【江苏专用】2021年高考数学大数据精选模拟卷-1月大数据精选模拟卷01（学生版+教师版）
展开1月大数据精选模拟卷01（江苏专用）
数 学
本卷满分150分，考试时间120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C．或 D．或
2．重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日，某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ）
A．35 B．40 C．50 D．70
3．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在平面直角坐标系中，为坐标原点双曲线的右焦点为，则以为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线交抛物线于，两点，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），则此直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若函数与函数的图象有且仅有三个交点，则的取值范围是（ ）
A．） B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知，，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在[0,]上有2个零点
C．当x=时，函数取得最大值
D．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)
11．已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．的方程为 B．的离心率为
C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点
12．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）.
A．是函数的一个单调减区间
B．的解集为
C．若，则，或
D．方程必有两个实数根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则的值为______．
14．设为数列的前项和，，若（），则__________.
15．展开式中含的项的系数为_______．
16．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）．该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为的正方体的个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）．若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径为___；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是，球冠的高是，那么球冠的表面积计算公式是 . 由此可知，该实心工艺品的表面积是____.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且，，____________？
18．（本小题12分）
设函数，其中α＞0，记 的最大值为A．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明.
19．（本小题12分）
已知是等差数列，且公差，是等比数列，且，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
20．（本小题12分）
标准的医用外科口罩分三层，外层有防水作用，可防止飞来进入口罩里面，中间层有过滤作用，对于直径小于5微米的颗粒阻隔率必须大于，近口鼻的内层可以吸湿，根据国家质量监督检验标准，过滤率是重要的参考标准，为了监控某条口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个口罩，并检验过滤率.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的口罩的过滤率服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的个口罩中过滤率小于的数量，求及的数学期望；
（2）下面是检验员在一天内抽取的10个口罩的过滤率：
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
0.9376 | 0.9121 | 0.9424 | 0.9572 | 0.9518 | 0.9058 | 0.9216 | 0.9171 | 0.9635 | 0.9268 |
经计算得：，（其中为抽取的第个口罩的过滤率）用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用该正态分布，求（精确到）
（附：若随机变量服从正态分布，则①；②；③；另：）
21．（本小题12分）
设椭圆的左､右焦点分别为，下顶点为为坐标原点，点到直线的距离为为等腰三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若倾斜角为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于两点(点在点的上方)求线段与的长度之比.
22．（本小题12分）
已知函数，其中，是自然对数的底数.
（1）当时，求函数在区间的零点个数；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
