【精品讲义】人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）8锐角三角函数性质.学生版

模块一　三角函数基础

一、   锐角三角函数的定义

如图所示，在中，a、b、c分别为、、的对边．

（1）正弦：中，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即．

（2）余弦：中，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即．

   （3）正切：中，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即．

注意：

① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义．

② 、、分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为与、与、与的乘积．

③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．

二、   特殊角三角函数

这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住！

三、锐角三角函数的取值范围

在中，，，又，，，所以

四、三角函数关系

  1．同角三角函数关系：

     ，

  2．互余角三角函数关系：

    (1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：；

(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：；

    (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：．

  3．锐角三角函数值的变化规律：

    (1)A、B是锐角，若AB，则；若AB，则

(2) A、B是锐角，若AB，则；若AB，则

(3) A、B是锐角，若AB，则；若AB，则

【例1】    如图，在中，=，于，则==，==，

=，=，==，==．

【巩固】在中，，=，=9，则=        ．

【例2】         如图，在中，，，，则下列结论正确的是（    ）．

        A．          B．         C．         D．

【巩固】（2011江苏连云港）如图，的顶点都在方格纸的格点上，则=______．

【例3】         （2011山东烟台）如果中，==，则下列最确切的结论是（     ）

A．是直角三角形            B．是等腰三角形

C．是等腰直角三角形        D．是锐角三角形

【巩固】已知为锐角，且，则的度数是（     ）

A．       B．      C．         D．

【巩固】在中，、都是锐角，且=，=，则是（    ）

A．直角三角形 　　 B．钝角三角形  　　C．锐角三角形  　　D．不能确定

【例4】         中，分别是的对边。已知，，，则的值等于        ．

【例5】         已知=，则=        ．

【巩固】在中，若+=，则等于（     ）

A．       B．      C．         D．

【例6】         若的补角是的3倍，则=       ．

【巩固】的补角是120°，则______，______．

【例7】         为锐角，且满足，求的值．

【巩固】若为直角三角形中的一个锐角，，则______．       ．

模块二　比较大小

【例8】         比较下列各式的大小．

（1）和；

（2） 当是锐角时，和

【巩固】(2011广东茂名)如图，已知：，则下列各式成立的是（     ）

A．     B．    C．    D．

模块三 化简求值

【例9】         求下列各式的值：

（1）；

（2）

【巩固】计算（1）；

            （2）

【例10】     已知，且为锐角，求的值．

模块四 三角函数与代数综合

【例11】     已知：，则之间的关系是（    ）

A．        B．       C．      D．

模块五 三角函数与几何综合

【例12】     （2011江苏南京）如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则的值等于_________．

【例13】     如图，已知是半圆的直径，弦、相交于点，若=，那么等于（  ）

A．       B．      C．       D．

【例14】     （2011安徽芜湖中考）如图，直径为10的经过点和点，是轴右侧优弧上一点，则的余弦值为(     )．

A．           B．          C．         D．

【例15】     如图，在中，是边上的高，

（1）    求证：

（2）    若，，求的长．

【巩固】如图，一块三角形土地，已知两边长与夹角，求这块土地的面积．（精确到1，参考数据：）

【例16】     如图，在中，，，沿的斜边上的中线将折叠，使点落在点处，若恰好与垂直，则的值为 _________．

1．  直角三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（ ）

A．         B．         C．          D．

2．  在中，若，则的度数是（     ）

A．           B．            C．           D．

3．  已知为锐角，且，则的取值范围是 (     )

A．       B．      C．     D．

1．通过本堂课你学会了                                                   ．

2．掌握的不太好的部分                                                   ．

3．老师点评：①                                                         ．

     ②                                                         ．

             ③                                                         ．

1．  （2011安徽芜湖）计算：

2．  （2011甘肃兰州）已知是锐角，且．计算的值．

3．  已知，那么锐角的取值范围是（　　）

A． 　 B．  　C．　  D．

4．  （2011贵州安顺）如图，点在上，是上的一条弦，则=           ．

5．  如图所示，在中，，，点在上，，，求、的长．