2021届二轮复习 80分小题精准练2理 （全国通用）
展开80分小题精准练(二)
(建议用时：50分钟)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－3＜x＜1}，则U(A∪B)＝( )
A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＞－3}
C．{x|x≤0或x≥1} D．{x|x≤－3}
D [全集U＝R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－3＜x＜1}，∴A∪B＝{x|x＞－3}，
∴U(A∪B)＝{x|x≤－3}，故选D.]
2．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应点的坐标为( )
A．(－2，－2) B．(－2,2)
C．(2,2) D．(2，－2)
B [z＝＝－＝－＝－＝－2＋2i，对应点的坐标为(－2,2)，故选B.]
3．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x－3y＋1＝0垂直，则该双曲线的离心率为( )
A．2 B.
C. D．2
C [∵双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x－3y＋1＝0垂直．∴双曲线的渐近线方程为y＝±3x，∴＝3，得b2＝9a2，c2－a2＝9a2，此时，离心率e＝＝.故选C.]
4．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对东营模拟100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为x1，x2，x3，…，x100，它们的平均数为，方差为s2；其中扫码支付使用的人数分别为3x1＋2,3x2＋2,3x3＋2，…，3x100＋2，它们的平均数为，方差为s′2，则，s′2分别为 ( )
A．3＋2,3s2＋2 B．3，3s2
C．3＋2,9s2 D．3＋2,9s2＋2
C [∵数据x1，x2，…，x100的平均数为，方差为s2，
根据平均数及方差的性质可知，3x1＋2,3x2＋2,3x3＋2，…，3x100＋2，它们的平均数＝3＋2，方差s′2＝9s2，故选C.]
5．已知变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为( )
A．9 B．8
C．7 D．6
D [由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，联立得A，
化目标函数z＝x＋2y为y＝－＋，
由图可知，当直线
y＝－＋过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1＋2×＝6，故选D.]
6．已知数列{an}为等比数列，首项a1＝2，数列{bn}满足bn＝log2an，且b2＋b3＋b4＝9，则a5＝( )
A．8 B．16
C．32 D．64
C [设等比数列{an}的公比为q，首项a1＝2，
∴an＝2qn－1，∴bn＝log2an＝1＋(n－1)log2q，
∴数列{bn}为等差数列．
∵b2＋b3＋b4＝9，∴3b3＝9，
解得b3＝3.∴a3＝23＝8.
∴2×q2＝8，解得q2＝4.∴a5＝2×42＝32.故选C.]
7．已知x＝为函数f(x)＝xln(ax)＋1的极值点，则a＝( )
A. B．1
C. D．2
B [f′(x)＝ln(ax)＋1，∵x＝为函数f(x)＝xln(ax)＋1的极值点，∴ln＋1＝0，解得a＝1，经验证a＝1时，x＝为函数f(x)＝xln(ax)＋1的极值点，故选B.]
8．(2020·安徽铜陵一中期末)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为( )
A. B.
C. D.
B [由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.
不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0＞0，y0＞0，
则解得所以P，
所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.
故选B.]
9．已知x∈(0，π)，则f(x)＝cos 2x＋2sin x的值域为( )
A. B．(0,2)
C. D.
D [由f(x)＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x，
设sin x＝t，∵x∈(0，π)，∴t∈(0,1]．
∴g(t)＝－2＋，∴g(t)∈.
即f(x)＝cos 2x＋2sin x的值域为 .故选D.]
10.某市召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．设其中直角三角形中较小的锐角为θ，且tan 2θ＝，如果在弦图内随机抛掷1 000粒黑芝麻(大小差别忽略不计)，则落在小正方形内的黑芝麻数大约为( )
A．350 B．300
C．250 D．200
D [由tan 2θ＝，得＝，解得tan θ＝ .设大正方形为ABCD，小正方形为EFGH，如图，
则tan θ＝＝，
设小正方形边长为a，则＝，即AF＝2a，
∴大正方形边长为a，则小正方形与大正方形面积比为＝.∴在弦图内随机抛掷1 000粒黑芝麻，则落在小正方形内的黑芝麻数大约为1 000×＝200.故选D.]
11．(2020·长沙二模)已知函数g(x)＝，若实数m满足g(logm)－g(logm)≤2g(2)，则m的取值范围是( )
A．(0,25] B．[5,25]
C．[25，＋∞) D.
A [∵g(x)＝＝x2，
∴g(－x)＝x2＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，
由g(logm)－g(logm)≤2g(2)得g(logm)≤g(2)．
又当x＞0时，y＝x2＞0，y＝ex－＞0，且在(0，＋∞)上均为增函数，故g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又g(x)为奇函数，所以g(x)在R上为增函数，
所以g(log5m)≤g(2)转化为log5m≤2，解得0＜m≤25，故选A.]
12．直线y＝kx＋1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，直线l∥AB，且l与C相切，切点为P，记△PAB的面积为S，则S－|AB|的最小值为( )
A．－ B．－
C．－ D．－
D [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，得x2－4kx－4＝0，
则x1＋x2＝4k，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2.
则|AB|＝y1＋y2＋p＝4k2＋4.
由x2＝4y，得y＝，则y′＝x，
设P(x0，y0)，则x0＝k，x0＝2k，y0＝k2.
则点P到直线y＝kx＋1的距离d＝，
从而S＝|AB|·d＝2(k2＋1).
S－|AB|＝2(k2＋1)－4(k2＋1)＝2d3－4d2(d≥1)．
令f(x)＝2x3－4x2，f′(x)＝6x2－8x(x≥1)．
当1≤x＜时，f′(x)＜0，当x＞时，f′(x)＞0，
故f(x)min＝f＝－，即S－|AB|的最小值为－.故选D.]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知m＞0，若(1＋mx)5的展开式中x2的系数比x的系数大30，则m＝________.
2 [∵m＞0，若(1＋mx)5的展开式中x2的系数比x的系数大30，∴Cm2－Cm＝30，求得m＝－(舍去)，或m＝2.]
14．已知两个单位向量a和b的夹角为120°，则a＋b在b方向上的投影为________．
[∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝120°，∴a·b＝－，b2＝1.
∴(a＋b)·b＝a·b＋b2＝.
∴a＋b在b方向上的投影为：
|a＋b|cos〈a＋b，b〉＝|a＋b|＝.]
15．已知函数f(x)＝ax2－1的图象在点A(1，f(1))处的切线与直线x＋8y＝0垂直，若数列的前n项和为Sn，则Sn＝________.
[函数f(x)＝ax2－1的导数为f′(x)＝2ax，可得f(x)在x＝1处的切线斜率为2a，
切线与直线x＋8y＝0垂直，可得2a＝8，即a＝4，
则f(x)＝4x2－1，
＝＝，
可得Sn＝
＝＝.]
16．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，BC＝，点M在棱CC1上，当MD1＋MA取得最小值时，MD1⊥MA，则棱CC1的长为________．
[∵AB＝1，BC＝，∴AC＝2，
延长DC到N使得CN＝AC＝2，则MA＝MN，
设CC1＝h，连接D1N交CC1于M′，则MD1＋MA的最小值为D1N＝.
∵＝＝，∴CM′＝，C1M′＝.
∴D1M′＝＝，AM′＝，
又AD1＝，M′A⊥M′D1，
∴AD＝M′A2＋M′D，即3＋h2＝1＋＋4＋，
解得h＝. ]
