初二数学.寒.直升班.教师版.第5讲 圆（三）

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圆（三）
模块一 切线的性质和判定
模块二 切线长定理
模块三 弦切角定理
模块一 切线的性质和判定
1．切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
如图，直线AB与相切于点P，连接OP，则.
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直.
2．切线的判定：
定义：和圆只有一个交点的直线是圆的切线．
距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直.
模块二 切线长定理
1．切线长定理：
切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
如图所示，PA、PB分别与切于点A、B，则，OP平分．
2．三角形的内切圆
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平分线的交点．
注意：（1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部．
（2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径．
（3）常见结论：如图，，，，，．
模块三 弦切角定理
1．弦切角定理：
弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.
弦切角就是切线与弦所夹的角．
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．
如图所示，直线AB切圆O于点A，AC为圆O的弦，是弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，则．
模块一 切线的性质和判定
0
（1）如图1-1，AB是的直径，，AC是的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若，则__________．
（2）如图1-2，直线AB与相切于点A，AC、CD是的两条弦，且，若的半径为，，则弦AC的长为_________．
（3）如图1-3，CB切于点B，CA交于点D且AB为的直径，点E是上异于点A、D的一点．若，则的度数为________．

图1-1 图1-2 图1-3
（4）PA，PB是的切线，C是圆周上异于A、B的一点，若，则__________．
（1）（连接OC）；（2）（连接AO并延长交CD）；
（3）（连接OD）；（4）或．
已知：如图，AB是的直径，直线CD与相切于点C，AC平分．
（1）求证：；
（2）若，，求直径AB的长．
（1）连接OC．则，∴．
∵AC平分，∴．∴．
∴．∴．
又直线DE与相切于点C，
∴于C．∴．
∴．∴．
（2）在中，
∵，∴．
∴由勾股定理得．连接BC．
∵AB是的直径，∴．又，
∴．∴，即．
解得．∴直径AB的长是．
【教师备课提示】例1和例2主要考查切线的性质，见切线，连切点，得垂直．
（1）如图3-1，在中，，以BC为直径的与边AB相交于点D，，垂足为点E．判断DE与的位置关系，并证明你的结论；
（2）已知：如图3-2，中，，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF是半圆O的切线．

图3-1 图3-2
（3）已知：如图3-3，P是的角平分线OC上一点，于E．以P点为圆心，PE长为半径作．求证：与OB相切．
（4）如图3-4，已知O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心、OA长为半径的与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F．
= 1 \* GB3 ①求证：CD与相切；
= 2 \* GB3 ②若正方形ABCD的边长为1，求的半径．

图3-3 图3-4
（1）DE与相切，理由如下：
连接CD、OD，
∵BC为直径，∴，
∴，又，
∴，∴DO是的中位线，
∴，又∵；
∴，∴DE是的切线；
（2）连接OF，CF
∵，
∴，
∵AC是直径，
∴，
∵E是BC的中点，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵OF是半径，F在半圆O上，
∴直线EF是半圆O的切线．
（3）过P点作于D，
∵OC平分，P是OC上一点，且，
∴，
∵PE是的半径，
∴PD是半径，
∴与OB相切．
（4）连结OM，作于N点．
= 1 \* GB3 ①∵BC切于M，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，，
∴，即ON是的半径，
∴CD与相切．
= 2 \* GB3 ②由 = 1 \* GB3 ①易知四边形OMCN是正方形，
∴，设半径为r，
正方形ABCD的边长为1，
∴对角线，
∴，
∴，即的半径为．
【教师备课提示】这道题主要考查切线的判定，是中考证明切线第一问的必考题．
（1）切点已知时（已知直线上有一点在圆上），连半径，证垂直；
（2）切点未知时，作垂直，证半径（点到直线的距离和半径相等）．
已知，如图，AB是的直径，点E是的中点，连接BE交AC于点G，BG的垂直平分线CF交BG于H交AB于F点．
（1）求证：BC是的切线；
（2）若，，求BE的长．

（1）连接AE．∵CF垂直平分BG，∴，∴．
∵AB是的直径，∴，∴．
∵，∴．∵，∴．
∴．∴BC是的切线
（2）∵BC是的切线，∴．
由勾股定理，可得，∵，∴．
可证，∴，
设，．由勾股定理，可得．
解得．∴．
如图5-1所示，在中，，，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动．
（1）点E，F的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请直接写出为等腰三角形时动点E，F的位置；若不能，请说明理由．
（2）当时，设，，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围．
（3）在满足（2）中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切（如图5-2），试探究直线EF与位置关系，并证明你的结论．

（1）点E，F移动的过程中，能成为的等腰三角形．
此时点E，F的位置分别是：
= 1 \* GB3 ①E是BA的中点，F与A重合．
②．
③E与A重合，F是AC的中点．
（2）在和中，
，，
∴．
∴，
∴．
∵，，，
∴．
（3）如图，过O作OM、ON、OP分别垂直于AB、AC、EF于M、N、P，很容易证得四边形AMON为正方形，（于是本题就转化成了我们很熟悉的一个基本图形：
如图，四边形AMON为正方形，E，F分别在AM、AN上，且，我们以前证明过的结论有：
，或的周长等于等．
而对于本题只需证明中EF边上的高，即可．
延长AM至Q，使得，
则可证得）
，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
又∵，，
∴，
∵AB为切线，于M，
∴OM为半径．
又∵OM为中EQ边上的高线，OP为中EF边上的高线，
∴，
∴为切线．
另解：可证，，，
，∴为切线．
【教师备课提示】例题3主要讲方法，例4和例5主要是综合练习下证明切线的方法，结合相似的简单计算．
模块二 切线长定理
0
（1）如图6-1，PA、PB、DE分别切于A、B、C，若，周长为16，则的半径为______________．
（2）如图6-2，梯形ABCD中，，O是AB上一点，以O为圆心的半圆与AD、CD、BC都相切．已知，，则AB的长为______________．

图6-1 图6-2
（1）连接OA
∵PA、PB、DE都与相切，∴，
∴
∴，∴，即的半径为6．
（2）连接OD、OC，
∵AD、CD、BC都是半圆O的切线，
由切线长定理得，OD平分，OC平分，
∴，，
∴．
【教师备课提示】这道题主要是考察切线长定理，至少有2条及以上切线，并且和长度有关．
（1）如图7-1所示，的内切圆与三边AB、BC、CA分别切于D、E、F，，，，则__________，__________，=___________．
（2）如图7-2，为的内切圆，，，，则内切圆半径为________．

图7-1 图7-2
（1）5cm、8cm和6cm；
（2）解法一：连接OA，OB，OC，
∵，，∴
∵，
设三角形的底BC，AB，AC各为a，b，c，
即，
∴，
解法二：
设切BC，AC，AB于M，N，P三点，
由切线长定理可知：，，，
∴
∵，∴，
由，，可证得四边形OMCN为正方形．
∴，即的半径．
【教师备课提示】直角三角形的内切圆半径（其中a、b为直角边，c为斜边）．
模块三 弦切角定理
0
如图，BC为半圆的直径，O为圆心，，AD与半圆相切于D，，．求证：．

连接CE，，
∵，
∴，
∴，
∴．
已知AB是的弦，直线l在平面上，过A、B两点分别作于点C，于点D．
（1）如图9-1，若AB是的直径，直线l切于点E，过点E作于点F．求证：；
（2）如图9-2，AB是的弦，直线l切于点E，过点E作于点F，此时EF、AC、BD有什么关系？
（3）如图9-3，AB是的弦，直线l交于、两点，过、分别作于点，于点，此时直接写出、、AC、BD有什么关系？

图9-1 图9-2 图9-3
（1）如图，连接AE、EB．
∵切于，
∴，
又，
∴，
∴．
同理可得．
∴，
∴．
（2）连接、．
∵切于，
∴，
，
∴，
∴．
同理可得．
∴，
∴．
（3）．具体证明同上题．
【教师备课提示】例8和例9主要考查弦切角定理的应用．
如图，已知AB为的弦，C为上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．
（1）求证：AD是的切线．
（2）若的半径为3，，求AD的长．

（1）证明：如图，连接AO并延长交于点E，
连接BE，则．
∴．
∵，，
∴．
∴AD是的切线．
（2）在中，
，所以．
易知，∴，
∴，即，解得．
【教师备课提示】这道题是弦切角定理的逆应用，主要用于证明直线是圆的切线．
模块一 切线的性质和判定
复习巩固
（1）如图1-1，PA切于A，PO交于，若，，则的半径是_____．
（2）如图1-2，半径为3的切直线AC于B，，，则的度数是_______．
（3）如图1-3，AB是的直径，点C在AB的延长线上，CD与相切于点D．若，则________．

图1-1 图1-2 图1-3
（1）cm；（2）；（3）．
已知：如图，在中，，点E在斜边AB上，以AE为直径的与BC边相切于点D，连接AD．
（1）求证：AD是的平分线；
（2）若，，求的半径．

（1）连接OD，∴，∴，
∵BC为的切线，
∴，
∵，∴，
∴，
∴，∴，
∴AD是的平分线．
（2）在中，，，，
∴，，
在中，，
设，则，，
∴，∴，解得，
∴半径．
如图，，以AB为直径的交AC于点D，过D作，垂足为E．
（1）求证：DE是的切线；
（2）作交于G，垂足为F，若，，求弦DG的长．
（1）连接OD，
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴
，
∴，
∵OD半径，∴DE是的切线．
（2）连接BD，
∵AB是直径，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
如图，在中，，以AB为直径的交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE与相切；
（2）连接OE，若，，求OE的长．

（1）证明：如图所示，连接OD，BD，∵AB是的直径，∴．
在中，∵E是BC的中点，∴；∴，∴．∵，∴；∵，∴，即，∴DE是的切线；
（2），设，，
在中，，，得，
，是中位线，．
模块二 切线长定理
（1）如图，是的内切圆，D、E、F是切点，，，，又直线切于G，交AB、BC于M、N，则的周长为______________．
（2）中，，，，则的内切圆半径_________．
（1）；（2）2．
模块三 弦切角定理
已知：如图，C为上一点，DA交于B，连接AC、BC，且．
求证：（1）DC为的切线；（2）．

（1）连接CO并延长交于E，连接BE．
可知CE是的直径，∴，∴
∵，，∴，
∴，
∵CE是直径，∴CE是的切线．
（2）∵，是公共角，
∴，
∴，即．
设圆半径为，则，得，
外接圆的面积为．