【精品讲义】人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）4比例与相似的性质.学生版
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内容 | 基本要求 | 略高要求 | 较高要求 |
相似 | 了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系 | 会用比例的基本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小 |
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相似三角形 | 了解两个三角形相似的概念 | 会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决实际问题 |
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相似多边形 | 知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似 | 会用相似多边形的性质解决简单问题 |
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模块一 比例的性质
☞比例线段
1．这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式;
2．(反比定理);
3．(或)(更比定理);
4．(合比定理);
5．(分比定理);
6．(合分比定理);
7．(等比定理)．
【例1】 若，则下列各式不成立的是 （ ）
A． B． C． D．
【巩固】若 ，则= ．
【巩固】若，，则=（ ）
A． B． C． D．
【例2】 如果，则等于（ ）
A． B． C． D．
【巩固】如果，那么等于( )
A． B． C． D．
【拓展】若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【拓展】已知，且，则 =（ ）
A． B． C． D．
【例3】 若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【巩固】已知一张地图的比例尺是，若、两地的实际距离为，则画在地图上的距离是 ．
【巩固】已知，则直线一定经过（ ）
A．， B．， C．， D．，
【拓展】若，则一次函数的图象必定经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、二、三象限
C．第二、三、四象限 D．第三、四象限
【拓展】某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ）
| 舞蹈社 | 溜冰社 | 魔術社 |
上学期 | |||
下学期 |
A．舞蹈社不变，溜冰社减少
B．舞蹈社不变，溜冰社不变
C．舞蹈社增加，溜冰社减少
D．舞蹈社增加，溜冰社不变
☞黄金分割点
如图，若线段上一点把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即）则称线段被点黄金分割，点叫线段的黄金分割点．
设，则，即有一元二次方程,根据公式法解得：
，因为，所以有，即， ，与的比叫做黄金比．
【例4】 如图所示，在黄金分割矩形中，分出一个正方形，求．
【巩固】为平行四边形的边延长线上的一点，且为的黄金分割点，即，交于．已知，求的长．
模块二 平行线分线段成比例定理
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
如图，，则．若将称为上，称为下，称为全，上述比例式可以形象地表示为．
当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“”字型，“”字型．则有．
【例5】 如图，小明站在处看甲、乙两楼顶上的点和点三点在同一直线上，点分别在点的正下方，且三点在同一直线上，相距米，相距米，乙楼高米，则甲楼的高为（小明身高忽略不计） ( )
A．米 B． 米
C． 米 D． 米
【巩固】如图，在中，，，，．
（1）求的值；
（2）求的长．
【例8】如图，在的边上任取两点和，过点作的平行线交于点，过点作 的平行线交于点，求证：．
【巩固】如图， 中，，有一内接正方形，连接交于， ，，求．
【巩固】如图，，且，若，求的长．
【例5】如图，在平行四边形中，，，是上的任一点，过点作，与平行四边形的两条边分别交于点、，设，，则能反映与之间关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【例6】 如图，已知梯形中，，对角线、分别交中位线于点、，且，那么等于 ．
【巩固】已知线段、，求作线段，使，正确的作法是（ ）
A． B．
C． D．
【拓展】在中，底边上的两点、把三等分，是上的中线，、分别交 于、两点，求证：．
模块三 相似三角形的性质
☞对应角
相似三角形对应角相等
【例9】已知，是⊙O的直径，且是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的（如图所示），那么下列关于与放大镜中的关系描述正确的是（ ）
【巩固】如图，若,试找出图中所有的对应角、对应边，并用式子表示．
☞对应边
相似三角形对应边成比例
【例10】三角形三边之比为，与它相似的三角形最长边是，另两边之各是 （ ）
A．15cm B． 18cm C． 21cm D． 24cm
【巩固】的三边长分别为、、，的两边长分别为和，若与 相似，则的第三条边长 ．
【拓展】已知的三边长分别为20、50、60，现要利用长度分别为30和60的细木条各一根，做一个三角形木架与相似，要求以其中一根为边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：）分别为多少？
☞中线、高线、角平分线
相似三角形的对应中线、高线、角平分线的比等于相似比
【例7】 如图与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，试证明：（为相似比）．
【巩固】已知与相似且对应中线的比为，则与的周长比为（ ）．
【巩固】若两个相似三角形的相似比是，则这两个三角形对应中线的比是 ．
【例8】 如图与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，求证：（为相似比）．
【巩固】两个相似三角形的面积比与它们对应高之比之间的关系为 ．
【巩固】如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个相似三角形的相似比为 ．
【例9】 如图与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）．
【巩固】两个相似三角形对应高之比为，那么它们对应中线之比为（ ）
A． B． C． D．
☞周长比 、面积比
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
【例10】 如图1，与相似，则有（为相似比）．应用比例的等比性质有．
【例11】 若，它们的面积比为，则的相似比为（ ）
A． B． C． D．
【例12】 已知，它们的相似比是，的周长为，则的周长为（ ）．
【巩固】若两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【例13】 已知，且，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【例14】 在和中，，，．如果的周长是，面积是，那么的周长、面积依次是 ．
【巩固】如图，已知分别是的边上的一点，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【拓展】如图，在中，．若、、的面积分别为、、，则的面积为 ．
☞三角形相似的综合
【例15】 一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高的长为．现沿底边依交从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【巩固】如图所示，路边有两根电线杆，其中，，用铁丝将两杆固定，求铁丝与铁丝的交点处距离地面的高度．
【拓展】 如图，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）试猜想时的值，并证明你的猜想．
模块四 位似
位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相较于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
位似变换的坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
位似的性质：
（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
（2）位似图形的对应线段的比等于相似比．
（3）位似图形的周长比等于相似比．
（4）位似图形的面积比等于相似比的平方．
【例16】 如图，下列各组图形中是位似图形的为 ( )
（1） （2） （3） （4）
A．（1）（2）（3）（4） B．（2）（4） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）
【巩固】如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为 （ ）
A． B．
C． D．
【巩固】如图，正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，，则下列结论正确的理 （ ）
A． B．
C． D．
【巩固】判断满足下列关系的与是否是位似图形，如果是，请指出位似中心．
（1）如图1所示，相交于点，且；
（2）如图2所示，相交于点，且．
【例17】 七边形位似于七边形，它们的面积之比为,已知位似中心到点的距离为，那么到的距离为多少？
【巩固】如图，与是位似图形，点、、、、共线，点为位似中心．
（1）与平行吗?试说明理由；
（2）若，，求的长．
【拓展】如图，在平面直角形坐标系中，正方形都是由正方形经过位似变换得到的，点是位似中心．
(1)你能找出正方形以为位似中心，相似比是的位似图形吗？
(2)正方形是正方形的位似图形吗？如果是，求相似比；
(3)由正方形得到它的位似图形正方形，求相似比；
(4)我们把横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每个正方形四条边上的整点个数．猜测：正方形以为位似中心，相似比为的位似图形的四条边上整点个数之和是多少？
1． 已知：．求．
2． 如图所示，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点（即是与的比例中项），支撑点是靠近点的黄金分割点，则 ， ．
3． 如图，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）试猜想时的值，并证明你的猜想．
1．通过本堂课你学会了 ．
2．掌握的不太好的部分 ．
3．老师点评：① ．
② ．
③ ．
1． 已知：，求证：是的比例中项．
2． 已知：，则 ．
3． 已知，求的值．
4． 如图，在中，是的中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于，则__ ___ __．
5．用一个倍的放大镜去观察一个三角形，下列说法中正确的是（ ）
①三角形的每个角都扩大倍； ②三角形的每条边都扩大倍；
③三角形的面积扩大倍； ④三角形的周长扩大倍．
．①② ．①③ ．②④ ．②③
