2021届二轮复习 能力升级练二平面向量与复数理 作业（全国通用）
展开能力升级练(二) 平面向量与复数
一、选择题
1.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A.i(1+i)2 B.i2(1-i)
C.(1+i)2 D.i(1+i)
解析i(1+i)2=i·2i=-2,不是纯虚数,排除A;i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数,排除B;(1+i)2=2i,2i是纯虚数.故选C.
答案C
2.设z=+i(i为虚数单位),则|z|=( )
A. B. C. D.2
解析因为z=+i=+i=+i=i,所以|z|=.
答案B
3.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是 ( )
A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同
C.|-λa|≥|a| D.|-λa|≥|λ|·a
解析对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反,B正确;对于C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小.
答案B
4.(2020北京通州二模)已知非零向量a,b的夹角为60°,且|b|=1,|2a-b|=1,则|a|=( )
A. B.1 C. D.2
解析由题意得a·b=|a|×1×,又|2a-b|=1,
∴|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4|a|2-2|a|+1=1,
即4|a|2-2|a|=0,又|a|≠0,解得|a|=.
答案A
5.(2020河北石家庄二模)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|b|,则向量a+b与a的夹角为( )
A. B. C. D.
解析设|b|=1,则|a+b|=|a-b|=2.
由|a+b|=|a-b|,得a·b=0,
故以a、b为邻边的平行四边形是矩形,且|a|=,
设向量a+b与a的夹角为θ,
则cosθ=,又0≤θ≤π,所以θ=.
答案D
6.已知向量a=(2,1),b=(3,4),c=(1,m),若实数λ满足a+b=λc,则λ+m等于( )
A.5 B.6 C.7 D.8
解析由题意知(5,5)=(λ,λm),
即∴λ+m=6.
答案B
7.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则=( )
A. B. C. D.
解析如图,)=·2.
答案C
8.(2020河北豫水中学质检)已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设=λ+μ(λ,μ∈R),则=( )
A. B. C.3 D.2
解析如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2),
因为∠DAB=60°,所以设D点的坐标为(m,m)(m≠0).
=(m,m)=λ+μ=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),则λ=m,且μ=m,
所以.
答案A
9.(2020福建普通高中质量检查)若复数z满足(1+i)z=|+i|,则在复平面内,对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析由题意,得z==1-i,所以=1+i,其在复平面内对应的点为(1,1),位于第一象限,故选A.
答案A
二、填空题
10.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= .
解析∵向量a,b不平行,∴a+2b≠0,又向量λa+b与a+2b平行,则存在唯一的实数μ,使λa+b=μ(a+2b)成立,即λa+b=μa+2μb,则得解得λ=μ=.
答案
11.(2020沈阳质检西安八校联考)若(a,b∈R)与(2-i)2互为共轭复数,则a-b= .
解析∵=b-ai,(2-i)2=4-4i-1=3-4i,(a,b∈R)与(2-i)2互为共轭复数,∴b=3,a=-4,则a-b=-7,故答案为-7.
答案-7
12.已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b),若A,B,C三点共线,则a,b的关系式为 .
解析由已知得=(2,-2),=(a-1,b-1),
∵A,B,C三点共线,∴∥.
∴2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.
答案a+b=2
13.(2020广东佛山二模)在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2,AB=1,D为BC的中点,E在斜边AC上,若=2,则·= .
解析如图,以B为坐标原点,AB所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(1,0),C(0,2),所以=(-1,2).
因为D为BC的中点,
所以D(0,1),
因为=2,所以E,
所以,所以··(-1,2)=-.
答案
三、解答题
14.计算.
解原式=
=i6+
=-1+i.
15.(2020山东潍坊摸底)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且m·n=-.
(1)求sin A的值;
(2)若a=4,b=5,求角B的大小及向量方向上的投影.
解(1)由m·n=-,
得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-,
所以cosA=-.因为0<A<π,
所以sinA=.
(2)由正弦定理,得,
则sinB=,因为a>b,所以A>B,且B是△ABC一内角,则B=.由余弦定理得(4)2=52+c2-2×5c×,解得c=1,c=-7(舍去),故向量方向上的投影为
||cosB=ccosB=1×.
