第57讲 二项式定理-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第57讲 二项式定理

一、课程标准

1、能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．

2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.基础知识回顾

二、基础知识回顾

1. 二项式定理

公式：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)

这个公式表示的定理叫做二项式定理．在上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0，1，…，n)叫做二项式系数，式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Can－kbk．

2. 二项展开式形式上的特点

(1)项数为__n＋1__．

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按__降幂__排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按__升幂__排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

(4)二项式系数从__C__，C，一直到C，__C__．

3. “杨辉三角”与二项式系数的性质

(1)“杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．

(2)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝__C__．

(3)增减性与最大值：二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐渐__增大__；当k＞时，二项式系数逐渐__减小__．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大．

(4)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各项二项式系数之和为__2n__，即C＋C＋…＋C＝__2n__.

(5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C＋C＋…＝__C＋C＋…__＝__2n－1__．

三、自主热身、归纳总结

1、(1＋2x)5的展开式中，x2的系数为(     )

A. 10　  B. 20　  C. 25　  D. 40

2、若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(     )

A. 6　  B. 12　  C. 20　  D. 32

3、(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(      )

A. C　  B. C　 

C. C　  D. (－1)m－1C

4、(多选)已知(3x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，设(3x－1)n的展开式的二项式系数之和为Sn，Tn＝a1＋a2＋…＋an，则(　　)

A．a0＝1

B．Tn＝2n－(－1)n

C．n为奇数时，Sn＜Tn；n为偶数时，Sn＞Tn

D．Sn＝Tn

5、(一题两空)若m的展开式中二项式系数之和为128，则m＝________，展开式中的系数是________．

6、(2020·合肥模拟)(x－2)3(2x＋1)2的展开式中x的奇次项的系数之和为________．

7、若n(n≥4，n∈N*)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n＝________.

四、例题选讲

考点一  二项展开式中特定项及系数问题

例1、（1）二项式10的展开式中，项的系数是(　　)

A.　　　　　　　　　　　 B．－

C．15  D．－15

（2）(2019·天津高考)8的展开式中的常数项为________．

（3）(2019·浙江高考)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．

变式1、已知在的展开式中，第6项为常数项．

(1)求n；

(2)求含x2项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

变式2、求二项展开式中的特定项或指定项的系数

(1)在(－1)4的展开式中，x的系数为________．

(2)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________．

方法总结：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．

考点二、 二项式系数的和或各项系数的和的问题

例2、在(2x－3y)10的展开式中，求：

(1) 二项式系数的和；

(2) 各项系数的和；

(3) 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

(4) 奇数项系数和与偶数项系数和；

(5) x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．

变式1、(1)(2020·合肥模拟)已知(ax＋b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与－18，则(ax＋b)6的展开式中所有项系数之和为(　　)

A．－1  B．1

C．32  D．64

(2)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝(　　)

A．0  B．1

C．32  D．－1

(3)在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝________.

变式2、对任意实数x，有.则下列结论成立的是（    ）

A．

B．

C．

D．

变式3、（2020·深喀第二高级中学高二期末）已知，则_______.

方法总结：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m (a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

考点三　二项式定理的综合应用

例3　(1)1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是____．

(2)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2019＝____．

变式1、（2020·江苏省南京师大附中高二）已知，．记．

（1）求的值；

（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．

变式2、【陕西省黄陵中学高新部2017-2018学年高二下学期开学考试】(1)设.

①求；

②求；

③求；

(2)求除以9的余数．

方法总结：整除问题，解决整除问题要点为：(1)观察除式与被除式间的关系；(2)将被除式拆成二项式；(3)结合二项式定理得出结论．此外二项式定理还可应用于不等式的证明．

五、优化提升与真题演练

1、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为（   ）

A．12 B．16 C．20      D．24

2、【2020年高考北京】在的展开式中，的系数为（   ）

A．  B．5 

C．  D．10

3、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】的展开式中x3y3的系数为（   ）

A．5  B．10 

C．15  D．20

4、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】的展开式中的系数为（   ）

A．10 B．20 C．40 D．80

5、【2020年高考全国II卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．

6、【2020年高考全国III卷理数】的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

7、【2020年高考天津】在的展开式中，的系数是_________．

8、【2020年高考浙江】二项展开式，则_______，________．