【精品讲义】人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）5相似的判定.学生版
展开
内容 | 基本要求 | 略高要求 | 较高要求 |
相似 | 了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系 | 会用比例的基本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小
|
|
相似三角形 | 了解两个三角形相似的概念 | 会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决实际问题 |
|
相似多边形 | 知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似 | 会用相似多边形的性质解决简单问题 |
|
模块一 相似三角形的判定
☞角对应相等、边对应成比例，三角形相似
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．
如图，在与中，，，则与相似，记作，符号读作“相似于”．
相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．
【例1】 如图，已知四边形是平行四边形．求证：．
☞平行定理
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
常见题模型如下：
方法点播：前两种模型很容易从直观角度直接找到相似的三角形，对于后面四种模型需要做辅助线时，一般在题中会找到有利的已知条件有：线段中点，中线，线段间的倍、分关系，以及角平分线等．
【例2】 如图，，且，若，求的长．
【巩固】在中，，的延长线交的延长线于， 求证：．
【拓展】如图所示，在中，，，分别为边的中点，点为边上一点，过点作交于点，以为一边作正方形，若，求正方形与矩形的公共部分的面积．
☞三条边对应成比例，两三角形相似
如图，在与中，若，则有．
方法点播：利用三边对应成比例证明三角形相似时，如果是填空和选择题，会直接给出三边的长度数或者根据方格数自己算出长度，学生只需要对应的列出比例式就可以．解答题中需要由其他的相似导出成比例的三组对边，或者有一类题型要求找某一点时，一定要注意分类讨论，不要丢掉某种情况．
【例3】 如图所示，如果分别在上，且．
求证：．
【巩固】如图，已知是内一点，分另是的中点．求证：．
☞两角对应相等，两三角形相似
如图，在与中，若，则有．
常见题型中的几何模型有以下几种：
方法点播：在解三角形相似问题时，遇到以上第一图和第三图的“”字形图形时，就马上想到有一个公共角，遇到第二图的“”字形时就立马想到有一对对顶角可以利用，遇到直角三角形就想到有无数对互余的角，可以找到两对以上相等的角．
【例4】 如图，在等腰梯形中，，过作，为梯形内一点，连接并延长交于，交于，再连接．若．
求证：．
【巩固】如图，在矩形中，，将其折叠使落在对角线上，得到折痕，那么的长度为（ ）
【例5】 如图所示，,交于点为上一点，且．
求证：（1）；（2）．
【巩固】如图，中，，点是内一点，使得，
，则 ．
☞两边对应成比例且夹角相等，三角形相似
如图，在与中，若且，则有．
方法点播：利用这一性质解题关键之处就是借助很容易求出的相似三角形得到比例线段，再结合本来相等的两个角同时加上同样大小的角和相等来解题．
【例6】 已知，如图，为内一点连结，以为边在外作．求证：．
【巩固】在和中，，如果的周长是，面积是，那么的周长、面积依次为（ ）．
【拓展】如图，在中，垂足为，且，垂足为，交的延长线于点．求证：．
1．如图，是斜边上的中线，过点作垂线直于的直线交于点，交的延长线于点，求证：．
2．如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求．
3．如图，已知中，，，与相交于，则的值为（ ）
． ．1 ． ．2
4．在中，点为边上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连接．
（1）求的长；
（2）设的长为，的面积为．当为何值时，最大，并求出最大值．
1．通过本堂课你学会了 ．
2．掌握的不太好的部分 ．
3．老师点评：① ．
② ．
③ ．
1．已知的三条边长分别为、、，的三条边长分别为、、，这两个三角形是否相似？为什么？
2. 如图，在直角梯形中，，为上一点，以为顶点的三角形与
以为顶点的三角形相似，那么这样的点有几个？为什么？
3．如图所示，在中，，，，、分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于,过点作交于，当点与点重合时，点停止运动，设．
（1）求点到的距离的长；
（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
4．如图所示，已知四边形是菱形，，且，求的长．
5. 如图，矩形的两边、分别位于轴、轴上，点的坐标为，是边上
的点，将沿直线翻折，使点恰好落在对角线上的点处，若点在一反比例函数的
图象上，那么该函数的解析式是（ ）
