【精品讲义】人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）5相似的判定.教师版
展开
内容 | 基本要求 | 略高要求 | 较高要求 |
相似 | 了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系 | 会用比例的基本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小
|
|
相似三角形 | 了解两个三角形相似的概念 | 会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决实际问题 |
|
相似多边形 | 知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似 | 会用相似多边形的性质解决简单问题 |
|
模块一 相似三角形的判定
☞角对应相等、边对应成比例，三角形相似
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．
如图，在与中，，，则与相似，记作，符号读作“相似于”．
相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．
【例1】 如图，已知四边形是平行四边形．求证：．
【难度】星
【解析】解法一：由得出对应角相等，对应边成比例，再根据相似三角形的定义得出答案．
解法二：根据三角形的对应边成比例，且夹角相等，可以证明两三角形相似．
解法三：根据三角形的两组对应角相等，三角形相似，可以证明三角形相似．
本题根据第一种解法给出证明．
【答案】∵
∴，
又有对顶角
∴
☞平行定理
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
常见题模型如下：
方法点播：前两种模型很容易从直观角度直接找到相似的三角形，对于后面四种模型需要做辅助线时，一般在题中会找到有利的已知条件有：线段中点，中线，线段间的倍、分关系，以及角平分线等．
【例2】 如图，，且，若，求的长．
【难度】3星
【解析】∵
∴
∵
∴
∴
【答案】
【巩固】在中，，的延长线交的延长线于， 求证：．
【难度】星
【解析】略
【答案】过作交于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【拓展】如图所示，在中，，，分别为边的中点，点为边上一点，过点作交于点，以为一边作正方形，若，求正方形与矩形的公共部分的面积．
【难度】星
【解析】
∴
∴
又∵
∴．同理
∴
∴正方形与矩形的公共部分的面积．
【答案】
☞三条边对应成比例，两三角形相似
如图，在与中，若，则有．
方法点播：利用三边对应成比例证明三角形相似时，如果是填空和选择题，会直接给出三边的长度数或者根据方格数自己算出长度，学生只需要对应的列出比例式就可以．解答题中需要由其他的相似导出成比例的三组对边，或者有一类题型要求找某一点时，一定要注意分类讨论，不要丢掉某种情况．
【例3】 如图所示，如果分别在上，且．
求证：．
【难度】星
【解析】由两组平行线得到与的三条边对应成比例，即，题目得证．
【答案】∵
∴
∵
∴
∴
∴
【巩固】如图，已知是内一点，分另是的中点．求证：．
【难度】星
【解析】考察相似三角形的判定定理：三边对应成比例，两三角形相似．
【答案】∵，点分别为线段和线段的中点
∴
同理：，
所以有
∴
☞两角对应相等，两三角形相似
如图，在与中，若，则有．
常见题型中的几何模型有以下几种：
方法点播：在解三角形相似问题时，遇到以上第一图和第三图的“”字形图形时，就马上想到有一个公共角，遇到第二图的“”字形时就立马想到有一对对顶角可以利用，遇到直角三角形就想到有无数对互余的角，可以找到两对以上相等的角．
【例4】 如图，在等腰梯形中，，过作，为梯形内一点，连接并延长交于，交于，再连接．若．
求证：．
【难度】星
【解析】略
【答案】∵在等腰梯形中，
∴
又∵
∴
，
∴
【巩固】如图，在矩形中，，将其折叠使落在对角线上，得到折痕，那么的长度为（ ）
【难度】星
【解析】解法一：根据两角对应相等，证明，得到对应边成比例，．
解法二：由勾股定理求得．设，根据，，得知,，根据勾股定理可列：，解得：．
本题给出解法一的标准答案．
【答案】
∵，
∴
∴
∴，
∴
【例5】 如图所示，,交于点为上一点，且．
求证：（1）；（2）．
【难度】星
【解析】（1）根据得到内错角相等，又已知，所以等量代换．
（2）根据结论和三点定形法，可推断．借助第一问的结论，再结合公共角，可证明假设，同时得到，问题得证．
【答案】（1）∵
∴
又
∴
（2）∵，
∴
∴，即
【巩固】如图，中，，点是内一点，使得，
，则 ．
【难度】星
【解析】，，故，,．
【答案】
☞两边对应成比例且夹角相等，三角形相似
如图，在与中，若且，则有．
方法点播：利用这一性质解题关键之处就是借助很容易求出的相似三角形得到比例线段，再结合本来相等的两个角同时加上同样大小的角和相等来解题．
【例6】 已知，如图，为内一点连结，以为边在外作．求证：．
【难度】星
【解析】由，得到，得到和，即和，根据两边对应成比例且夹角相等，证明．
【答案】∵
∴
∴，
∴，
∴
【巩固】在和中，，如果的周长是，面积是，那么的周长、面积依次为（ ）．
【难度】星
【解析】根据已知可证，且和的相似比为，再根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方即可求的周长、面积．
【答案】∵在和中，
∴
又∵
∴，且和的相似比为
∵的周长是，面积是
∴的周长为，面积为
【拓展】如图，在中，垂足为，且，垂足为，交的延长线于点．求证：．
【难度】星
【解析】由两个对应角相等证明出，得出所以有，再由一个公共角，由三角形相似的判定定理可证
【答案】略
1．如图，是斜边上的中线，过点作垂线直于的直线交于点，交的延长线于点，求证：．
【难度】星
【解析】利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可知为等腰三角形，又由和有一个公共角可知，，由此可证．
【答案】∵
∴在和中，
又∵是斜边上的中线
∴
∴
∴，
∴
2．如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求．
【难度】星
【解析】连接、，则，若，则可求，问题的关键是证明．
【答案】
3．如图，已知中，，，与相交于，则的值为（ ）
． ．1 ． ．2
【难度】星
【解析】这类题的解法：找适当的点，作适当的平行线，构造基本图形解题，或者直接运用
梅氏定理来解题．
【答案】
4．在中，点为边上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连接．
（1）求的长；
（2）设的长为，的面积为．当为何值时，最大，并求出最大值．
【难度】星
【解析】（1）在中， 得
∴，根据勾股定理得：；
（2）∵，∴，∴
设，则
∴当时，的最大值是．
【答案】,；时，的最大值是．
1．通过本堂课你学会了 ．
2．掌握的不太好的部分 ．
3．老师点评：① ．
② ．
③ ．
1．已知的三条边长分别为、、，的三条边长分别为、、，这两个三角形是否相似？为什么？
【难度】星
【解析】略
【答案】相似，三边对应成比例，即．
2. 如图，在直角梯形中，，为上一点，以为顶点的三角形与
以为顶点的三角形相似，那么这样的点有几个？为什么？
【难度】星
【解析】解答此题，必须引导学生进行分类讨论，拓展思维．
1．此时有一个点，，
2．此时有两个点，，或，
【答案】个
3．如图所示，在中，，，，、分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于,过点作交于，当点与点重合时，点停止运动，设．
（1）求点到的距离的长；
（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
【难度】星
【解析】（1）利用的相似比，和点分别为线段的中点，求得；
（2）根据线段的比例关系求得：．
【答案】；
4．如图所示，已知四边形是菱形，，且，求的长．
【难度】星
【解析】由平行线的性质能判定和的任意两个角相等，证明得到对应线段成比例，，，所以．
【答案】
5. 如图，矩形的两边、分别位于轴、轴上，点的坐标为，是边上
的点，将沿直线翻折，使点恰好落在对角线上的点处，若点在一反比例函数的
图象上，那么该函数的解析式是（ ）
【难度】星
【解析】先作，连接，构造全等三角形，再由勾股定理和相似三角形的性质，求出点作标，利用待定系数法解答即可．
【答案】作，连接．
因为点的坐标为，
所以，，
根据折叠不变性，，
根据勾股定理，，
又因为，
所以 ，解得，
又因为点的坐标为，
所以
所以点坐标为，
设解析式为，
将代入解析式得
所以解析式为
