2021届二轮复习 80分小题精准练6理 （全国通用）
展开80分小题精准练(六)
(建议用时：50分钟)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(RS)∪T＝( )
A．(－∞，1] B．(－∞，－4]
C．(－2,1] D．[1，＋∞)
A [因为S＝{x|x＞－2}，所以RS＝{x|x≤－2}，
又因为T＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}，
∴(RS)∪T＝{x|x≤1}＝(－∞，1]，故选A.]
2．复数z满足＝，其中i是虚数单位，则|z|＝( )
A．1 B.
C. D.
B [因为＝，所以z＝×(－2i)＝1－i，
故|z|＝＝，故选B.]
3．安徽黄山景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于5分钟的概率为( )
A. B.
C. D.
B [他等待时间不多于5分钟的概率为P＝＝，故选B.]
4．(2020·蚌埠二模)已知两个非零单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论不正确的是( )
A．e1在e2方向上的投影为cos θ
B．e＝e
C．θ∈R，(e1＋e2)(e1－e2)＝0
D．θ∈R，使e1·e2＝
D [e1在e2方向上的投影为|e1|cos θ＝cos θ，故A正确；e＝e＝1，故B正确；
(e1＋e2)(e1－e2)＝e－e＝0，故C正确；
e1·e2＝|e1||e2|cos θ∈[－1,1]，故D错误，故选D.]
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S6＝24，S9＝63，则a4＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
B [∵等差数列{an} 的前n项和为Sn，且S6＝24，
S9＝63，
∴
解得a1＝－1，d＝2，
∴a4＝－1＋2×3＝5.故选B.]
6．函数y＝，x∈(－π，π)图象大致为 ( )
D [∵f(－x)＝＝－f(x)，∴函数为奇函数，排除A；由于f＝＝－1，f＝＝0，
f＝＝0，故排除B，C，故选D.]
7．设a∈R，若与的二项展开式中的常数项相等，则a＝( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
A [的通项公式为Tk＋1＝C(x2)9－k＝Cx18－2k·2kx－k＝C·2kx18－3k，
由18－3k＝0得k＝6，即常数项为T6＋1＝C·26＝84×64，的通项公式为Tr＋1＝C(x)9－r＝Cx9－r·arx－2r＝C·arx9－3r，
由9－3r＝0得r＝3，即常数项为T3＋1＝C·a3＝84a3，
∵两个二项展开式中的常数项相等，
∴84a3＝84×64，∴a3＝64，即a＝4，故选A.]
8．20世纪70年代流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换，如果n是奇数，则下一步变成3n＋1；如果n是偶数，则下一步变成.这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为( )
A．5 B．16
C．5或32 D．4或5或32
C [若n＝5，执行程序框图，n＝16，i＝2；n＝8，i＝3；n＝4，i＝4；n＝2，i＝5；n＝1，i＝6，结束循环，输出的i＝6.若n＝32，执行程序框图，n＝16，i＝2；n＝8，i＝3；n＝4，i＝4；n＝2，i＝5；n＝1，i＝6，结束循环，输出的i＝6.当n＝4或16时，检验可知不正确，故输入的n＝5或32，故选C.]
9．已知函数f(x)＝sin x＋cos x，先将f(x)图象上所有点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ＞0)个单位长度，得到的图象关于 y轴对称，则θ的最小值为( )
A. B.
C. D.
B [因为f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，
将f(x)图象上所有点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ＞0)个单位长度，得函数解析式为g(x)＝2sin＝2sin，
由y＝g(x)的图象关于y轴对称，则函数y＝g(x)为偶函数，即－2θ＝kπ＋，即θ＝－kπ－(k∈Z),
又θ＞0，所以θ的最小值为，故选B.]
10．《九章算术》中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形．已知一个羡除的三视图如图实线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为( )
A．20 B．24
C．28 D．32
B [连接CE，BE，DB，
则VEABCD＝××(6＋2)×4×3＝16，
VCBEF＝××4×3×4＝8.
∴羡除的体积V＝VEABCD＋VCBEF＝16＋8＝24.故选B.]
11．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，若点A在抛物线上，且|AF|＝5，则|PA|＋|PO|的最小值为( )
A. B．2
C. D．2
D [∵|AF|＝5，由抛物线的定义得点A到准线的距离为5，即A点的横坐标为4，又点A在抛物线上，∴点A的坐标为(4，±4)；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B(－2,0)，则|PA|＋|PO|的最小值为|AB|＝＝2，故选D.]
12．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)＝1＋x，且f(1)＝2，不等式f(x)≥(a＋1)x＋1有解，则正实数a的取值范围是( )
A．(0，] B．(0，)
C. D.
C [由xf′(x)＝1＋x，得f′(x)＝＋1，
∴f(x)＝ln x＋x＋c.
由f(1)＝1＋c＝2，得c＝1.
所以不等式 f(x)≥(a＋1)x＋1
可化为ln x＋x＋1≥(a＋1)x＋1，即a≤，
令g(x)＝，x＞0，
则g′(x)＝，由g′(x)＝0，得x＝e，
所以x∈(0，e)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；
x∈(e，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递减；
所以x＝e时函数g(x)取得最大值为g(e)＝.
要使不等式有解，则正实数a的取值范围是.故选C.]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝________.
－4 [∵f(a)＝a＋－1＝2，即a＋＝3.
∴f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.]
14．已知an＝3n－1，bn＝ ，数列{bn}的前n项的和为Sn，则S9＝________.(用具体数字作答)
1 533 [∵an＝3n－1，bn＝ ，∴bn＝＝3·2n－1.
数列{bn}的前n项的和为Sn，则S9＝3×＝1 533.]
15．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，P是双曲线的右支上的点，满足|PF2|＝|F1F2|，且原点O到直线PF1的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的离心率为________．
[依题意|PF2|＝|F1F2|，可知△PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，
原点O到直线PF1的距离等于双曲线的实半轴长，由勾股定理可知|PF1|＝4b，根据双曲定义可知2b＝c＋a，整理得c＝2b－a，代入c2＝a2＋b2整理得3b2－4ab＝0，即＝，∴双曲线的离心率为：e＝＝＝＝. ]
16．正三棱锥PABC中，PA＝AB＝4，点E在棱PA上，且PE＝3EA.正三棱锥PABC的外接球为球O，过E点作球O的截面α，α截球O所得截面面积的最小值为________．
3π [因为PA＝PC＝PB＝4，AB＝AC＝BC＝4，所以PA2＋PC2＝AC2，
所以∠CPA＝，同理∠CPB＝∠BPA＝，
故可把正三棱锥补成正方体(如图所示)，其外接球即为球O，直径为正方体的体对角线，故2R＝4，设PA的中点为F，连接OF，则OF＝2且OF⊥PA，所以OE＝＝3，
当OE⊥平面α时，平面α截球O的截面面积最小，
此时截面为圆面，其半径为＝，故截面的面积为3π. ]
