2021届二轮复习 能力升级练六解三角形理 作业（全国通用）
展开能力升级练(六) 解三角形
一、选择题
1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=( )
A. B. C. D.
解析在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,
由余弦定理,得cos∠BAC==-,由A∈(0,π),得A=,即∠BAC=π.
答案C
2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=( )
A. B. C.2 D.3
解析由余弦定理,得5=b2+22-2×b×2×,解得b=3,或b=-(舍去).
答案D
3.已知△ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若A=,b=2acos B,c=1,则△ABC的面积等于( )
A. B. C. D.
解析由正弦定理得sinB=2sinAcosB,故tanB=2sinA=2sin,又B∈(0,π),所以B=,则△ABC是正三角形,所以S△ABC=bcsinA=.
答案B
4.在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC的形状一定是( )
A.等边三角形 B.不含60°的等腰三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形
解析sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB,∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosA·sinB,∴sinAcosB+cosAsinB=1,即sin(A+B)=1,则有A+B=,故三角形为直角三角形.
答案D
5.(2020广东深圳模拟)一架直升飞机在200 m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,则塔高为( )
A. m B. m
C. m D. m
解析如图所示.在Rt△ACD中可得CD==BE,在△ABE中,由正弦定理得,则AB=,所以DE=BC=200-(m).
答案A
6.在△ABC中,cos2(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
解析因为cos2,所以2cos2-1=-1,所以cosB=,所以,所以c2=a2+b2.
所以△ABC为直角三角形.
答案B
7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为 ( )
A. B. C. D.
解析由bsinC+csinB=4asinBsinC及正弦定理,得2sinBsinC=4sinAsinBsinC,
易知sinBsinC≠0,∴sinA=.
又b2+c2-a2=8,∴cosA=,
则cosA>0.
∴cosA=,即,则bc=.
∴△ABC的面积S=bcsinA=.
答案B
8.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是( )
A.10海里 B.10海里 C.20海里 D.20海里
解析
如图所示,易知,在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理,得,解得BC=10(海里).
答案A
9.(2020山东济宁模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A==2sin Asin B,且b=6,则c= ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
解析在△ABC中,A=,b=6,
∴a2=b2+c2-2bccosA,即a2=36+c2-6c,①
又=2sinAsinB,∴=2ab,
即cosC=,∴a2+36=4c2,②
由①②解得c=4或c=-6(不合题意,舍去).∴c=4.
答案C
二、填空题
10.
如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为 米.
解析连接OC,由题意知CD=150米,OD=100米,∠CDO=60°.在△COD中,由余弦定理得OC2=CD2+OD2-2CD·OD·cos60°,即OC=50.
答案50
11.在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c成等差数列,且A-C=90°,则cos B= .
解析∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,
∴2sinB=sinA+sinC.
∵A-C=90°,∴2sinB=sin(90°+C)+sinC,
∴2sinB=cosC+sinC,
∴2sinB=sin(C+45°). ①
∵A+B+C=180°且A-C=90°,∴C=45°-,代入①式中,2sinB=sin,
∴2sinB=cos,
∴4sincoscos,∴sin,
∴cosB=1-2sin2=1-.
答案
12.
如图,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB= .
解析在△ACD中,由余弦定理可得cosC=,则sinC=.
在△ABC中,由正弦定理可得,
则AB=.
答案
13.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且B为锐角,若,sin B=,S△ABC=,则b的值为 .
解析由及正弦定理,得,即a=c,①
由S△ABC=acsinB=,sinB=,得ac=5, ②
联立①②,得a=5,c=2.
由sinB=且B为锐角,得cosB=,由余弦定理,得b2=25+4-2×5×2×=14,b=.
答案
三、解答题
14.
如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为多少米?(取≈1.4,≈1.7)
解
如图,作CD垂直于线段AB的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,
所以∠ACB=30°,AB=50×420=21000(m).
又在△ABC中,,
所以BC=×sin15°=10500().
因为CD⊥AD,所以CD=BC·sin∠DBC
=10500()×=10500(-1)
≈7350(m).
故山顶的海拔高度为10000-7350=2650(m).
15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2-ab-2b2=0.
(1)若B=,求A,C;
(2)若C=,c=14,求S△ABC.
解(1)由已知B=,a2-ab-2b2=0结合正弦定理,得sin2A-sinAsin-2sin2=0,化简整理,得2sin2A-sinA-1=0,
于是sinA=1或sinA=-(舍).
因为0<A<π,所以A=,
又A+B+C=π,所以C=π-.
(2)由题意及余弦定理可知a2+b2-2abcos=196,即a2+b2+ab=196,①
由a2-ab-2b2=0,得(a+b)(a-2b)=0,
因为a+b>0,
所以a-2b=0,即a=2b,②
联立①②解得b=2,a=4.
所以S△ABC=absinC=14.
