2021届二轮复习 能力升级练十三计数原理二项式定理与随机变量及其分布列理 作业（全国通用）

能力升级练(十三)　计数原理、二项式定理与随机变量及其分布列

一、选择题

1.(2020广东惠州第二次调研)设随机变量ξ服从正态分布N(4,3),若P(ξ<a-5)=P(ξ>a+1),则实数a等于              (　　)

A.7 B.6 C.5 D.4

解析由随机变量ξ服从正态分布N(4,3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直线x=4,又P(ξ<a-5)=P(ξ>a+1),所以x=a-5与x=a+1关于直线x=4对称,所以a-5+a+1=8,即a=6.故选B.

答案B

2.将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验,每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有(　　)

A.12种 B.24种 C.36种 D.48种

解析先将4名学生分成三组,人数分别为2,1,1,共有=6种,再将这三组分配到3个实验室,有=6种,由分步乘法计数原理,不同分配方案共有6×6=36种.

答案C

3.从8名女生和4名男生中,抽取3名学生参加某档电视节目,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为(　　)

A.224 B.112 C.56 D.28

解析根据分层抽样,从12个人中抽取男生1人,女生2人,所以取2个女生1个男生的方法有=112(种),故选B.

答案B

4.用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,若用a1,a2,a3,a4,a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数,则出现a1<a2<a3>a4>a5特征的五位数的概率为(　　)

A. B. C. D.

解析1,2,3,4,5可组成=120个不同的五位数,其中满足题目条件的五位数中,最大的5必须排在中间,左、右各两个数字只要选出,则排列位置就随之而定,满足条件的五位数有=6个,故出现a1<a2<a3>a4>a5特征的五位数的概率为.

答案B

5.(2020河北“五个一名校联盟”模拟)的展开式中的常数项为(　　)

A.-3 B.3 C.6 D.-6

解析通项Tr+1=(-x4)r=)3-r·(-1)rx-6+6r,当-6+6r=0,即r=1时为常数项,T2=-6,故选D.

答案D

6.篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成.2017年的NBA篮球赛中,休斯敦火箭队采取了“八人轮换”的阵容,即每场比赛只有8名队员有机会出场,这8名队员中包含两名中锋,两名控球后卫,若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋,至少包含一名控球后卫,则休斯敦火箭队的主教练可选择的出场阵容共有(　　)

A.16种 B.28种 C.84种 D.96种

解析有两种出场方案:①中锋1人,控球后卫1人,出场阵容有=16(种);②中锋1人,控球后卫2人,出场阵容有=12(种).

故出场阵容共有16+12=28(种).故选B.

答案B

7.某航母在一次舰载机起降飞行训练中,有5架舰载机准备着舰.如果甲、乙2架必须相邻着舰,而丙、丁不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有(　　)种.

A.12 B.18 C.24 D.48

解析“相邻”问题用捆绑法,“不相邻”问题用插空法.先安排丙、丁以外的三架,有=4种排法;此时产生三个空位,安排丙、丁,共有=6种排法,所以不同的着舰方法有4×6=24种.

答案C

8.若(x2-a)的展开式中x6的系数为30,则a等于(　　)

A. B. C.1 D.2

解析依题意,的展开式的通项公式是Tr+1=·x10-r··x10-2r,的展开式中含x4(当r=3时)、x6(当r=2时)项的系数分别为,因此由题意得-a=120-45a=30,由此解得a=2.

答案D

9.若m,n均为非负整数,在做m+n的加法时各位均不进位(例如:134+3 802=3 936),则称(m,n)为“简单的”有序对,而m+n称为有序对(m,n)的值,那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是(　　)

A.100 B.150 C.30 D.300

解析第一步,1=1+0,1=0+1,共2种组合方式;第二步,9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,…,9=9+0,共10种组合方式;第三步,4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,共5种组合方式;第四步,2=0+2,2=1+1,2=2+0,共3种组合方式.根据分步乘法计数原理知,值为1942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3=300.故选D.

答案D

二、填空题

10.已知的展开式中x5的系数为A,x2的系数为B,若A+B=11,则a=　　　　　. 

解析该二项展开式的通项Tr+1=x5-r(-a)r.由5-r=5,得r=0,由5-r=2,得r=2,所以A=×(-a)0=1,B=×(-a)2=10a2,则由1+10a2=11,解得a=±1.

答案±1

11.航天员拟在太空授课,准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验,向全世界人民普及太空知识,其中0号实验不能放在第一项,最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号,则实验顺序的编排方法种数为　　　.(用数字作答) 

解析因为0号实验不能放在第一项,所以第一步是从1,2,3,4,5的五项实验任选一个放在第一项,有;第二步:从剩下的五项实验中任取三个放在第二、三、四项,有种不同的方法;第三步:最后剩下两项实验,标号较大的放在第五项,较小的放在第六项,只有这一种方法;根据分步乘法计数原理,实验顺序的编排方法种数为··1=300.

答案300

12.某商场在儿童节举行回馈顾客活动,凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动,具体规则如下:每人最多可射击3次,一旦击中,则可获奖且不再继续射击,否则一直射满3次为止.设甲每次击中的概率为p(p≠0),射击次数为η,若η的均值E(η)>,则p的取值范围是　　　　　. 

解析由已知得P(η=1)=p,P(η=2)=(1-p)p,P(η=3)=(1-p)2,则E(η)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>,解得p>或p<,又p∈(0,1),所以p.

答案

13.江湖传说,蜀中唐门配制的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由3种藏红花,2种南海毒蛇和1种西域毒草顺次添加炼制而成,其中藏红花的添加顺序不能相邻,同时南海毒蛇的添加顺序也不能相邻.现要研究所有不同添加顺序对药效的影响,则总共要进行　　　　　次试验. 

解析当3种藏红花排好后,4种情形里2种南海毒蛇和1种西域毒草的填法分别有种、种、种、种,于是符合题意的添加顺序有)=120(种).

答案120

三、解答题

14.(2020贵州贵阳模拟)某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生,经过层层筛选,甲、乙两名学生进入最后测试,该校设计了一个测试方案:甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题.已知这6个问题中,学生甲能正确回答其中的4个问题,而学生乙能正确回答每个问题的概率均为,甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的.

(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率;

(2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大?

解(1)由题意可得,所求概率为P=.

(2)设学生甲答对的题数为X,则X的所有可能取值为1,2,3.

P(X=1)=,P(X=2)=,

P(X=3)=,

E(X)=1×+2×+3×=2,

D(X)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×.设学生乙答对的题数为Y,则Y的所有可能取值为0,1,2,3.由题意可知Y~B,

所以E(Y)=3×=2,D(Y)=3×.

因为E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),

所以甲被录取的可能性更大.

15.(2020吉林长春质量监测(二))某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400](单位:克)中,经统计得频率分布直方图如图所示.

(1)现按分层抽样的方法,从质量为[250,300),[300,350)的芒果中随机抽取9个,再从这9个中随机抽取3个,记随机变量X表示质量在[300,350)内的芒果个数,求X的分布列及数学期望;

(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,将频率视为概率,某经销商来收购芒果,该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个,经销商提出如下两种收购方案:

A:所有芒果以10元/千克收购;

B:对质量低于250克的芒果以2元/个收购,高于或等于250克的以3元/个收购.

通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?

解(1)9个芒果中,质量在[250,300)和[300,350)内的分别有6个和3个.则X的可能取值为0,1,2,3.

P(X=0)=,P(X=1)=,

P(X=2)=,P(X=3)=.

所以X的分布列为

　　X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=1.

(2)设选择方案A可获利y1元,则

y1=(125×0.002+175×0.002+225×0.003+275×0.008+325×0.004+375×0.001)×50×10000×10×0.001=25750.

设选择方案B,从质量低于250克的芒果中获利y2元,从质量高于或等于250克的芒果中获利y3元,则y2=(0.002+0.002+0.003)×50×10000×2=7000.

y3=(0.008+0.004+0.001)×50×10000×3=19500.

y2+y3=7000+19500=26500.

由于25750<26500,故B方案获利更多,应选B方案.