【精品讲义】人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）3反比例函数与方程、不等式、一次函数综合．学生版
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考试内容 | 基本要求 | 略高要求 | 较高要求 |
反比例函数 | 能结合具体情境了解反比例函数的意义；能画出反比例函数的图象；理解反比例函数的性质 | 能根据已知条件确定反比例函数的解析式；能用反比例函数的知识解决有关问题 |
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一次函数 | 理解正比例函数；能结合具体情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；理解一次函数的性质 | 会根据已知条件确定一次函数的解析式；会根据一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解 | 能用一次函数解决实际问题 |
板块一 反比例函数与方程、不等式
- 此类问题重点会考察通过数形结合的思想去解方程和不等式的解
- 反比例函数与方程（组）：如图，一次函数与反比例函数相交于、，点是反比例函数上的点，直线交轴于点，因此我们得到、、都是方程的解，、、都是方程的解，但是因为方程，方程都是不定方程，所以他们的解有无数组，分别对应的是函数图象上点的横、纵坐标。方程组的解为、，分别对应了一次函数与反比例函数交点、的横、纵坐标
- 反比例函数与不等式：
如图，反比例函数图象上两点、，分别过、两点作轴的垂线、，直线、以及轴将反比例函数图象分成四部分：、、、
⑴当时，对应的的取值范围是
⑵当时，对应的的取值范围是
⑶当时，对应的取值范围是
⑷当时，对应的取值范围是
如图，一次函数与反比例函数相交于、，分别过、两点作轴的垂线，，则、、轴将直线和双曲线分成四段：，，、
⑴当时，双曲线在直线上方，则
⑵当时，双曲线在直线下方，则
⑶当时，双曲线在直线上方，则
⑷当时，双曲线在直线下方，则
反之，若，则或；若，则或
【例1】 已知函数和
⑴在如图所示坐标系中画出这两个函数的图象；
⑵求这两个函数图象的交点坐标；
⑶观察图象，当在什么范围时，
【巩固】如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于，两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图像回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
【巩固】如图，已知一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，）的图象相交于点．
（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点的坐标；
（2）观察图象，写出使函数值的自变量的取值范围．
【例2】 如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线与轴的交点的坐标及的面积；
(3)求方程的解（请直接写出答案）；
(4)求不等式的解集（请直接写出答案）.
【巩固】利用图象解一元二次方程时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线和直线，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）填空：利用图象解一元二次方程，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线 和直线，其交点的横坐标就是该方程的解．
（2）已知函数的图象（如图所示），利用图象求方程的近似解（结果保留两个有效数字）．
板块二 反比例函数与一次函数的综合
☞反比例函数与一次函数图象分布
【例3】 函数与函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
【巩固】函数与（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
☞反比例函数与一次函数图象有关交点问题
【例4】 在平面直角坐标系中，直线向上平移1个单位长度得到直线．直线与反比例函数的图象的一个交点为，则的值等于 ．
【巩固】在平面直角坐标系中，直线绕点顺时针旋转的到直线.直线与反比例函数的图象的一个交点为(，)，试确定反比例函数的解析式.
【例5】 已知反比例函数()的图像经过点(，)，过点作轴于点，且的面积为.
⑴求和的值.
⑵若一次函数的图象经过点，并且与轴相交于点，求 的值.
【巩固】已知一次函数()的图象与轴、轴分别交于点、，且与反比例函数()的图象在第一象限交于点，垂直于轴，垂足为.若，
⑴ 点、、的坐标；
⑵ 求一此函数与反比例函数的解析式.
【例6】 已知正比例函数与反比例函数图象交点到轴的距离是3，到轴的距离是4，求它们的解析式．
☞反比例函数与四边形
【例7】 如图，点，都在反比例函数的图象上．
（1）求的值；
（2）如果为轴上一点，为轴上一点， 以点为顶点的四边形是平行四边形，试求直线的函数表达式．
【例8】 已知与是反比例函数图象上的两个点．
（1）求的值；
（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【例9】 如图，是函数()图象上一点，直线交轴于点，交轴于点，轴于，交于，轴于，交于.求的值.
- 直线()与双曲线交于(，)，(，)两点，求的值.
- 已知正比例函数与反比例函数的图象交于两点，点的坐标
为．
（1）求正比例函数、反比例函数的表达式；
（2）求点的坐标．
- 如图，是一次函数与反比例函数的图像，则关于的方程的解为( )
A B C D
【习题1】已知一次函数与反比例函数()的图象在第一象限内的交点为(，)
⑴求的值.
⑵求一次函数和反比例函数的解析式.
【习题2】如图，一次函数的图象分别交轴、轴于为上一点且为的中位线，的延长线交反比例函数的图象于，，则的值和点的坐标分别为______________.
【习题3】已知一次函数与反比例函数的图象交于点(，)，(，)．
⑴ 求这两个函数的函数关系式；
⑵ 在给定的直角坐标系(如图)中，画出这两个函数的 大致图象；
⑶ 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
