2021届二轮复习 三角函数的化简与求值 课时作业（全国通用） 练习
展开第2讲 三角函数的化简与求值
A级——北京朝阳期末保分练
1．若＝3，则cos α－2sin α＝________.
解析：由已知得sin α≠0，且3sin α＝1＋cos α>0，即cos α＝3sin α－1，则cos2α＝1－sin2α＝(3sin α－1)2，解得sin α＝，∴cos α－2sin α＝3sin α－1－2sin α＝sin α－1＝－.
答案：－
2．已知sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝________.
解析：由sin θ＝cos(2π－θ)，得sin θ＝cos θ，
所以tan θ＝，
则tan 2θ＝＝＝.
答案：
3．在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点，则cos＝________.
解析：由题意，得cos θ＝，sin θ＝，
则sin 2θ＝2sin θcos θ＝，cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，
所以cos＝cos 2θcos －sin 2θsin
＝－×－×＝－1.
答案：－1
4．已知cos 2α＋3cos α＝1，则cos α＝________.
解析：由题意，得2cos2α＋3cos α－2＝0，所以(cos α＋2)(2cos α－1)＝0，解得cos α＝或cos α＝－2(舍去)．
答案：
5．已知cos＝－，θ∈，则sin＝________.
解析：∵cos＝－，
∴(cos θ－sin θ)＝－，
∴cos θ－sin θ＝－，
∵θ∈，∴＜θ＜，
则1－2sin θ cos θ＝，∴sin 2θ＝，
又∵＜2θ＜π，∴cos 2θ＝－.
∴sin＝sin 2θcos －cos 2θsin ＝×－×＝.
答案：
6．若角α满足＝5，则＝________.
解析：＝＝＝＝＝5.
答案：5
7．若α，β都是锐角，且sin α＝，sin(α－β)＝，则sin β＝________.
解析：因为sin α＝，α为锐角，所以cos α＝.
因为0<α<，0<β<，所以－<α－β<.
又因为sin(α－β)＝>0，
所以0<α－β<，所以cos(α－β)＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
答案：
8．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝________.
解析：因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝2kπ＋π，k∈Z，所以cos(α－β)＝cos(2α－2kπ－π)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝－＝－.
答案：－
9．已知cos＋sin α＝，则sin的值是________．
解析：由cos＋sin α＝，
可得cos α＋sin α＋sin α＝，
即sin α＋cos α＝，
∴sin＝，sin＝，
∴sin＝－sin＝－.
答案：－
10．(2020·扬州期末)设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝________.
解析：因为a，b是非零实数，由＝tan，得＝tan，解得＝，即＝tan＝tan＝.
答案：
11．已知角α的终边经过点P(x,1)，且cos α＝－.
(1)求tan 2α的值；
(2)求sin的值．
解：(1)因为P(x,1)，
所以点P到原点的距离r＝，
因为cos α＝－，
所以cos α＝＝＝－，所以x＝－2，
所以tan α＝＝－，
所以tan 2α＝＝－.
(2)由(1)知r＝＝，所以sin α＝＝，
又cos α＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝，所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin＝－×－×＝－.
12.如图所示，角θ的始边OA落在x轴的非负半轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点A，C，θ∈，△AOB为正三角形．
(1)若点C的坐标为，求cos∠BOC；
(2)记f(θ)＝BC2，求函数f(θ)的解析式和值域．
解：(1)因为点C的坐标为，
根据三角函数的定义，
得sin∠COA＝，cos∠COA＝.
因为△AOB为正三角形，所以∠AOB＝.
所以cos∠BOC＝cos
＝cos∠COAcos－sin∠COAsin
＝×－×＝.
(2)因为∠AOC＝θ，所以∠BOC＝＋θ.
在△BOC中，OB＝OC＝1，由余弦定理，可得f(θ)＝BC2＝OC2＋OB2－2OC·OB·cos∠BOC＝12＋12－2×1×1×cos＝2－2cos.
因为0<θ<，所以<θ＋<.
所以－<cos<.
所以1<2－2cos<2＋.
所以函数f(θ)的值域为(1,2＋)．
B级——难点突破练
1．若sin 2α＝2cos，则sin 2α＝________.
解析：因为sin 2α＝2cos，所以sin22α＝4cos2，即sin22α＝4×，所以sin22α＝2(1＋sin 2α)，解得sin 2α＝1±，显然sin 2α＝1＋不成立，所以sin 2α＝1－.
答案：1－
2.在如图所示的直角坐标系中，角α，角β－<β<0的终边分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标为－，且满足S△AOB＝，则sin ＋的值为________．
解析：因为sin β＝－>－，
所以－<β<0.
又0<α<，S△AOB＝OA·OBsin∠AOB＝sin∠AOB＝，所以∠AOB＝，
所以∠AOB＝α－β＝，即α＝β＋.
sincos －sin ＋
＝sincos－sin2＋＝sin α＋cos α
＝sin＝sin＝cos β＝.
答案：
3．(2020·如东中学期中)已知角α的终边上有一点P(1,2)．
(1)求tan的值；
(2)求sin的值．
解：根据题意tan α＝2，sin α＝，cos α＝，
(1)tan＝＝＝－3.
(2)sin＝sin 2αcos＋cos 2αsin
＝2sin αcos α×＋(2cos2α－1)×
＝2×××＋×
＝－.
4．已知cos·cos＝－，α∈.
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－的值．
解：(1)cos·cos＝cos·sin＝sin＝－，
即sin＝－，
因为α∈，所以2α＋∈，
所以cos＝－.
所以sin 2α＝sin＝sincos－cossin＝.
(2)由(1)知tan α－＝－＝＝＝＝2.
