2021届二轮复习 80分小题精准练4理 （全国通用）
展开80分小题精准练(四)
(建议用时：50分钟)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x2－x－2＜0}，则A∩B＝( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－1,2) D．(1,2)
A [B＝{x|x2－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B＝{x|－1＜x＜1}＝(－1,1)，故选A.]
2．“a＝2”是“复数z＝(a∈R)为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [复数z＝＝＝a－2＋(a＋2)i(a∈R)为纯虚数，则a－2＝0，a＋2≠0.
∴“a＝2”是“复数z＝(a∈R)为纯虚数”的充要条件．故选C.]
3．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，且(a＋b)(a－2b)＝4，则向量a，b的夹角为( )
A. B.
C. D.
D [∵(a＋b)(a－2b)＝4，∴a2－a·b－2b2＝4，
a·b＝9－2×4－4＝－3，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.故选D.]
4．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－ B．－
C. D．2
A [因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝1，解得a＝－.]
5．(x－1)7(x＋1)3的展开式中x的系数是( )
A．10 B．4
C．－10 D．－4
B [(x－1)7(x＋1)3的展开式含x的项是：
C(－1)7·Cx·C·12＋CxC(－1)6·C·13＝4x.
∴(x－1)7(x＋1)3的展开式中x的系数是4.故选B.]
6．(2020·济南高三期末)已知a＝log2 0.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
B [∵a＝log20.2＜0，b＝20.2＞1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b.故选B.]
7．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，若an(an－1＋2an＋1)＝3an－1·an＋1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项an＝( )
A. B.
C. D.
B [由an(an－1＋2an＋1)＝3an－1·an＋1(n≥2，n∈N*)，
可得－＝2，
－＝3－1＝2，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列．
∴－＝2n.
∴＝＋＋…＋＋
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.
∴an＝.故选B.]
8．(2020·浙江北京朝阳期末)设0＜a＜1.随机变量X的分布列是
X | 0 | a | 1 |
P |
则当a在(0,1)内增大时，( )
A．D(X)增大
B．D(X)减小
C．D(X)先增大后减小
D．D(X)先减小后增大
D [E(X)＝0×＋a×＋1×＝，
D(X)＝×＋×＋×
＝[(a＋1)2＋(2a－1)2＋(a－2)2]
＝(a2－a＋1)＝＋.
∵0＜a＜1，∴D(X)先减小后增大，故选D.]
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，C＝60°，且△ABC的面积为5，则△ABC的周长为( )
A．8＋ B．9＋
C．10＋ D．14
B [由题意，根据三角形面积公式，得absin C＝5，即a×5×＝5，解得a＝4.根据余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，即c2＝16＋25－2×4×5×，c＝，所以△ABC的周长为9＋.故选B.]
10．已知抛物线C：y2＝8x与直线y＝k(x＋2)(k＞0)相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则AB的中点的横坐标为( )
A． B．3
C．5 D．6
A [根据题意，设AB的中点为G，
抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝－2，焦点为F(2,0)，
直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2,0)．
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，
即点B为AP的中点．连接OB，则|OB|＝|AF|，
又由|FA|＝2|FB|，则|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1，
又B为P、A的中点，则A的横坐标为4，
故AB的中点G的横坐标为＝，故选A.]
11．已知三棱锥OABC的底面△ABC的顶点都在球O的表面上，且AB＝6，BC＝2，AC＝4，且三棱锥OABC的体积为4，则球O的体积为( )
A. B.
C. D.
D [由O为球心，OA＝OB＝OC＝R，
可得O在底面ABC的射影为△ABC的外心，
AB＝6，BC＝2，AC＝4，可得△ABC为AC斜边的直角三角形，O在底面ABC的射影为斜边AC的中点M，可得·OM·AB·BC＝OM·12＝4，
解得OM＝2，R2＝OM2＋AM2＝4＋12＝16，即R＝4，
球O的体积为πR3＝π·64＝π.故选D.]
12．(2020·兰州模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(0＜ω＜1，|φ|＜)的图象经过点(0,1)，且关于直线x＝对称，则下列结论正确的是( )
A．f(x)在上是减函数
B．若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则一定有f′(x0)≠0
C．f(x)≥1的解集是，k∈Z
D．f(x)图象的一个对称中心是
D [由f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0,1)，得sin φ＝，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin.因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以存在m∈Z使得ω＋＝mπ＋，得ω＝＋(m∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝，则f(x)＝2sin.令2nπ＋≤x＋≤2nπ＋，n∈Z，得4nπ＋≤x≤4nπ＋，n∈Z，故A错误；若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则f(x)在x＝x0处取得极值，所以一定有f′(x0)＝0，故B错误；由f(x)≥1得4kπ≤x≤4kπ＋，k∈Z，故C错误；因为f＝0，所以是其图象的一个对称中心，故D正确．选D.]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是“中华诗词”“社会主义核心价值观”“依法治国理念”“中国戏剧”“创新能力”．某参赛队从中任选2个主题作答，则“中华诗词”主题被该队选中的概率是________．
[由于知识竞赛有5个版块，某参赛队从中任选2个主题作答，基本事件总数有C＝10种，“中华诗词”主题被该队选中的对立事件是“社会主义核心价值观”“依法治国理念”“中国戏剧”“创新能力”选2个主题，∴“中华诗词”主题被该队选中的概率为1－＝.]
14．直线y＝b与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两支分别交于B，C两点，A为双曲线的右顶点，O为坐标原点，若OC平分∠AOB，则该双曲线的离心率为________．
[∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠COB，
由双曲线的对称性可知∠BOy＝∠COy，
∴∠AOC＝2∠COy，
∴∠AOC＝60°，
故直线OC的方程为y＝x，
令x＝b可得x＝b，即C(b，b)，
代入双曲线方程可得－3＝1，即＝2，∴b＝2a，
∴c＝＝a，∴e＝＝ . ]
15．等比数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，则a1的值为________．
－3或1 [设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，当q＝1时，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3，得(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若对任意的正整数n，
3a1n＝2a1－3恒成立，则a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1，所以Sn＝，Sn＋2＝，代入Sn＋2＝4Sn＋3并化简得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若对任意的正整数n该等式恒成立，则有解得或故a1＝－3或1.]
16．函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex在x＝2处取得极大值，则实数a的取值范围为________．
[f(x)的导数为f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(x－2)(ax－1)ex，
若a＝0则x＜2时，f′(x)＞0，f(x)递增；x＞2，f′(x)＜0，f(x)递减．
x＝2处f(x)取得极大值，满足题意；
若a＝，则f′(x)＝(x－2)2ex≥0，f(x)递增，无极值，不满足题意；
若a＞，则0＜＜2，f(x)在上递减；在(2，＋∞)，上递增，可得f(x)在x＝2处取得极小值，不满足题意；
当0＜a＜，则 ＞2，f(x)在上递减；在，(－∞，2)上递增，可得f(x)在x＝2处取得极大值，满足题意；
若a＜0，则＜0，f(x)在上递增；在(2，＋∞)，上递减，可得f(x)在x＝2处取得极大值，满足题意．
综上可得，a的取值范围是.]
