）方程的整数解有_________组．
（1）根据同类二次根式定义可知：，解之得．
（2），，与同类，共3个．
（3），所以，，…，与同类，共19个．
（4）∵，，为同类二次根式，，
∴原方程为：．设，，
∴，∴、1、2、…、11、12，∴m、n的值有13组，
故原方程的整数解有13组．
【教师备课提示】这道题主要考查同类二次根式的概念，相对较难．
模块二
二次根式的四则运算
计算下列各式：（1）
（2）
（3）
（4）
（1）；（2）；（3）；（4）．
【教师备课提示】这道题主要练习二次根式的四则运算：
（1）加减法：先化简二次根式，然后合并同类二次根式；
（2）乘除法：二次根式的除法转化为乘法．
计算下列各式：（1）
（2）
（3）
（1）；（2）；（3）．
【教师备课提示】这道题主要练习含字母的二次根式的计算，实际上方法是一样的．
将下列二次根式分母有理化：
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③； = 4 \* GB3 ④； = 5 \* GB3 ⑤； = 6 \* GB3 ⑥； = 7 \* GB3 ⑦； = 8 \* GB3 ⑧．
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②； = 3 \* GB3 ③； = 4 \* GB3 ④； = 5 \* GB3 ⑤； = 6 \* GB3 ⑥；
= 7 \* GB3 ⑦；
= 8 \* GB3 ⑧法1：当时，，
当时，原式；
法2：．
【教师备课提示】最终结果分母不能有根式；这道题主要大量练习分母有理化．注意第（8）题如果使用分母有理化一定注意要讨论．
计算下列各式：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）原式
（2）原式
（3）原式=
（4）原式
（三元完全平方法或平方差）
（5）原式
（6）原式
【教师备课提示】这道题主要练习可以利用平方差公式进行二次根式的计算．对于根号里面有小数可将小数换成分数后进行计算．
模块三
二次根式的基本题型
（1）（七中高新）已知，，求代数式的值．
（2）（石联半期），，则的值为________．
（1），，则，，
∴原式．
（2），，则，
∴原式．
【教师备课提示】这道题主要考查分母有理化化简再运用知二推二求值．
（1）设，则的值为________．
（2）（树德实验半期）已知：，则的值为________．
（1），则，
；
（2）∵，∴，
∴原式．
【教师备课提示】这道题主要考查平方有理化（消根号）的化简求值．
此类题型：法1：代入暴算求值；
法2：移项平方后运用整体代入或降次思想．
（1）________．
（2）________．
（1）原式；
（2）先找到它的通项公式：
，
故原式．
________．
令，则
原式
【教师备课提示】这道题主要考查换元法（糖葫芦）；来求根式的值．
复习巩固
模块一
二次根式的基本概念
（1）（树德实验半期）已知实数a满足，则a的取值范围是________．
（2）下面各式：①；②；③；④成立的是（ ）
A．①② B．③ C．①②③ D．②③
（3）化简________．
（4）下面与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
（5）方程的整数解有________组．
（1）；（2）B；
（3）由题意知，所以.
（4）C;（5）∵为同类二次根式，，
∴原方程为：．
设，，
∴，∴m、n的值有四组，
即，，，，
故原方程的整数解有4组．
第（2）、（3）题易错，可以讲一下．
模块二
二次根式的四则运算
计算下列各式：（1）
（2）
（1）原式=
．
（2）原式．
计算：（1）
（2）
（3）
（4）
（1）；（2）；（3）；（4）．
模块三
二次根式的基本题型
（1）（实外半期）已知，，则的值为________．
（2）（育才半期）若，，则的值为________．
（1）25；（2）5．
（1）当，时，代数式的值是_______．
（2）（全国初中联赛题）当时，多项式的值为（ ）．
A．1 B． C．22001 D．
（1）；（2）B．
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