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初一数学.春季.直升班.教师版.第1讲 实数
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这是一份初一数学.春季.直升班.教师版.第1讲 实数，共20页。
第一讲
实数
模块一 平方根和立方根
模块二 实数的估算和高斯记号
模块三 实数的概念和分类
模块一：平方根和立方根
1．平方根
2．算术平方根
3．立方根
模块二：实数的估算和高斯记号
1．估算法：
（1）若，则；
（2）若，则；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．
常见实数的估算值：，，．
2．高斯记号：
任何实数都可以由整数部分和小数部分组成，整数部分指的是不超过这个实数的最大整数，小数部分是这个实数减去它的整数部分．
例如：的整数部分为2，那么小数部分为；的整数部分为1，那么小数部分为；的整数部分为，那么小数部分为．
模块三：实数的概念和分类
1．无理数：无限不循环小数叫无理数．
2．实数：有理数和无理数统称实数．
3．实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的.
4．实数的分类
模块一
平方根和立方根
（1）求下列各数的平方根和算术平方根：
①； = 2 \* GB3 ②0.0001； = 3 \* GB3 ③5； = 4 \* GB3 ④； = 5 \* GB3 ⑤．
（2）平方根等于本身的数是________，算术平方根等于它本身的数是________．
（3）一个数的平方根是和，则这个数是________．
（1） = 1 \* GB3 ①和、 = 2 \* GB3 ②和0.01、 = 3 \* GB3 ③和、 = 4 \* GB3 ④和3、 = 5 \* GB3 ⑤和2；
（2）0；0和1；（3）169．
【教师备课提示】这道题主要考查平方根和算术平方根的定义．
判断下列各题，并说明理由
（1）的平方根是．（ ）
（2）算术平方根一定是正数．（ ）
（3）一定是正数．（ ）
（4）没有算术平方根．（ ）
（5）．（ ）
（6）若，则．（ ）
（7）是的平方根．（ ）
（8）的平方根是．（ ）
（9）的算术平方根是a．（ ）
（10）若，则．（ ）
（11）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等．（ ）
（12）如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等．（ ）
（6）（7）（12）正确．
【教师备课提示】这道题主要考查平方根、算术平方根定义的易错点，这道题建议老师可以以左右手或者开火车的形式讲解，让每个孩子都参与进来．
列举常见易错点：
1．注意区分a的平方根（算术平方根）与的平方根（算术平方根）的计算；如（1）．
2．符号问题：0不容忽略，常见错误有：算术平方根一定为正数，非正数一定没有平方根（算术平方根）；如（2）（3）（4）．
3．逻辑考查；如（7）（8）．不能判断符号时需加绝对值；如（9）（10）．
（1）已知，求 = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②．
（2）（七初半期）已知：，则=_______．
（3）已知x、y为实数，，则的平方根为________．
（4）（育才期末）若x、y为实数，且满足，则的算术平方根为________．
（5）（嘉祥2014-2015半期）已知x，y为实数，且那么________．
（1）由题意可得 = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②；
所以，．由知二推二可以得到：
，
（2）4；（3）；（4）；（5）—2．
【教师备课提示】这道题主要考查双重非负性，需要分析非负性，并且需要学生注意题目要求的问题，避免粗心，所以做这样的题目一定要看清问题仔细作答．
（1）若，则________；计算的结果是_______．
（2）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：________．
（3）（育才半期，B26）已知，，求的平方根．
（1）1、1；（2）．
（3）由二次根式的定义知：，即，又由二次根式的两个重要等式知：，得：；由非负性知：，则，所以：，平方根：．
【教师备课提示】这道题主要考查二次根式的两个重要等式及对范围的限制，注意，容易出错．
（1）求下列各数的立方根：
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②8； = 3 \* GB3 ③； = 4 \* GB3 ④； = 5 \* GB3 ⑤
（2）已知：的平方根为，的立方根为4，求的值．
（3）已知，，且，，求xy的值．
（1） = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②2； = 3 \* GB3 ③； = 4 \* GB3 ④2； = 5 \* GB3 ⑤；
（2）53；
（3）∵，∴，∵，∴；
又∵，∴，解得，，
进而可得，，．
【教师备课提示】这道题主要考查立方根、平方根的定义和性质（需要更加细心）．
计算：（1） （2）
（3） （4）
（1）；（2）；（3）；（4）．
【教师备课提示】这道题主要考查平方根和立方根基础的计算．
模块二
实数的估算和高斯记号
（1）若，则估计m的范围为（ ）．
A． B． C． D．
（2）比较下列各数大小：
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②____； = 3 \* GB3 ③_____； = 4 \* GB3 ④____．
（1）B；（2） = 1 \* GB3 ①>； = 2 \* GB3 ②<； = 3 \* GB3 ③>； = 4 \* GB3 ④>．
（1）对于一个无理数m，我们把不超过m的最大整数叫做m的整数部分，把m减去整数部分的差叫做m的小数部分．设，a是x的小数部分，b是的小数部分．求的值．
（2）（成外半期）若与的小数部分分别为a与b，则_______．
（3）设表示不大于x的最大整数，则________．
（1）由的近似值知，
所以x的整数部分为2，，
又，所以的整数部分为，．
于是．．
（2）1；
（3）∵
……
．
∴原式．
【教师备课提示】这道题主要考察高斯记号．
模块三
实数的概念和分类
（1），，，，3.14，，，0.61414，……这9个实数中，无理数的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）下面有四个命题：
= 1 \* GB3 ①有理数与无理数之和是无理数；②有理数与无理数之积是无理数；
③无理数与无理数之和是无理数；④无理数与无理数之积是无理数．
请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由．
（1）D．，，，…，是无理数．
（可以开火车）
（2）设a，b是有理数，，是无理数．（可以通过举实际例子）
①若，则，此式左边是无理数，右边是有理数，它是不成立的，故是无理数．①正确．
②当时，是有理数，②不正确；
③当，时，是有理数，故③不正确；
④当时，是有理数，故④不正确．
【教师备课提示】这道题主要考查实数的分类和性质考查．
已知x，y是有理数，且，求x，y的值．
已知等式可变形为，
因为x，y是有理数，所以，
化简得，解之得．
【教师备课提示】这道题主要是应用下实数的性质．注意如果说上述式子不为0，而只为有理数，则整理后可以得到一个等量关系．
教师备选
证明是无理数．
用反证法．假设不是无理数，则是有理数，
设（p，q是互质的正整数）
两边同时平方后，整理得，所以p一定是偶数．
设（m是自然数），代入上式得，．
所以q是也是偶数，p与q均为偶数和p，q互质矛盾，
所以不是有理数，于是是无理数．
复习巩固
模块一
平方根和立方根
求下列各式的值：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7）
（1）5；（2）；（3）；（4）2；（5）6；（6）；（7）0.1ab．
（1）的平方根是，的算术平方根是，则________．
（2）已知与互为相反数，则的平方根是________．
（3）（青羊区期末，B22）已经，则值是________．
（4）已知x，y为实数，且满足，那么_______．
（1）8；（2），平方根为；（3）3；（4）或0．
（1）立方根等于它本身的数是________；平方根与立方根相等的数是________．
（2）下列说法中，正确的是（ ）．
A．的算术平方根是0.2 B．的平方根是4
C．的立方根是 D．的立方根为2
（3）（青羊期末）已知，那么的立方根是________．
（4）若，那么的立方根是______．
（1）和；；（2）D；（3）；
（4）由二次根式和绝对值的非负性可知，所以：
，故．那么的立方根为2．
计算：（1）
（2）
（3）
（1）；（2）；（3）．
模块二
实数的估算和高斯记号
（1）数轴上在表示数的点A和表示数的点B之间表示整数的点共有______个．
（2）观察例题：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值．
（3）设的整数部分为，小数部分为，则________．
（1）4个;
（2），，原式=;
（3）．
模块三
实数的概念和分类
（1）在实数，，，，，，……中，其中无理数的个数为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
（2）已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简：____．
（3）（西川半期，B25）已知a，b为有理数，m，n分别表示的整数部分和小数部分，且，求________．
（1）C；（2）；
（3）因为：，，，
因此，整数部分，小数部分，
将m，n代入等式，
得：，
又由有理数的封闭性，将式子中的有理项合并，无理项合并，
得：，
因此可得：，即：，因此可得：．平方根
解释
总结
定义
一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）．0只有一个平方根，它是0本身．
例如：9的平方根为±3，225的平方根为±15.
（1）一个正数有两个互为相反数的平方根；
（2）0的平方根为0；
（3）负数没有平方根．
表示
一个非负数a的平方根可用符号表示为．
数学语言：若，则．
例如：7的平方根为，26的平方根为．
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方（开方），a叫做被开方数．开方运算和平方运算互为逆运算．
算术平方根
解释
总结
定义
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的算术平方根．记作，读作“根号a”．特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即．
例如：9的算术平方根为3，7的算术平方根为，0的算术平方根为0．
（1）一个正数只有一个算术平方根；
（2）0的算术平方根为0；
（3）负数没有算术平方根．
重要性质
双重非负性：在式子中，有且．
两个重要等式：
（1）如果，则有；
（2）对于任意的数a，则有．
立方根
解释
总结
定义
一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
例如：27的立方根为3，的立方根为，0的立方根为0．
（1）任何实数都只有1个立方根；
（2）正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．
表示
求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数，可用符号表示为，读作“三次根号a”，中“3”叫做根指数．
数学语言：若，则．
例如：7的立方根为，的立方根为．
求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算．
重要性质
（1）在式子中，a为任何实数；（2）；．
第一讲
实数
模块一 平方根和立方根
模块二 实数的估算和高斯记号
模块三 实数的概念和分类
模块一：平方根和立方根
1．平方根
2．算术平方根
3．立方根
模块二：实数的估算和高斯记号
1．估算法：
（1）若，则；
（2）若，则；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．
常见实数的估算值：，，．
2．高斯记号：
任何实数都可以由整数部分和小数部分组成，整数部分指的是不超过这个实数的最大整数，小数部分是这个实数减去它的整数部分．
例如：的整数部分为2，那么小数部分为；的整数部分为1，那么小数部分为；的整数部分为，那么小数部分为．
模块三：实数的概念和分类
1．无理数：无限不循环小数叫无理数．
2．实数：有理数和无理数统称实数．
3．实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的.
4．实数的分类
模块一
平方根和立方根
（1）求下列各数的平方根和算术平方根：
①； = 2 \* GB3 ②0.0001； = 3 \* GB3 ③5； = 4 \* GB3 ④； = 5 \* GB3 ⑤．
（2）平方根等于本身的数是________，算术平方根等于它本身的数是________．
（3）一个数的平方根是和，则这个数是________．
（1） = 1 \* GB3 ①和、 = 2 \* GB3 ②和0.01、 = 3 \* GB3 ③和、 = 4 \* GB3 ④和3、 = 5 \* GB3 ⑤和2；
（2）0；0和1；（3）169．
【教师备课提示】这道题主要考查平方根和算术平方根的定义．
判断下列各题，并说明理由
（1）的平方根是．（ ）
（2）算术平方根一定是正数．（ ）
（3）一定是正数．（ ）
（4）没有算术平方根．（ ）
（5）．（ ）
（6）若，则．（ ）
（7）是的平方根．（ ）
（8）的平方根是．（ ）
（9）的算术平方根是a．（ ）
（10）若，则．（ ）
（11）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等．（ ）
（12）如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等．（ ）
（6）（7）（12）正确．
【教师备课提示】这道题主要考查平方根、算术平方根定义的易错点，这道题建议老师可以以左右手或者开火车的形式讲解，让每个孩子都参与进来．
列举常见易错点：
1．注意区分a的平方根（算术平方根）与的平方根（算术平方根）的计算；如（1）．
2．符号问题：0不容忽略，常见错误有：算术平方根一定为正数，非正数一定没有平方根（算术平方根）；如（2）（3）（4）．
3．逻辑考查；如（7）（8）．不能判断符号时需加绝对值；如（9）（10）．
（1）已知，求 = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②．
（2）（七初半期）已知：，则=_______．
（3）已知x、y为实数，，则的平方根为________．
（4）（育才期末）若x、y为实数，且满足，则的算术平方根为________．
（5）（嘉祥2014-2015半期）已知x，y为实数，且那么________．
（1）由题意可得 = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②；
所以，．由知二推二可以得到：
，
（2）4；（3）；（4）；（5）—2．
【教师备课提示】这道题主要考查双重非负性，需要分析非负性，并且需要学生注意题目要求的问题，避免粗心，所以做这样的题目一定要看清问题仔细作答．
（1）若，则________；计算的结果是_______．
（2）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：________．
（3）（育才半期，B26）已知，，求的平方根．
（1）1、1；（2）．
（3）由二次根式的定义知：，即，又由二次根式的两个重要等式知：，得：；由非负性知：，则，所以：，平方根：．
【教师备课提示】这道题主要考查二次根式的两个重要等式及对范围的限制，注意，容易出错．
（1）求下列各数的立方根：
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②8； = 3 \* GB3 ③； = 4 \* GB3 ④； = 5 \* GB3 ⑤
（2）已知：的平方根为，的立方根为4，求的值．
（3）已知，，且，，求xy的值．
（1） = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②2； = 3 \* GB3 ③； = 4 \* GB3 ④2； = 5 \* GB3 ⑤；
（2）53；
（3）∵，∴，∵，∴；
又∵，∴，解得，，
进而可得，，．
【教师备课提示】这道题主要考查立方根、平方根的定义和性质（需要更加细心）．
计算：（1） （2）
（3） （4）
（1）；（2）；（3）；（4）．
【教师备课提示】这道题主要考查平方根和立方根基础的计算．
模块二
实数的估算和高斯记号
（1）若，则估计m的范围为（ ）．
A． B． C． D．
（2）比较下列各数大小：
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②____； = 3 \* GB3 ③_____； = 4 \* GB3 ④____．
（1）B；（2） = 1 \* GB3 ①>； = 2 \* GB3 ②<； = 3 \* GB3 ③>； = 4 \* GB3 ④>．
（1）对于一个无理数m，我们把不超过m的最大整数叫做m的整数部分，把m减去整数部分的差叫做m的小数部分．设，a是x的小数部分，b是的小数部分．求的值．
（2）（成外半期）若与的小数部分分别为a与b，则_______．
（3）设表示不大于x的最大整数，则________．
（1）由的近似值知，
所以x的整数部分为2，，
又，所以的整数部分为，．
于是．．
（2）1；
（3）∵
……
．
∴原式．
【教师备课提示】这道题主要考察高斯记号．
模块三
实数的概念和分类
（1），，，，3.14，，，0.61414，……这9个实数中，无理数的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）下面有四个命题：
= 1 \* GB3 ①有理数与无理数之和是无理数；②有理数与无理数之积是无理数；
③无理数与无理数之和是无理数；④无理数与无理数之积是无理数．
请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由．
（1）D．，，，…，是无理数．
（可以开火车）
（2）设a，b是有理数，，是无理数．（可以通过举实际例子）
①若，则，此式左边是无理数，右边是有理数，它是不成立的，故是无理数．①正确．
②当时，是有理数，②不正确；
③当，时，是有理数，故③不正确；
④当时，是有理数，故④不正确．
【教师备课提示】这道题主要考查实数的分类和性质考查．
已知x，y是有理数，且，求x，y的值．
已知等式可变形为，
因为x，y是有理数，所以，
化简得，解之得．
【教师备课提示】这道题主要是应用下实数的性质．注意如果说上述式子不为0，而只为有理数，则整理后可以得到一个等量关系．
教师备选
证明是无理数．
用反证法．假设不是无理数，则是有理数，
设（p，q是互质的正整数）
两边同时平方后，整理得，所以p一定是偶数．
设（m是自然数），代入上式得，．
所以q是也是偶数，p与q均为偶数和p，q互质矛盾，
所以不是有理数，于是是无理数．
复习巩固
模块一
平方根和立方根
求下列各式的值：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7）
（1）5；（2）；（3）；（4）2；（5）6；（6）；（7）0.1ab．
（1）的平方根是，的算术平方根是，则________．
（2）已知与互为相反数，则的平方根是________．
（3）（青羊区期末，B22）已经，则值是________．
（4）已知x，y为实数，且满足，那么_______．
（1）8；（2），平方根为；（3）3；（4）或0．
（1）立方根等于它本身的数是________；平方根与立方根相等的数是________．
（2）下列说法中，正确的是（ ）．
A．的算术平方根是0.2 B．的平方根是4
C．的立方根是 D．的立方根为2
（3）（青羊期末）已知，那么的立方根是________．
（4）若，那么的立方根是______．
（1）和；；（2）D；（3）；
（4）由二次根式和绝对值的非负性可知，所以：
，故．那么的立方根为2．
计算：（1）
（2）
（3）
（1）；（2）；（3）．
模块二
实数的估算和高斯记号
（1）数轴上在表示数的点A和表示数的点B之间表示整数的点共有______个．
（2）观察例题：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的值．
（3）设的整数部分为，小数部分为，则________．
（1）4个;
（2），，原式=;
（3）．
模块三
实数的概念和分类
（1）在实数，，，，，，……中，其中无理数的个数为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
（2）已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简：____．
（3）（西川半期，B25）已知a，b为有理数，m，n分别表示的整数部分和小数部分，且，求________．
（1）C；（2）；
（3）因为：，，，
因此，整数部分，小数部分，
将m，n代入等式，
得：，
又由有理数的封闭性，将式子中的有理项合并，无理项合并，
得：，
因此可得：，即：，因此可得：．平方根
解释
总结
定义
一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）．0只有一个平方根，它是0本身．
例如：9的平方根为±3，225的平方根为±15.
（1）一个正数有两个互为相反数的平方根；
（2）0的平方根为0；
（3）负数没有平方根．
表示
一个非负数a的平方根可用符号表示为．
数学语言：若，则．
例如：7的平方根为，26的平方根为．
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方（开方），a叫做被开方数．开方运算和平方运算互为逆运算．
算术平方根
解释
总结
定义
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的算术平方根．记作，读作“根号a”．特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即．
例如：9的算术平方根为3，7的算术平方根为，0的算术平方根为0．
（1）一个正数只有一个算术平方根；
（2）0的算术平方根为0；
（3）负数没有算术平方根．
重要性质
双重非负性：在式子中，有且．
两个重要等式：
（1）如果，则有；
（2）对于任意的数a，则有．
立方根
解释
总结
定义
一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
例如：27的立方根为3，的立方根为，0的立方根为0．
（1）任何实数都只有1个立方根；
（2）正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．
表示
求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数，可用符号表示为，读作“三次根号a”，中“3”叫做根指数．
数学语言：若，则．
例如：7的立方根为，的立方根为．
求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算．
重要性质
（1）在式子中，a为任何实数；（2）；．
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