第39讲 平面的性质与点线面的位置关系-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第39讲：平面的性质与点线面的位置关系

一、课程标准

1、了解平面的基本性质

2、掌握空间两条直线的位置关系

3、会求异面直线所成的角

二、基础知识回顾

1、 平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．

推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

2、 空间中两直线的位置关系

(1)空间中两直线的位置关系

(2)两条异面直线不能确定一个平面．

(3)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.

(4)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

②范围：.

(5)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

(6)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．

②如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．

③如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．　　　　　　　

知识点三  空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．

(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

3、知识必备

1．唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

2．异面直线的两个结论

(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．

三、自主热身、归纳总结

1、下列命题中，真命题的个数为(　　)

①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；

②两条直线可以确定一个平面；

③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；

④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.

　A. 1  B. 2  C. 3  D. 4

2、 已知l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)

A. 若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1∥l3

B. 若l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3

C. 若l1∥l2∥l3，则l1，l2，l3共面

D. 若l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面

3、设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；

③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．

上述命题中正确的命题是________．(填序号)

4、 四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为________．

5、如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则

(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；

(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．

6、如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为________．

四、例题选讲

考点一   平面的基本性质及应用

例1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点．

变式1、（华东师范大学附中2019届高三模拟）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点.

变式2、已知空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：

(1) E、F、G、H四点共面；

(2) 三直线FH、EG、AC共点．

变式3、　以下四个命题中，正确命题的个数是(　　)

①不共面的四点中，任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

A. 0  B. 1  C. 2  D. 3

方法总结：1．证明点或线共面问题的2种方法

(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；

(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．

2．证明点共线问题的2种方法

(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；

(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．

3．证明线共点问题的常用方法

先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点

考点二   判断空间直线的位置关系

例2、若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

变式1、如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________(填序号)．

变式2、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断中错误的是________．(填序号)

①MN与CC1垂直；

②MN与AC垂直；

③MN与BD平行；

④MN与A1B1平行．

变式3、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是A1B1，B1C1的中点．求证：

(1)AM和CN共面；

(2)D1B和CC1是异面直线．

变式4、已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．

变式5、（浙江镇海中学2019届高三模拟）(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)

A.l与l1，l2都不相交

B.l与l1，l2都相交

C.l至多与l1，l2中的一条相交

D.l至少与l1，l2中的一条相交

(2)将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(　　)

A.相交且垂直    B.相交但不垂直

C.异面且垂直    D.异面但不垂直

方法总结：1.异面直线的判定方法：

(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.

(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.

2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.

考点三   异面直线所成的角

例3、如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.  D.

变式1、（福建双十中学2019届高三质检）三棱锥A－BCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为(　　)

A.   B.   C.   D.

变式2、（2020•海南模拟）如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点，异面直与所成角的余弦值为，则　　

A． B．直线与直线共面 

C． D．直线与直线异面

变式3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．

变式4、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

(1)求AC与A1D所成角的大小；

(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

方法总结：用平移法求异面直线所成的角的三步骤

(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；

(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；

(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角

五、优化提升与真题演练

1、(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)

A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线

B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线

D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

2、(2018·全国Ⅱ卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)

A.   B.   C.   D.

3、(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)

A.  B. 

C.  D.

4、(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)

A.  B. 

C.  D.

5、(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最大值为60°.

其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)