第60讲 独立事件及随机变量的概率分布-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第60讲：独立事件及随机变量的概率分布

一、课程标准

1、 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握概率分布列的基本性质，会求一些简单的离散型随机变量的概率分布列．

2、理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．

3、 理解随机变量的概率分布，掌握0－1分布，超几何分布的分布列，并能处理简单的实际问题

二、基础知识回顾

1. 事件的相互独立性

(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，那么称事件A与事件B相互独立．

(2)性质：

①若事件A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．

②如果事件A与B相互独立，那么A与B－，A－与B，A－与B－也相互独立．

(3)独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpkn－k(k＝0，1，2，…，n)．

2. 随机变量的有关概念

(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．

(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．

3. 离散型随机变量的概率分布及其性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表

称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的概率分布，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的概率分布．

(2)离散型随机变量概率分布的性质

①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1．

4. 常见离散型随机变量的概率分布

(1)两点分布：

若随机变量X服从两点分布，即其概率分布为

其中p＝P(X＝1)称为成功概率．

(2)超几何分布：

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件“X＝r”发生的概率为P(X＝r)＝，r＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布．

(3)二项分布X～B(n，p)，记为Cpkqn－k＝B(k；n，p)．

5. 求概率分布的步骤

(1)明确随机变量X取哪些值；

(2)求X取每一个值的概率；

(3)列成表格．

三、自主热身、归纳总结

1、某同学通过英语听力测试的概率为，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值是(    )

1. 3       B. 4         C. 5      D. 6

2、某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为(     )

A.         B.          C.        D.

3、某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

4、(2019·武汉市调研测试)已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

5、如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率是___．

第5题图

四、例题选讲

考点一 互斥事件、对立事件概率公式的应用

例1、某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：

(1)P(A)，P(B)，P(C)；

(2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

变式1、某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)

变式2、A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：

(1)试估计C班的学生人数；

(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．

方法总结：

考点二　相互独立事件

例2　袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有1人取到白球时终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．

(1)求袋中原有白球的个数；

(2)求取球2次即终止的概率；

(3)求甲取到白球的概率．

变式1、一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．已知该网民购买A种商品的概率为，购买B种商品的概率为，购买C种商品的概率为.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．

(1)求该网民至少购买2种商品的概率；

(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η＝1的概率．

变式2、甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．

(1)求第4局甲当裁判的概率；

(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的概率分布．

方法总结： (1)确定每个事件是相互独立的；(2)确定每个事件会同时发生；(3)先求出每个事件发生的概率，再求其积．

考点三　离散型随机变量的概率分布

例3　 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(不放回，且每个球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3个球所得分数之和，求X的概率分布．

变式、从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．

(1)求X是奇数的概率；

(2)求X的概率分布及数学期望．

方法总结：离散型随机变量概率分布的求法：

(1)写出X的所有可能取值(注意准确理解X的含义，以免失误)．

(2)利用概率知识求出X取各个值的概率．

(3)列表并检验，写出概率分布．

考点四　超几何分布与二项分布

例4　袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出红球的个数X的概率分布，并求至少有一个红球的概率．

例5　从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的概率分布．

变式1、乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．

(1)求甲以4比1获胜的概率；

(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；

(3)求比赛局数的概率分布．

方法总结：求超几何分布的分布列，关键是明确随机变量是否服从超几何分布，分清M，N，n，k的值，然后求出相应的概率，最后列表即可．

利用二项分布解决实际问题的关键在于，在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．

五、优化提升与真题演练

1、（2020·合肥一六八中学测试题）如图，元件通过电流的概率均为0．9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是（ ）

A．0．729 B．0．8829 C．0．864 D．0．9891

2、（2020·山东青岛二中开学考试）掷一枚硬币两次，记事件“第一次出现正面”，“第二次出现反面”，则有（   ）

A．与相互独立 B．

C．与互斥 D．

3、（2020·江苏省南京外国语高三期末）如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是(    )

A．这5个家庭均有小汽车的概率为

B．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为

C．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车

D．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为

4、（2020·河北易县中学高三月考）某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为________.

5、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）某市有，，，四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览，和的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（    ）

A．游客至多游览一个景点的概率 B．

C． D．

6、（2020届山东省烟台市高三上期末）某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为.

（1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；

（2）为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润-维修工人工资）