第34讲 数列的概念与等差数列-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第34讲：数列的概念与等差数列

一、课程标准

1、通过实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数.

2、通过实例，理解等差数列的概念．

3、探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式．

4、.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．

5、体会等差数列与一次函数的关系.

二、基础知识回顾

知识梳理

1. 数列的概念

(1)按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．数列可以看做是定义域为N*或其非空子集的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，其图像是一群孤立的点．

注：数列是特殊的函数，应注意其定义域，不要和函数的定义域混淆．

(2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，an称为第n项．

2. 数列的分类

(1)数列按项数的多少来分：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．

(2)按前后项的大小来分：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列．

3. 数列的通项公式

一般地，如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

注：并不是每一个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一．

4. 数列的表示方法

数列可以用通项公式来描述，也可以通过图像或列表来表示．

5．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．

(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．

6、等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数．

(2)前n项和公式：Sn＝ Sn＝na1＋d＝n2＋n⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项．

三、自主热身、归纳总结

1. 设Sn为等差数列的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝(C )

A. －2  B. 2  C. －6  D. 6

2、记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(C )

A. 1  B. 2  C. 4  D. 8

3、（2019秋•徐州期末）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是（　　）

A．若S5＝S9，则必有S14＝0 

B．若S5＝S9，则必有S7是Sn中最大的项 

C．若S6＞S7，则必有S7＞S8 

D．若S6＞S7，则必有S5＞S6

4、已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.

5、(一题两空)若数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋3(n∈N*)，则a3＝________，通项公式an＝________.

6、(一题两空)等差数列{an}中，已知Sn是其前n项和，a1＝－9，－＝2，则an＝________，S10＝________.

四、例题选讲

考点一、由an与Sn的关系求通项an

例1、(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________.

(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.

(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________.

变式1、已知数列{an}的前n项和Sn，求通项an.

(1)Sn＝n2－4n＋1；

(2)Sn＝3n＋b.

变式2、（2019栟茶中学期末）若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an+1，（n∈N*），则下列说法正确的是（　　）

A．a5＝﹣16 B．S5＝﹣63 

C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn+1}是等比数列

变式3、（2019秋•苏州期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2（an﹣a）（其中a为常数），则下列说法正确的是（　　）

A．数列{an}一定是等比数列 B．数列{an}可能是等差数列 

C．数列{Sn}可能是等比数列 D．数列{Sn}可能是等差数列

方法总结：由数列{an}的前n项和Sn，求通项an的问题，要分成两段：an＝不要遗漏n＝1的情形．因题(2)含字母b，首项是否满足，还需要对b进行分类讨论．本题侧重考查分类讨论的数学思想．

考点二、等差数列中基本量的运算

例2、（1）(2019苏北三市期末）在等差数列{an}中，若a5＝，8a6＋2a4＝a2，则{an}的前6项和S6的值为________．

（2）(2017苏北四市一模）设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2＝3，S4＝16，则S9的值为________．

变式1、（1）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)

A．－12  B.－10

C．10  D．12

（2）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为________．

（3）在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为________．

变式2、（1）[2019·无锡调研]设公差不为零的等差数列{an}满足a3＝7，且(a2－1)2＝(a1－1)(a4－1)，则a10等于____．

(2)设等差数列{an}的前n项的和为Sn.已知a2＝－4，a－a＝120，且a1＞－2，求an及Sn.

变式3、（2020届山东省泰安市高三上期末）我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺.

方法总结：(1)a1，d是等差数列的基本量，把所给的条件代入等差数列的通项公式，可列出方程组，如果能把a1－1作为一个整体处理，则能简化运算．一般地，给出含有a1，d的两个独立条件，即可求出该等差数列的通项公式，进而求出其前n项和．

(2)第(2)小问，充分利用等差数列的第二通项公式a5＝a2＋3d，a3＝a2＋d，则简化了运算．

考点三、　等差数列的性质

例3、（2020届北京市昌平区新学道临川学校上学期期中）已知等差数列的前项之和为，前项和为，则它的前项的和为（   ）

A.             B.              C.               D.

变式1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ）

A． B．1 C． D．2

变式2、(1)(2020·福建模拟)设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若a5＝2b5，则＝(　　)

A．2     B.3     C．4      D．6

(2)(2019·福建漳州质检改编)若Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2＋a9＋a19＝6，则a10＝________，S19＝________.

变式3、在等差数列{an}中，若m>1且am－1－a＋am＋1＝0，S2m－1＝26，求m的值．

方法总结：如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am－n＋an＋m的值．

考点四、等差数列的判定及证明

例4、（2020苏州期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2（an﹣a）（其中a为常数），则下列说法正确的是（　　）

A．数列{an}一定是等比数列 B．数列{an}可能是等差数列 

C．数列{Sn}可能是等比数列 D．数列{Sn}可能是等差数列

变式1、已知数列是等差数列，公差为d，设bn＝a－a.

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)若a1＝a，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.

变式2、已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．

(1)求证：数列为等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

变式3、若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.

(1)求证：成等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

方法总结：欲证一个数列是等差数列，根据定义，即证bn＋1－bn为常数．目标明确了，下面还需要推理正确；欲求数列的前n项和Sn，可先求通项，再判断为何数列；如果知道了具体的等差或等比数列，只需要求出两个基本量——首项、公差(或公比)，再代入Sn公式即可．

五、优化提升与真题演练

1、（2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期（12月)月考数学试题）设等差数列的前n项的和为，且，则(    )

A．8 B．12 C．16 D．20

2、（北京市北京师范大学附属实验中学2019-2020学年上学期期中）已知是等差数列( )的前项和，且,以下有四个命题：

①数列中的最大项为   ②数列的公差

③                    ④

其中正确的序号是（    ）

A．②③ B．②③④ C．②④ D．①③④

3、（北京市昌平区新学道临川学校2019-2020学年上学期期末）设为等差数列，，为其前项和，若，则公差(   )

A．-2 B．-1 C．1 D．2

4、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ）

A． B．1 C． D．2

5、【2020年全国2卷】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）

A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块

6、【2020年北京卷】在等差数列中，，．记，则数列（    ）．

A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项

C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项

7、【2020年浙江卷】已知数列{an}满足，则S3=________．

8、（2019年江苏卷）.已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.

9、（2015江苏卷）数列满足，且（），则数列的前10项和为