第47讲 两条直线的位置关系-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第47讲 两条直线的位置关系
一、 课程标准
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离
二、 基础知识回顾
知识梳理
1. 斜率存在的两条直线平行与垂直
若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
则l1∥l2⇔k1＝k2，b1≠b2；
l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；
l1与l2重合⇔k1＝k2，b1＝b2．
2. 直线的一般式方程中的平行与垂直条件
若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(其中A1，B1不同时为0，A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．
3. 两直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组
的解一一对应．
(1)相交⇔方程组有一组解；
(2)平行⇔方程组无解；
(3)重合⇔方程组有无数组解．
4. 已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两点间的距离为d＝．
5. 设点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，则点P到直线l的距离为d＝
．
6. 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0)之间的距离d＝．
三、 自主热身、归纳总结
1、 若直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则实数m的值为(　　)
A. 2 B. －3 C. 2或－3 D. －2或－3
【答案】 C
【解析】 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或m＝－3.故选C.
2、 若直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为(　　)
A. －3 B. － C. 2 D. 3
【答案】 D
【解析】 直线ax＋2y－1＝0的斜率k1＝－，直线2x－3y－1＝0的斜率k2＝.因为两直线垂直，所以－×＝－1，即a＝3.
3、直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是( )
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】　先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，则两平行线间的距离为d＝＝.故选A.
4、若三条直线2x＋y＋3＝0，2x－y－1＝0和x＋3ky＋k＋1＝0相交于一点，则实数k＝____．
【答案】
【解析】　由2x＋y＋3＝0，2x－y－1＝0两直线交于点(－，－2)，再将此点代入直线方程x＋3ky＋k＋1＝0中，求得k＝.
5、若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝____．
【答案】0或1
【解析】　由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.

四、 例题选讲
考点一 两条直线的位置关系
例1、已知直线l1：ax＋2y＋3＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1) 当l1∥l2时，求实数a的值；
(2) 当l1⊥l2时，求实数a的值．
【解析】　(1)(方法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，
l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2⇔解得a＝－1，综上可知，当a＝－1时，l1∥l2.
(方法2)∵l1∥l2
∴⇔解得a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2.
(2)(方法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；
当a≠1且a≠0时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)由·＝－1，得a＝.
(方法2)∵l1⊥l2，∴a＋2(a－1)＝0，解得a＝.
变式1、（1）（江苏省丹阳高级中学2019届模拟）已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)
A．－10 B．－2 C．0 D．8
（2）（浙江绍兴一中2019届模拟）设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】（1）A （2）C　
【解析】（1）因为l1∥l2，所以＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合)．因为l2⊥l3，所以2×1＋1×n＝0，即n＝－2.
所以m＋n＝－10.
（2）当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立；当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．故选C.
变式2、已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
【解析】　(1)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a.
若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1不存在，即b＝0.又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k2≠0，
即k1，k2都存在且不为0.∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.(*)又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.(**)由(*)(**)联立，解得a＝2，b＝2.
(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即＝1－a，①
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b，②联立①②，解得或
∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
方法总结：(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．

考点二 两条直线的交点问题
例2　已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是__________．
【答案】
【解析】 如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0，2)．直线y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2，1)，斜率为k的动直线．因为两直线的交点在第一象限，所以两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，所以动直线的斜率k需满足kPA＜k＜kPB.因为kPA＝－，kPB＝，所以－＜k＜.

变式1、(1)三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是(　　)
A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±5，k≠1
(2)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为__________．
【答案】(1)C　(2)5x＋3y－1＝0
【解析】(1)由l1∥l3得k＝5；由l2∥l3，得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，若l1，l2的交点(1,1)在l3上，则k＝－10.若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5，且k≠－10，故选C.
(2)解方程组得l1，l2的交点坐标为(－1,2)．
由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1，l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1.故直线l的方程为5x＋3y－1＝0.

变式2、下面三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0不能构成三角形，求实数m的取值集合．
【解析】　当三条直线交于一点时：由，解得l1和l2的交点A的坐标，由A在l3上可得2×－3m×＝4，解得m＝或m＝－1.
至少两条直线平行或重合时：l1、l2、l3至少两条直线斜率相等，当m＝4时，l1∥l2；当m＝－时，l1∥l3；若l2∥l3，则需有＝，m2＝－不可能．综合(1)、(2)可知，m＝－1，－，，4时，这三条直线不能组成三角形，∴m的取值集合是.
方法总结：(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．
(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，常用的直线系方程如下：
①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R，且m≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；③过直线l1：A1x＋B1y＋C1 ＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
考点三、 两直线的距离问题
例3、已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程．
(2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离．
(3)是否存在过点P且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
【解析】　(1)过点P的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见过P(2，－1)垂直于x轴的直线满足条件．此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得＝2，解得k＝.此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)过点P与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得klkOP＝－1.∴kl＝－＝2.由直线的点斜式方程得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，最大距离为＝.
(3)由(2)可知，过P点不存在与原点距离超过的直线，∴不存在过P点且与原点距离为6的直线．

变式1、(1)过点P(2,1)且与原点O距离最远的直线方程为(　　)
A．2x＋y－5＝0　　　 B．2x－y－3＝0
C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0
(2)若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是 ，则m＋n＝(　　)
A．0 B．1
C．－2 D．－1
【答案】　(1)A　(2)C
【解析】　(1)过点P(2,1)且与原点O距离最远的直线为过点P(2,1)且与OP垂直的直线，因为直线OP的斜率为＝，所以所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为2x＋y－5＝0.
(2)因为l1，l2平行，所以1×n＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m，解得n＝－4，m≠－3，所以直线l2：x－2y－3＝0.又l1，l2之间的距离是 ，所以＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2，故选C.

变式2、已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点P.
(1) 若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2) 求点A(5，0)到直线l距离的最大值．

【解析】 (1) 由解得
所以P(2，1)．
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，符合题意；
若直线l的斜率存在，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0.
由已知点A(5，0)到直线l的距离为3，得＝3，解得k＝，此时直线l的方程为4x－3y－5＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2) 由(1)可知交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，
设d为点A到直线l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立)，
所以dmax＝PA＝＝.　

方法总结：1．点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
2．两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式．

考点四 直线的对称性
例4、(1)已知直线l：x＋2y－2＝0.
①求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
②求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．
(2)光线由点A(－5，)入射到x轴上的点B(－2,0)，又反射到y轴上的点M，再经y轴反射，求第二次反射线所在直线l的方程．
【解析】(1)①由解得交点P(2,0)．

在l1上取点M(0，－2)，
M关于l的对称点设为N(a，b)，
则
解得N，所以kl2＝＝7，
又直线l2过点P(2,0)，
所以直线l2的方程为7x－y－14＝0.
②直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行，所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0.
在l上取点B(0,1)，则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上，所以m＝－4，即所求的直线方程为x＋2y－4＝0.

(2)点A(－5，)关于x轴的对称点A′(－5，－)在反射光线所在的直线BM上，
可知lBM：y＝(x＋2)，
所以M.又第二次反射线的斜率k＝kAB＝－，所以第二次反射线所在直线l的方程为y＝－x＋，即x＋y－2＝0.

变式、(1)如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，

最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是___．
(2)已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
【答案】（1）2 （2）9x－46y＋102＝0.
【解析】　(1)直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直

线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为CD＝＝2.
(2)在直线m上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，则
解得
∴M′.
设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4，3)．
又∵直线m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.

方法总结：对称性问题有三类：一是点关于点对称；二是点关于线对称；三是线关于线对称；点关于点对称问题比较简单，只要用中点坐标公式即可；点关于线对称要用到两个条件，一是已知点和对称点的连线与已知直线垂直，二是已知点和对称点的中点在已知直线上；线关于线对称问题，一般是在某一条直线上找两个点，求出这两个点关于另一条直线的对称点，然后用两点式求出其方程．通常情况下会用到两直线的交点．

五、优化提升与真题演练

1、已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B．1
C．6 D．0或6
【答案】C　
【解析】由直线l的倾斜角为得l的斜率为－1，
因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.
又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，
所以l1的斜率为，故＝－1，解得a＝6.
2、(多选)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则实数c的值是(　　)
A．2 B．－4
C．5 D．－6
【答案】AD
【解析】　依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，又两平行线之间的距离为，所以＝，解得c＝2或－6.
3、已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．
【答案】
【解析】由方程组解得
∴交点坐标为.
又∵交点位于第一象限，∴
解得－＜k＜.
4、(一题两空)已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________.
【答案】 －1　1
【解析】若直线l1的倾斜角为，则－a＝tan＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，则a×1＋1×(－1)＝0，故a＝1.
5、 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程．
【解析】　设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，∴直线l的方程为x＋4y－4＝0.

6、已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：4x－2y－1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．
【解析】：(1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行直线l1与l2间的距离为d＝＝，
所以＝，即＝，
又a＞0，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．
若点P满足条件②，
则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且＝×，
即c＝或，
所以直线l′的方程为2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，
有＝×，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．
联立方程得
解得(舍去)；
联立方程得
解得
所以存在点P同时满足三个条件．