2021届二轮复习 80分小题精准练5理 （全国通用）

80分小题精准练(五)

(建议用时：50分钟)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{x∈R|x2≥9}，集合B＝{x∈R|2≤x＜6}，则A∪B＝(　　)

A．[－3,6]　　　　　　 B．(－3,6)

C．(－∞，－3]∪[2，＋∞) D．(－∞，－3]∪[3，＋∞)

C　[∵集合A＝{x∈R|x2≥9}＝{x|x≤－3或x≥3}，集合B＝{x∈R|2≤x＜6}，∴A∪B＝{x|x≤－3或x≥2}＝(－∞，－3]∪[2，＋∞)．故选C.]

2．若复数z满足i(z－3)＝－1＋3i(其中i是虚数单位)，则z的实部为(　　)

A．6 B．1

C．－1  D．－6

A　[∵iz－3i＝－1＋3i，∴iz＝－1＋6i，

∴z＝6＋i，故z的实部为6.]

3．(2020·西城模拟)改革开放四十多年以来，某市居民生活发生了翻天覆地的变化．随着经济快速增长、居民收入稳步提升，消费结构逐步优化升级，生活品质显著增强，美好生活蓝图正在快速构建．某市城镇居民人均消费支出从2000年的7 500元增长到2020年的40 000元，2000年与2020年某市城镇居民消费结构对比如图所示：则下列叙述中不正确的是(　　)

A．2020年某市城镇居民食品支出占比同2000年相比大幅度降低 

B．2020年某市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同2000年相比有所减少 

C．2020年某市城镇居民医疗保健支出占比同2000年相比提高约60%

D．2020年某市城镇居民人均交通和通信类支出突破5 000元，大约是2000年的14倍

B　[由2000年与2020年某市城镇居民消费结构对比图，知：

在A中，2020年某市城镇居民食品支出占比同2000年相比大幅度降低，故A正确；

在B中，2020年某市城镇居民人均教育文化娱乐类支出：11%×40 000＝4 400元， 2000年某市城镇居民人均教育文化娱乐类支出：14%×7 500＝1 050元，故2020年某市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同2000年相比明显增加，故B错误；

在C中，2020年某市城镇居民医疗保健支出占比同2000年相比提高约60%，故C正确；

在D中，2020年某市城镇居民人均交通和通信类支出突破5 000元，大约是2000年的14倍，故D正确．故选B.]

4．在△ABC中，＝2，＝2，则(　　)

A.＝－   B.＝＋

C.＝－   D.＝＋

A　[＝＋＝－

＝(－)－＝－，故选A.]

5．函数f(x)＝，则f ＝(　　)

A．－5 B．－1

C．－   D.

C　[∵f(x)＝∴f＝log2，

f＝f＝2log2－2＝－2＝－.]

6．(2020·乌鲁木齐第一次诊断)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)

A．2   B.

C．1   D.

A　[由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，

T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.

故选A.]

7．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为的直线 l，若l与抛物线交于A，B两点，且AB的中点到抛物线准线的距离为4，则p的值为(　　)

A． B．1

C．2 D．3

C　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

①－②，得：(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，

∴·(y1＋y2)＝2p，

∵过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，

∴＝1，AB方程为：y＝x－，

∵为AB中点纵坐标，∴y1＋y2＝2p，

∵y1＝x1－，y2＝x2－，

∴y1＋y2＝x1＋x2－p，

∴x1＋x2＝y1＋y2＋p，

∵＝＝，

∴AB中点横坐标为，

∵线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，

∴＋＝4，解得p＝2.故选C.]

8.(2020·青岛一模)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

B　[由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，

设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：

P(A)＝＝，故选B.]

9．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，O为坐标原点，过C的右顶点且垂直于x轴的直线交C的渐近线于A，B，过C的右焦点且垂直于x轴的直线交C的渐近线于M，N，若△OAB与△OMN的面积之比为1∶9，则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±2x B．y＝±2x

C．y＝±2x D．y＝±8x

B[由三角形的面积比等于相似比的平方，

则＝，∴＝9，∴＝2，

∴C的渐近线方程为y＝±2x，故选B. ]

10．某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：

甲说胡老师不是上海人，是福州人；

乙说胡老师不是福州人，是南昌人；

丙说胡老师不是福州人，也不是广州人．

听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对，由此可推测胡老师(　　)

A．一定是南昌人

B．一定是广州人

C．一定是福州人

D．可能是上海人

D　[若胡老师是南昌人，则甲对一半，乙全对，丙全对；若胡老师是广州人，则甲对一半，乙对一半；若胡老师是福州人，则甲全对，乙全错，丙对一半；若胡老师是上海人，则甲全错，乙对一半，丙全对．故选D.]

11．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1＝2，BC＝2，则CA1与平面ABB1A1所成角的大小为(　　)

A．30° B．45°

C．60° D．90°

B　[在堑堵ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1＝2，BC＝2，

∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,2，0)，A1(2,0,2)，＝(－2,2，－2)，平面ABB1A1的法向量n＝(0,1,0)，设CA1与平面ABB1A1所成角的大小为θ，

则sin θ＝＝＝，

∴CA1与平面ABB1A1所成角的大小为45°.故选B.]

12．已知函数f(x)＝，若方程f(x)＝kx＋1有四个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

D　[方程f(x)＝kx＋1有四个不相等的实根，

等价于函数f(x)的图象与直线y＝kx＋1有四个交点，

易得：①当直线y＝kx＋1与函数f(x)＝－x2－x相切时，k＝.

②当直线y＝kx＋1与函数f(x)＝2x－xln x相切时，利用导数的几何意义可得：k＝1，

即由图知函数f(x)的图象与直线y＝kx＋1有四个交点时，实数k的取值范围是＜k＜1，故选D.]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若sin＝，则cos 2α＋cos α＝________.

－　[∵sin＝，∴cos α＝，则cos 2α＋cos α＝2cos2α－1＋cos α＝2×－1＋＝－.]

14．(2020·合肥二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＝a12＋6，a2＝4，则数列的前10项和为________．

　[设等差数列{an}的公差为d，∵a9＝a12＋6，a2＝4，

∴a6＝12＝a1＋5d，又a1＋d＝4，解得a1＝d＝2，

∴Sn＝2n＋×2＝n(n＋1)．

∴＝＝－.

则数列的前10项和

＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.]

15．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，且PD＝1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为________．

(14－6)π　[四棱锥P­ABCD的体积为V＝PD·S正方形ABCD＝×1×22＝，

如图所示，

易证PD⊥AD，PD⊥CD，PA⊥AB，PC⊥BC，

所以，四棱锥P­ABCD的表面积为S＝2××2×1＋2××2×＋22＝6＋2，

所以，四棱锥P­ABCD的内切球的半径为

R＝＝＝ ，

故此球的最大表面积为

4πR2＝4π×＝(14－6)π.]

16．(2020·青岛一模)在△ABC中，∠B＝60°，b＝，若c－2a≤m恒成立，则m的最小值为________．

　[∵∠B＝60°，b＝，

由正弦定理得＝＝＝2，

∴a＝2sin A，c＝2sin C＝2sin(120°－A)，

∴c－2a＝2sin(120°－A)－4sin A

＝cos A－3sin A＝2cos(A＋60°)，

∵0°＜A＜120°，

∴60°＜A＋60°＜180°，

∴－1＜cos(A＋60°)＜，

∴－2＜2cos(A＋60°)＜，

∵c－2a≤m恒成立，则m≥，即m的最小值为.]