二次函数的性质及应用（真题50道模拟40道）-5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（解析版）（四川专用）

5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（四川专用）
专题17二次函数的性质及应用（真题50道模拟40道）
五年中考真题



1．（2020•绵阳）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　）

A．43米 B．52米 C．213米 D．7米
【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x＝﹣10代入可求解．
【解析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO=32，

设大孔所在抛物线解析式为y＝ax2+32，
∵BC＝10，
∴点B（﹣5，0），
∴0＝a×（﹣5）2+32，
∴a=-350，
∴大孔所在抛物线解析式为y=-350x2+32，
设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m（x﹣b）2，
∵EF＝14，
∴点E的横坐标为﹣7，
∴点E坐标为（﹣7，-3625），
∴-3625=m（x﹣b）2，
∴x1=65-1m+b，x2=-65-1m+b，
∴MN＝4，
∴|65-1m+b﹣（-65-1m+b）|＝4
∴m=-925，
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-925（x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，
∴当x＝﹣10时，y=-92，
∴-92=-925（x﹣b）2，
∴x1=522+b，x2=-522+b，
∴单个小孔的水面宽度＝|（522+b）﹣（-522+b）|＝52（米），
故选：B．
2．（2020•眉山）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＜3 C．﹣2≤a＜3 D．﹣2≤a≤3
【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，解得a≥﹣2；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出答案．
【解析】∵二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，
∴△＝（﹣2a）2﹣4×1×（a2﹣2a﹣4）≥0
解得：a≥﹣2；
∵抛物线的对称轴为直线x=--2a2=a，抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大，
∴a≤3，
∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤3．
故选：D．
3．（2020•宜宾）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（　　）
①abc＞0；
②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；
③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；
④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．
A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④
【分析】根据待定系数法，方程根与系数的关系等知识和数形结合能力仔细分析即可解．
【解析】依照题意，画出图形如下：

∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．
∴a＜0，c＞0，对称轴为x=-b2a=-1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵对称轴为x＝﹣1，
∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；
∵顶点为（﹣1，n），
∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，
联立方程组可得：y=kx+1y=ax2+2ax+a+n，
可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，
∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，
∵无法判断△是否大于0，
∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；
当﹣3≤x≤3时，
当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确，
故选：C．
4．（2020•泸州）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
【分析】求出抛物线的对称轴x＝b，再由抛物线的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），也可以得到对称轴为1-b+2b+c2，可得b＝c+1，再根据二次函数的图象与x轴有公共点，得到b2﹣4c≤0，进而求出b、c的值．
【解析】由二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c的图象与x轴有公共点，
∴（﹣2b）2﹣4×1×（2b2﹣4c）≥0，即b2﹣4c≤0 ①，
由抛物线的对称轴x=--2b2=b，抛物线经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），
b=1-b+2b+c2，即，c＝b﹣1 ②，
②代入①得，b2﹣4（b﹣1）≤0，即（b﹣2）2≤0，因此b＝2，
c＝b﹣1＝2﹣1＝1，
∴b+c＝2+1＝3，
故选：C．
5．（2020•南充）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则-43＜a≤﹣1或1≤a＜43；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a＜-54或a≥1．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】由题意可求次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x=--4a2a=2，由对称性可判断①；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解．
【解析】∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x=-4a2a=2，
∴x1＝2+m与x2＝2﹣m关于直线x＝2对称，
∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；
故①正确；
当x＝3时，y＝﹣3a﹣5，当x＝4时，y＝﹣5，
若a＞0时，当3≤x≤4时，﹣3a﹣5≤y≤﹣5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，分别是﹣5，﹣6，﹣7，﹣8，
∴﹣9＜﹣3a﹣5≤﹣8
∴1≤a＜43，
若a＜0时，当3≤x≤4时，﹣5≤y≤﹣3a﹣5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，分别是﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，
∴﹣2≤﹣3a﹣5＜﹣1
∴-43＜a≤﹣1，
故②正确；
若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a﹣20a﹣5≥0，
∴16a2+20a＞05a-5≥0，
∴a≥1，
若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a﹣20a﹣5≤0，
∴16a2+20a＞05a-5≤0，
∴a＜-54，
综上所述：当a＜-54或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．
故选：D．
6．（2019•德阳）对于二次函数y＝x2﹣6x+a，在下列几种说法中：①当x＜2时．y随x的增大而减小；②若函数的图象与x轴有交点，则a≥9；③若a＝8，则二次函数y＝x2﹣6x+a（2＜x＜4）的图象在x轴的下方；④若将此函数的图象绕坐标
原点旋转180°，则旋转后的函数图象的顶点坐标为（﹣3，9﹣a），其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据抛物线的对称轴及开口方向可判断函数的增减变化；根据判别式△可得a的取值范围；当a＝8时，解方程可得其与x轴的交点坐标；将原抛物线解析式写成顶点式，得其顶点坐标，则易得旋转180°之后的函数图象的顶点坐标．
【解析】∵抛物线的对称轴为x＝3，且开口向上
∴当x＜2时．y随x的增大而减小，故①正确；
当△＝36﹣4a≥0，即a≤9时，函数图象与x轴有交点，故②错误；
当a＝8时，y＝x2﹣6x+8，解方程x2﹣6x+8＝0，得x1＝2，x2＝4
∴函数图象与x轴交于（2，0）、（4，0）
∵函数图象开口向上
∴当2＜x＜4时，函数图象在x轴下方，故③正确；
y＝x2﹣6x+a＝（x﹣3）2+a﹣9
∴顶点坐标为（3，a﹣9）
函数图象绕坐标原点旋转180°后，顶点坐标为（﹣3，9﹣a），故④正确．
综上，正确的有①③④
故选：C．
7．（2019•贵阳）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y=12x+12上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（　　）

A．a≤﹣2 B．a＜98
C．1≤a＜98或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜98
【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．
【解析】∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴令12x+12=ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0
∴△＝9﹣8a＞0
∴a＜98
①当a＜0时，a+1+1≤0a-1+1≤1
解得：a≤﹣2
∴a≤﹣2
②当a＞0时，a+1+1≥0a-1+1≥1
解得：a≥1
∴1≤a＜98
综上所述：1≤a＜98或a≤﹣2
故选：C．
8．（2019•泸州）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜2 B．a＞﹣1 C．﹣1＜a≤2 D．﹣1≤a＜2
【分析】先把抛物线解析式化为一般式，利用判别式的意义得到△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，再求出抛物线的对称轴为直线x＝a，根据二次函数的性质得到a≥﹣1，从而得到实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．
【解析】y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6，
∵抛物线与x轴没有公共点，
∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，
∵抛物线的对称轴为直线x=--2a2=a，抛物线开口向上，
而当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∴a≥﹣1，
∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．
故选：D．
9．（2019•宜宾）已知抛物线y＝x2﹣1与y轴交于点A，与直线y＝kx（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论不正确的是（　　）
A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形
B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°
C．任意实数k，使得△ABC都为直角三角形
D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形
【分析】可以直接说明存在实数k＝0时，使得△ABC为等腰直角三角形，所以△ABC不可能为等边三角形；或通过画图可解答．
【解析】解法一：当k＝0时，直线y＝kx就是x轴，抛物线y＝x2﹣1与x轴相交于B，C两点，△ABC形成等腰直角三角形，一定是一个直角三角形，也就不可能是等边三角形了；所以选项D不正确；
解法二：A、如图1，可以得△ABC为等腰三角形，正确；

B、如图3，∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，可以得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°，正确；

C、如图3，∠BAC＝90°，可以得△ABC为直角三角形，正确；

理由是：x2﹣1＝kx，
x2﹣kx﹣1＝0，
设B（x1，x12-1），C（x2，x22-1），也可以表示为B（x1，kx1），C（x2，kx2），
∴x1+x2＝k，x1•x2＝﹣1，
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=k2+4，
x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2＝k2+2，
∵BC2=(x1-x2)2+(kx1-kx2)2=（k2+4）+k2（k2+4）＝（k2+4）（k2+1）＝k4+5k2+4，
AC2=x22+(x22-1+1)2=x22+x24，
AB2=x12+x14，
∴AC2+AB2＝k2+2+（x12+x22）2﹣2x12x22＝k2+2+（k2+2）2﹣2＝k4+5k2+4，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°；
D、不存在实数k，使得△ABC为等边三角形，不正确；
本题选择结论不正确的，
故选：D．
10．（2019•资阳）如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（　　）

A．m≥1 B．m≤0 C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤0
【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的m的值，则m的范围可知．
【解析】如图1所示，当m等于0时，
∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴A（0，﹣3），
当x＝4时，y＝5，
∴C（4，5），
∴当m＝0时，
D（4，﹣5），
∴此时最大值为0，最小值为﹣5；
如图2所示，当m＝1时，
此时最小值为﹣4，最大值为1，
当1＜m＜5时，最大值与最小值之差大于5，不合题意；
综上所述：0≤m≤1，
故选：C．


11．（2018•广元）若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a*b＝ab﹣a+b，如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以下说法中错误的是（　　）
A．不等式（﹣2）*（3﹣x）＜2的解集是x＜3
B．函数y＝（x+2）*x的图象与x轴有两个交点
C．在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数
D．方程（x﹣2）*3＝5的解是x＝5
【分析】根据题目中的新规定和二次函数的性质、不等式的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决．
【解析】∵a*b＝ab﹣a+b，
∴（﹣2）*（3﹣x）＝（﹣2）×（3﹣x）﹣（﹣2）+（3﹣x）＝x﹣1，
∵（﹣2）*（3﹣x）＜2，
∴x﹣1＜2，解得x＜3，故选项A正确；
∵y＝（x+2）*x＝（x+2）x﹣（x+2）+x＝x2+2x﹣2，
∴当y＝0时，x2+2x﹣2＝0，解得，x1＝﹣1+3，x2＝﹣1-3，故选项B正确；
∵a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+12）2+34＞0，
∴在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数，故选项C正确；
∵（x﹣2）*3＝5，
∴（x﹣2）×3﹣（x﹣2）+3＝5，
解得，x＝3，故选项D错误；
故选：D．
12．（2018•巴中）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　）

A．此抛物线的解析式是y=-15x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
【分析】A、设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值；
B、根据函数图象判断；
C、根据函数图象判断；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，当x＝﹣2，5时，即可求得结论．
【解析】A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05＝a×1.52+3.5，
∴a=-15，
∴y=-15x2+3.5．
故本选项正确；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项错误；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项错误；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，
∴当x＝﹣2.5时，
h＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25（m）．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
故本选项错误．
故选：A．

3．（2018•乐山）二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象与一次函数y＝x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＝3±23 B．﹣1≤a＜2
C．a＝3+23或-12≤a＜2 D．a＝3﹣23或﹣1≤a＜-12
此时x=-3，不满足题意，
当a＝3﹣23时，
此时x=3，满足题意，
当△＞0时，
令y＝x2+（a﹣3）x+3，
令x＝1，y＝a+1，
令x＝2，y＝2a+1
（a+1）（2a+1）≤0
解得：﹣1≤a≤-12，
当a＝﹣1时，此时x＝1或3，满足题意；
当a=-12时，此时x＝2或x=32，不满足题意，
综上所述，a＝3﹣23或﹣1≤a＜-12，
故选：D．
14．（2018•泸州）已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（　　）
A．1或﹣2 B．-2或2 C．2 D．1
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x＝1时，y＝9，即可求出a．
【解析】∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x=-2a2a=-1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x＝1时，y＝a+2a+3a2+3＝9，
∴3a2+3a﹣6＝0，
∴a＝1，或a＝﹣2（不合题意舍去）．
故选：D．
15．（2017•乐山）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（　　）
A．32 B．2 C．32或2 D．-32或2
【分析】将二次函数配方成顶点式，分m＜﹣1、m＞2和﹣1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为﹣2，结合二次函数的性质求解可得．
【解析】y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，
①若m＜﹣1，当x＝﹣1时，y＝1+2m＝﹣2，
解得：m=-32；
②若m＞2，当x＝2时，y＝4﹣4m＝﹣2，
解得：m=32＜2（舍）；
③若﹣1≤m≤2，当x＝m时，y＝﹣m2＝﹣2，
解得：m=2或m=-2＜-1（舍），
∴m的值为-32或2，
故选：D．
16．（2017•眉山）若一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2﹣ax（　　）
A．有最大值a4． B．有最大值-a4．
C．有最小值a4． D．有最小值-a4．
【分析】一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，得到﹣1＜a＜0，于是得到结论．
【解析】∵一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，
∴a+1＞0且a＜0，
∴﹣1＜a＜0，
∴二次函数y＝ax2﹣ax有最大值-a4，
故选：B．
17．（2017•泸州）已知抛物线y=14x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（3，3），P是抛物线y=14x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=14x2+1于点P，由PF＝PE结合三角形三边关系，即可得出此时△PMF周长取最小值，再由点F、M的坐标即可得出MF、ME的长度，进而得出△PMF周长的最小值．
【解析】过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=14x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，
∵F（0，2）、M（3，3），
∴ME＝3，FM=(3-0)2+(3-2)2=2，
∴△PMF周长的最小值＝ME+FM＝3+2＝5．
故选：C．

18．（2016•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（　　）

A．2a﹣b＝0
B．a+b+c＞0
C．3a﹣c＝0
D．当a=12时，△ABD是等腰直角三角形
【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，得到对称轴为直线x＝1，则-b2a=1，即2a+b＝0，得出，选项A错误；
当x＝1时，y＜0，得出a+b+c＜0，得出选项B错误；
根据a＞0，c＜0，可得到3a与c的关系，得出选项C错误；
由a=12，则b＝﹣1，c=-32，对称轴x＝1与x轴的交点为E，先求出顶点D的坐标，由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，得出选项D正确；即可得出结论．
【解析】∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，则-b2a=1，
∴2a+b＝0，
∴选项A错误；
∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，
∴x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0，
∴选项B错误；
∵a＞0，c＜0，
∴3a＞0，﹣c＞0．
∴3a﹣c＞0，
∴选项C错误；
当a=12，则b＝﹣1，c=-32，对称轴x＝1与x轴的交点为E，如图，
∴抛物线的解析式为y=12x2﹣x-32，
把x＝1代入得y=12-1-32=-2，
∴D点坐标为（1，﹣2），
∴AE＝2，BE＝2，DE＝2，
∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴选项D正确．
故选：D．

向上；抛物线的对称轴为直线x=-b2a；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．
二．填空题（共13小题）
19．（2020•内江）已知抛物线y1＝﹣x2+4x（如图）和直线y2＝2x+b．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．①当x＝2时，M的最大值为4；②当b＝﹣3时，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3；③当b＝﹣5时，使M＝3的x的值是x1＝1，x2＝3；④当b≥1时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是　②④　．（填写所有正确结论的序号）

【分析】①求出y1，y2，求出m的值即可．
②求出直线与抛物线的交点坐标，利用图象法解决问题即可．
③画出图象，推出M＝3时，y1＝3，y2＝3转化为方程求出x的值即可．
④当b＝1时，由y=2x+1y=-x2+4x，消去y得到，x2﹣2x+1＝0，因为△＝0，推出此时直线y＝2x+1与抛物线只有一个交点，推出b＞1时，直线y＝2x+b与抛物线没有交点，由此即可判断．
【解析】①当x＝2时，y1＝4，y2＝4+b，无法判断4与4+b的大小，故①错误．
②如图1中，b＝﹣3时，

由y=-x2+4xy=2x-3，解得x=-1y=-5或x=3y=3，
∴两个函数图象的交点坐标为（﹣1，﹣5）和（3，3），
观察图象可知，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3，故②正确，
③如图2中，b＝﹣5时，图象如图所示，

M＝3时，y1＝3，
∴﹣x2+4x＝3，
解得x＝1或3，
y2＝3时，3＝2x﹣5，解得x＝4，也符合条件，
故③错误，
④当b＝1时，由y=2x+1y=-x2+4x，消去y得到，x2﹣2x+1＝0，
∵△＝0，
∴此时直线y＝2x+1与抛物线只有一个交点，
∴b＞1时，直线y＝2x+b与抛物线没有交点，
∴M随x的增大而增大，故④正确．
故答案为②④．
20．（2020•乐山）我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么：
（1）当﹣1＜[x]≤2时，x的取值范围是　0≤x＜3　；
（2）当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象下方．则实数a的范围是　a＜-1或a≥32　．
【分析】（1）根据[x]表示不大于x的最大整数，解决问题即可．
（2）由题意，构建不等式即可解决问题．
【解析】（1）由题意∵﹣1＜[x]≤2，
∴0≤x＜3，
故答案为0≤x＜3．

（2）由题意：当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象下方，
当﹣1≤x＜0时，则有[x]＝﹣1时，1+2a+3＜﹣1+3，解得a＜﹣1，
当0≤x＜1时，则有[x]＝0，y1＝x2﹣2a[x]+3＝x2+3，而y2＝[x]+3＝3，y1≥y2，此时y1的图象不可能在y2的图象下．
当1≤x＜2时，4﹣2a+3≤1+3，解得a≥32，
故答案为a＜﹣1或a≥32．
21．（2019•内江）若x、y、z为实数，且x+2y-z=4x-y+2z=1，则代数式x2﹣3y2+z2的最大值是　26　．
【分析】解三元一次方程组，用z表示出x、y，根利用配方法计算即可．
【解析】x+2y-z=4①x-y+2z=1②，
①﹣②得，y＝1+z，
把y＝1+z代入①得，x＝2﹣z，
则x2﹣3y2+z2＝（2﹣z）2﹣3（1+z）2+z2＝﹣z2﹣10z+1＝﹣（z+5）2+26，
当z＝﹣5时，x2﹣3y2+z2的最大值是26，
故答案为：26．
22．（2019•广安）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y=-112x2+23x+53，由此可知该生此次实心球训练的成绩为　10　米．
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
【解析】当y＝0时，y=-112x2+23x+53=0，
解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．
故答案为：10．
23．（2019•达州）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（12，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为34+2．
其中正确判断的序号是　①③④　．

【分析】①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确；
②根据二次函数的性质进行判断；
③根据平移的公式求出平移后的解析式便可；
④因BC边一定，只要其他三边和最小便可，作点B关于y轴的对称点B′，作C点关于x轴的对称点C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，求出B′C′便是其他三边和的最小值．
【解析】①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故此小题结论正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而增大，又∵﹣2＜0＜12，点M（﹣2，y1）、点N（12，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＞y3＞y1，故此小题结论错误；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故此小题结论正确；
④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，

则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：B'M2+C'M2+BM2+CM2=32+52+12+12=34+2，故此小题结论正确；
故答案为：①③④．
24．（2018•德阳）已知函数y=(x-2)2-2，x≤4(x-6)2-2，x＞4使y＝a成立的x的值恰好只有3个时，a的值为　2　．
【分析】首先在坐标系中画出已知函数y=(x-2)2-2，x≤4(x-6)2-2，x＞4的图象，利用数形结合的方法即可找到使y＝a成立的x值恰好有3个的a值．
【解析】函数y=(x-2)2-2，x≤4(x-6)2-2，x＞4的图象如图：
根据图象知道当y＝2时，对应成立的x值恰好有三个，
∴a＝2．
故答案：2．

25．（2018•南充）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）．给出下列结论：
①2a+c＜0；
②若（-32，y1），（-12，y2），（12，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；
③关于x的方程ax2+bx+k＝0有实数解，则k＞c﹣n；
④当n=-1a时，△ABP为等腰直角三角形．
其中正确结论是　②④　（填写序号）．

【分析】利用二次函数的性质一一判断即可；
【解析】∵-b2a＜12，a＞0，
∴a＞﹣b，
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴2a+c＞a﹣b+c＞0，故①错误，
若（-32，y1），（-12，y2），（12，y3）在抛物线上，
由图象法可知，y1＞y2＞y3；故②正确，
∵抛物线与直线y＝t有交点时，方程ax2+bx+c＝t有解，t≥n，
∴ax2+bx+c﹣t＝0有实数解
要使得ax2+bx+k＝0有实数解，则k＝c﹣t≤c﹣n；故③错误，
设抛物线的对称轴交x轴于H．
∵4ac-b24a=-1a，
∴b2﹣4ac＝4，
∴x=-b±22a，
∴|x1﹣x2|=2a，
∴AB＝2PH，
∵BH＝AH，
∴PH＝BH＝AH，
∴△PAB是直角三角形，
∵PA＝PB，
∴△PAB是等腰直角三角形．故④正确．
故答案为②④．

26．（2018•绵阳）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加　（42-4）　m．

【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解析】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA＝OB=12AB＝2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过将A点坐标（﹣2，0）代入抛物线解析式可得出：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出：
﹣2＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±22，所以水面宽度增加到42米，比原先的宽度当然是增加了（42-4）米，
故答案为：42-4．

27．（2017•德阳）若抛物线y＝﹣ax2+2na+an(n+1)x-an(n+1)与x轴交于An、Bn两点（a为常数，a≠0，n为自然数，n≥1），用Sn表示An、Bn两点间的距离，则S1+S2+…+S2017＝　20172018　．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程，找出点An、Bn的坐标，进而可得出Sn=1n-1n+1，将其代入S1+S2+…+S2017中即可求出结论．
【解析】∵y＝﹣ax2+2na+an(n+1)x-an(n+1)=-a（x-1n+1）（x-1n）＝0，
∴点An的坐标为（1n+1，0），点Bn的坐标为（1n，0）（不失一般性，设点An在点Bn的左侧），
∴Sn=1n-1n+1，
∴S1+S2+…+S2017＝1-12+12-13+⋯+12017-12018
＝1-12018
=20172018．
故答案为：20172018．
28．（2017•巴中）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，且抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，则半圆圆心M的坐标为　（1，0）　．

【分析】直接求出抛物线与x轴的交点，进而得出其中点位置．
【解析】当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
故A（﹣1，0），B（3，0），
则AB的中点为：（1，0）．
故答案为：（1，0）．
29．（2017•乐山）对于函数y＝xn+xm，我们定义y'＝nxn﹣1+mxm﹣1（m、n为常数）．
例如y＝x4+x2，则y'＝4x3+2x．
已知：y=13x3+（m﹣1）x2+m2x．
（1）若方程y′＝0有两个相等实数根，则m的值为　12　；
（2）若方程y′＝m-14有两个正数根，则m的取值范围为　m≤34且m≠12　．
【分析】根据新定义得到y′=13x3+（m﹣1）x2+m2＝x2+2（m﹣1）x+m2，
（1）由判别式等于0，解方程即可；
（2）根据根与系数的关系列不等式组即可得到结论．
【解析】根据题意得y′＝x2+2（m﹣1）x+m2，
（1）∵方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有两个相等实数根，
∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4m2＝0，
解得：m=12，
故答案为：12；
（2）y′＝m-14，即x2+2（m﹣1）x+m2＝m-14，
化简得：x2+2（m﹣1）x+m2﹣m+14=0，
∵方程有两个正数根，
∴2(m-1)＜0m2-m+14＞0(-2(m-1)]2-4(m2-m+14)≥0，
解得：m≤34且m≠12．
故答案为：m≤34且m≠12．
30．（2017•阿坝州）如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为　12　．

【分析】根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可．
【解析】连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，
由题意可得出：AP∥A′P′，AP＝A′P′，
∴四边形APP′A′是平行四边形，
∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），
∴PO=22+22=22，∠AOP＝45°，
又∵AD⊥OP，
∴△ADO是等腰直角三角形，
∴PP′＝22×2＝42，
∴AD＝DO＝sin45°•OA=22×3=322，
∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：42×322=12．
故答案为：12．

31．（2016•南充）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=12x经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+12a=0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是　①③④　（填写序号）
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=12x经过点（a，bc），可以得到a＞0，a、b、c的关系，然后对a、b、c进行讨论，从而可以判断①②③④是否正确，本题得以解决．
【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=12x经过点（a，bc），
∴a＞0a+b+c=1bc=12a
∴bc＞0，故①正确；
∴x2+（a﹣1）x+12a=0可以转化为：x2﹣（b+c）x+bc＝0，得x＝b或x＝c，故③正确；
∵b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+12a=0的两个实数根，
∴△＝（a﹣1）2﹣4×1×12a≥0，
化简，得（a﹣2）（a2+1）≥0，
∵a2+1≥1，
∴a﹣2≥0，
∴a≥2，
故a≥2，即2a﹣1≥3，故④正确；
∵a≥2且a+b+c＝1，
∴b+c＜0，故②错误；
故答案为：①③④．
三．解答题（共19小题）
32．（2020•广元）某网店正在热销一款电子产品，其成本为10元/件，销售中发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间存在如图所示的关系：
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）该款电子产品的销售单价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元；
（3）由于武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出300元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于450元，如何确定该款电子产品的销售单价？

【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）设该款电子产品每天的销售利润为w元，根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得；
（3）设捐款后每天剩余利润为z元，根据题意得出z＝﹣10x2+400x﹣3000﹣300＝﹣10x2+400x﹣3300，求出z＝450时的x的值，求解可得．
【解析】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
将（20，100），（25，50）代入y＝kx+b，
得20k+b=10025k+b=50，
解得k=-10b=300，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300；
（2）设该款电子产品每天的销售利润为w元，
由题意得w＝（x﹣10）•y
＝（x﹣10）（﹣10x+300）
＝﹣10x2+400x﹣3000
＝﹣10（x﹣20）2+1000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝20时，w有最大值，w最大值为1000．
答：该款电子产品销售单价定为20元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000元；
（3）设捐款后每天剩余利润z元，
由题意可得z＝﹣10x2+400x﹣3000﹣300＝﹣10x2+400x﹣3300，
令z＝450，即﹣10x2+400x﹣3300＝450，
x2﹣40x+375＝0，
解得x1＝15，x2＝25，
∵﹣10＜0，
∴当该款电子产品的销售单价每件不低于15元，且不高于25元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于450元．
33．（2020•成都）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/件）
12
13
14
15
16
y（件）
1200
1100
1000
900
800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【分析】（1）由待定系数法求出y与x的函数关系式即可；
（2）设线上和线下月利润总和为m元，则m＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100（x﹣19）2+7300，由二次函数的性质即可得出答案．
【解析】（1）∵y与x满足一次函数的关系，
∴设y＝kx+b，
将x＝12，y＝1200；x＝13，y＝1100代入得：1200=12k+b1100=13k+b，
解得：k=-100b=2400，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣100x+2400；
（2）设线上和线下月利润总和为m元，
则m＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100（x﹣19）2+7300，
∴当x为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元．
34．（2020•甘孜州）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．
（1）求k，b的值；
（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）由销售该商品每周的利润w＝销售单价×销售量，可求函数解析式，由二次函数的性质可求解．
【解析】（1）由题意可得：30=50k+b10=70k+b，
∴k=-1b=80，
答：k＝﹣1，b＝80；
（2）∵w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+80）＝﹣（x﹣60）2+400，
∴当x＝60时，w有最大值为400元，
答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元．
35．（2020•遂宁）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．
（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
【分析】（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则3x+5y=2104x+10y=380，即可求解；
（2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元，由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），即可求解．
【解析】（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则3x+5y=2104x+10y=380，解得x=20y=30，
答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；

（2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元，
由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），
∵﹣1＜0．故w有最大值，当x＝5时，w的最大值为265，当x＝12时，w的最小值为216，
故本次购买至少准备216元，最多准备265元．
36．（2020•南充）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）


【分析】（1）分别得出当0＜x≤12时和当12＜x≤20时，z关于x的函数解析式即可得出答案；
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，①当0＜x≤12时，可得出w关于x的一次函数，根据一次函数的性质可得相应的最大值；②当12＜x≤20时，可得出w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得相应的最大值．取①②中较大的最大值即可．
【解析】（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，
当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，
则12k+b=16，20k+b=14，
解得：k=-14，b=19，
∴z=-14x+19，
∴z关于x的函数解析式为z=16，(0＜x≤12)-14x+19，(12＜x≤20)．
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；
②当12＜x≤20时，
w＝（-14x+19﹣10）（5x+40）
=-54x2+35x+360
=-54（x﹣14）2+605，
因为-54＜0，
∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
37．（2019•阿坝州）某商店销售一种商品，每件的进价为50元，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；当售价高于进价时，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）当每件商品的售价为64元时，求该商品每天的销售数量；
（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；
（2）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．
【解析】（1）当每件商品的售价为64元时，该商品每天的销售数量为200﹣10×（64﹣60）＝160（件）；

（2）设每件商品的售价为x元，销售该商品每天获得的利润为W，
则W＝（x﹣50）[200﹣10（x﹣60）]
＝﹣10x2+1300x﹣4000
＝﹣10（x﹣65）2+2250，
∵a＝﹣10，
∴当x＝65时，W取得最大值，最大值为2250，
答：当每件商品的售价为65元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为2250元．
38．（2019•绵阳）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元．
（1）求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？
（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到m关于乙种房价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【解析】设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x元、y元，
根据题意，得：15x+20y=850010x+10y=5000，
解得x=300y=200，
答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；
（2）设每天的定价增加了a个20元，则有2a个房间空闲，
根据题意有：m＝（20﹣2a）（200+20a﹣80）＝﹣40a2+160a+2400＝﹣40（a﹣2）2+2560，
∵﹣40＜0，
∴当a＝2时，m取得最大值，最大值为2560，此时房间的定价为200+2×20＝240元．
答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是2560元．
39．（2019•攀枝花）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/千克．根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．
销售量y（千克）
…
32.5
35
35.5
38
…
售价x（元/千克）
…
27.5
25
24.5
22
…
（1）某天这种芒果的售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量．
（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式，如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？
【分析】（1）用待定系数求出一次函数解析式，再代入自变量的值求得函数值；
（2）根据利润＝销量×（售价﹣成本），列出m与x的函数关系式，再由函数值求出自变量的值．
【解析】（1）设该一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），则
25k+b=3522k+b=38，
解得k=-1b=60，
∴y＝﹣x+60（15≤x≤40），
∴当x＝28时，y＝32，
答：芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克；

（2）由题易知m＝y（x﹣10）＝（﹣x+60）（x﹣10）＝﹣x2+70x﹣600，
当m＝400时，则﹣x2+70x﹣600＝400，
解得，x1＝20，x2＝50，
∵15≤x≤40，
∴x＝20，
答：这天芒果的售价为20元．
40．（2019•成都）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p=12x+12来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？

【分析】（1）根据函数图象上的两点坐标，用待定系数法求出函数的解析式便可；
（2）设销售收入为w万元，根据销售收入＝销售单价×销售数量和p=12x+12，列出w与x的函数关系式，再根据函数性质求得结果．
【解析】（1）设函数的解析式为：y＝kx+b（k≠0），由图象可得，
k+b=70005k+b=5000，
解得，k=-500b=7500，
∴y与x之间的关系式：y＝﹣500x+7500；

（2）设销售收入为w万元，根据题意得，
w＝yp＝（﹣500x+7500）（12x+12），
即w＝﹣250（x﹣7）2+16000，
∴当x＝7时，w有最大值为16000，
此时y＝﹣500×7+7500＝4000（元）
答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．
41．（2019•南充）在“我为祖国点赞“征文活动中，学校计划对获得一，二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．
（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？
（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？
【分析】（1）钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设钢笔的单价为a元，购买数量为b元，支付钢笔和笔记本的总金额w元，①当30≤b≤50时，求得w＝﹣0.1（b﹣35）2+722.5，于是得到700≤w≤722.5；②当50＜b≤60时，求得w＝8b+6（100﹣b）＝2b+600，700＜w≤720，于是得到当30≤b≤60时，w的最小值为700元，于是得到结论．
【解析】（1）钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，
根据题意得，2x+3y=384x+5y=70，
解得：x=10y=6，
答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；
（2）设钢笔的单价为a元，购买数量为b只，支付钢笔和笔记本的总金额w元，
①当30≤b≤50时，a＝10﹣0.1（b﹣30）＝﹣0.1b+13，w＝b（﹣0.1b+13）+6（100﹣b）＝﹣0.1b2+7b+600＝﹣0.1（b﹣35）2+722.5，
∵当b＝30时，w＝720，当b＝50时，w＝700，
∴当30≤b≤50时，700≤w≤722.5；
②当50＜b≤60时，a＝8，w＝8b+6（100﹣b）＝2b+600，700＜w≤720，
∴当30≤b≤60时，w的最小值为700元，
∴这次奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为700元．
42．（2018•阿坝州）某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低1元，其日销量可增加8件．设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元．
（1）求y与x之间的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）
（2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？
【分析】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式；
（2）根据（1）中的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．
【解析】（1）由题意得，商品每件降价x元时单价为（100﹣x）元，销售量为（128+8x）件，
则y＝（128+8x）（100﹣x﹣80）＝﹣8x2+32x+2560，
即y与x之间的函数解析式是y＝﹣8x2+32x+2560；
（2）∵y＝﹣8x2+32x+2560＝﹣8（x﹣2）2+2592，
∴当x＝2时，y取得最大值，此时y＝2592，
∴销售单价为：100﹣2＝98（元），
答：A商品销售单价为98元时，该商场每天通过A商品所获的利润最大．
43．（2018•凉山州）结合西昌市创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长80m，宽60m的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m，不大于44m，预计活动区造价60元/m2，绿化区造价50元/m2，设绿化区域较长直角边为xm．
（1）用含x的代数式表示出口的宽度；
（2）求工程总造价y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．
（4）业主委员会决定在（3）设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化，在实际施工中，每天比原计划多绿化11m2，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少m2．

【分析】（1）根据图形可得结论；
（2）根据面积×造价可得绿化区和活动区的费用，相加可得y与x的关系式，根据所有长度都是非负数列不等式组可得x的取值范围；
（3）业主委员会投资28.4万元，列不等式，结合二次函数的增减性可得结论；
（4）先计算设计的方案中，最省钱的一种方案为x＝22时，计算绿化面积，根据题意列分式方程可得结论，注意方程要检验．
【解析】（1）由题意可得，
出口的宽度为（80﹣2x）cm；
（2）由题意可得，BC＝EF＝80﹣2x，
∴AB＝CD=60-(80-2x)2=x﹣10，
y＝50×4×12x（x﹣10）+60×[60×80﹣4×12x（x﹣10）]＝﹣20x2+200x+288000，
∵36≤80﹣2x≤44，
∴18≤x≤22，
（3）﹣20x2+200x+288000≤284000，
x2﹣10x﹣200≥0，
设m＝x2﹣10x﹣200＝（x﹣5）2﹣225，
当m＝0时，x2﹣10x﹣200＝0，x＝20或﹣10，
∴当m≥0时，x≤﹣10或x≥20
由（2）知：18≤x≤22，
∴20≤x≤22，
所以业主委员会投资28.4万元，能完成全部工程，
所有工程方案如下：①较长直角边为20m，短直角边为10m，出口宽度为40m；
②较长直角边为21m，短直角边为11m，出口宽度为38m；
③较长直角边为22m，短直角边为12m，出口宽度为36m；
（4）y＝﹣20x2+200x+288000＝﹣20（x﹣5）2+288450，
在20≤x≤22中y随x的增大而减小，
∴当x＝22时，y有最小值，
绿化面积＝4×12×22×（22﹣10）＝528，
设原计划每天绿化xm2，则在实际施工中，每天绿化（x+11）m2，
则528x-528x+11=4，
解得：x＝33或﹣44（舍），
经检验x＝33是原方程的解，
答：原计划每天绿化33m2．

44．（2018•达州）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．
（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？
（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设进价为x元，则标价是1.5x元，根据关键语句：按标价九折销售该型号自行车8辆的利润是1.5x×0.9×8﹣8x，将标价直降100元销售7辆获利是（1.5x﹣100）×7﹣7x，根据利润相等可得方程1.5x×0.9×8﹣8x＝（1.5x﹣100）×7﹣7x，再解方程即可得到进价，进而得到标价；
（2）设该型号自行车降价a元，利润为w元，利用销售量×每辆自行车的利润＝总利润列出函数关系式，再利用配方法求最值即可．
【解析】（1）设进价为x元，则标价是1.5x元，由题意得：
1.5x×0.9×8﹣8x＝（1.5x﹣100）×7﹣7x，
解得：x＝1000，
1.5×1000＝1500（元），
答：进价为1000元，标价为1500元；
（2）设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意得：
w＝（51+a20×3）（1500﹣1000﹣a），
=-320（a﹣80）2+26460，
∵-320＜0，
∴当a＝80时，w最大＝26460，
答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元．
45．（2018•眉山）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
y=34x(0≤x≤6)20x+80(6＜x≤20)
（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润＝出厂价﹣成本）

【分析】（1）把y＝280代入y＝20x+80，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；
【解析】（1）设李明第x天生产的粽子数量为280只，
由题意可知：20x+80＝280，
解得x＝10．
答：第10天生产的粽子数量为280只．
（2）由图象得，当0≤x＜10时，p＝2；
当10≤x≤20时，设P＝kx+b，
把点（10，2），（20，3）代入得，10k+b=220k+b=3，
解得k=0.1b=1，
∴p＝0.1x+1，
①0≤x≤6时，w＝（4﹣2）×34x＝68x，当x＝6时，w最大＝408（元）；
②6＜x≤10时，w＝（4﹣2）×（20x+80）＝40x+160，
∵x是整数，
∴当x＝10时，w最大＝560（元）；
③10＜x≤20时，w＝（4﹣0.1x﹣1）×（20x+80）＝﹣2x2+52x+240，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x=-b2a=13时，w最大＝578（元）；
综上，当x＝13时，w有最大值，最大值为578．

46．（2017•阿坝州）某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
【分析】（1）如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件，可得销售量为100﹣2（x﹣60），销售量乘以利润即可得到等式[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）＝2250，解答即可；
（2）将（1）中的2250换成y即可解答．
【解析】（1）[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）＝2250，
解得：x1＝65，x2＝85．
（2）由题意：y＝[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）＝﹣2x2+300x﹣8800；
y＝﹣2（x﹣75）2+2450，当x＝75时，y有最大值为2450元．
47．（2017•随州）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
时间x（天）
1≤x＜9
9≤x＜15
x≥15
售价（元/斤）
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格

销量（斤）
80﹣3x
120﹣x
储存和损耗费用（元）
40+3x
3x2﹣64x+400
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
【分析】（1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；
（2）根据两个取值先计算：当1≤x＜9时和9≤x＜15时销售单价，由利润＝（售价﹣进价）×销量﹣费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比；
（3）设第15天在第14天的价格基础上可降a元，根据第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，列不等式可得结论．
【解析】（1）设该种水果每次降价的百分率是x，
10（1﹣x）2＝8.1，
x＝10%或x＝190%（舍去），
答：该种水果每次降价的百分率是10%；
（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）＝9，
∴y＝（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）＝﹣17.7x+352，
∵﹣17.7＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y有最大值，
y大＝﹣17.7×1+352＝334.3（元），
当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，
∴y＝（8.1﹣4.1）（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝﹣3x2+60x+80＝﹣3（x﹣10）2+380，
∵﹣3＜0，
∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，
当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，
∴当x＝10时，y有最大值，
y大＝380（元），
综上所述，y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式为：y=-17.7x+352(1≤x＜9)-3x2+60x+80(9≤x＜15)，
第10天时销售利润最大；
（3）设第15天在第14天的价格基础上可降a元，
由题意得：380﹣127.5≤（8.1﹣4.1﹣a）（120﹣15）﹣（3×152﹣64×15+400），
252.5≤105（4﹣a）﹣115，
a≤0.5，
答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．
48．（2017•达州）宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y=7.5x(0≤x≤4)5x+10(4＜x≤14)．
（1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？
（2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？

【分析】（1）根据y＝70求得x即可；
（2）先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可．
【解析】（1）根据题意，得：
∵若7.5x＝70，得：x=283＞4，不符合题意；
∴5x+10＝70，
解得：x＝12，
答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；

（2）由函数图象知，当0≤x≤4时，P＝40，
当4＜x≤14时，设P＝kx+b，
将（4，40）、（14，50）代入，得：4k+b=4014k+b=50，
解得：k=1b=36，
∴P＝x+36；
①当0≤x≤4时，W＝（60﹣40）•7.5x＝150x，
∵W随x的增大而增大，
∴当x＝4时，W最大＝600元；
②当4＜x≤14时，W＝（60﹣x﹣36）（5x+10）＝﹣5x2+110x+240＝﹣5（x﹣11）2+845，
∴当x＝11时，W最大＝845，
∵845＞600，
∴当x＝11时，W取得最大值，845元，
答：第11天时，利润最大，最大利润是845元．
49．（2017•成都）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：
地铁站
A
B
C
D
E
x（千米）
8
9
10
11.5
13
y1（分钟）
18
20
22
25
28
（1）求y1关于x的函数表达式；
（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2=12x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．
【分析】（1）根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y1关于x的函数表达式；
（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y＝y1+y2=12x2﹣9x+80，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．
【解析】（1）设y1＝kx+b，将（8，18），（9，20），代入得：
8k+b=189k+b=20，
解得：k=2b=2，
故y1关于x的函数表达式为：y1＝2x+2；

（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则
y＝y1+y2＝2x+2+12x2﹣11x+78=12x2﹣9x+80，
∴当x＝9时，y有最小值，ymin=4×12×80-924×12=39.5，
答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值最小值，在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
50．（2016•成都）某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．
（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；
（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？
【分析】（1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；
（2）根据题意列出函数解析式，利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可．
【解析】（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：y＝600﹣5x（0≤x＜120）；
（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，
则w＝（600﹣5x）（100+x）
＝﹣5x2+100x+60000
＝﹣5（x﹣10）2+60500，
∵a＝﹣5＜0，
∴w的最大值是60500，
则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．
一年模拟新题



1．（2020•仁寿县模拟）在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，下列说法中错误的是（　　）
A．图形顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴为直线x＝2
B．当x＜2时，y的值随x的增大而减小
C．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
D．图象与x轴的两个交点之间的距离为2
【分析】根据抛物线图象的性质和特点即可求解．
【解析】A．图形顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2，故A错误，符合题意；
B．抛物线开口向上，故当x＜2时，y的值随x的增大而减小，正确，不符合题意；
C．y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到y＝（x﹣2）2﹣1，故C正确，不符合题意；
D．令y＝（x﹣2）2﹣1＝0，解得：x＝1或3，故图象与x轴的两个交点之间的距离为2正确，不符合题意；
故选：A．
2．（2020•南充一模）已知函数y=-x2-2(x≤0)-x-1(x＞0)，则当函数值y＝﹣6时，自变量x的值是（　　）
A．±2 B．2或﹣5 C．2或5 D．﹣2或5
【分析】把y＝﹣6分别代入函数解析式，根据x的取值范围可得x的值．
【解析】由﹣x2﹣2＝﹣6，解得x＝±2，
∵x≤0，
∴x＝﹣2，
由﹣x﹣1＝﹣6，
解得：x＝5，
综上：x＝﹣2或5，
故选：D．
3．（2020•旌阳区模拟）已知y关于x的函数表达式是y＝ax2﹣4x﹣a，下列结论不正确的是（　　）
A．若a＝﹣1，函数的最大值是5
B．若a＝1，当x≥2时，y随x的增大而增大
C．无论a为何值时，函数图象一定经过点（1，﹣4）
D．无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点
【分析】根据二次函数的性质和题目中的函数解析式可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解析】∵y＝ax2﹣4x﹣a，
∴当a＝﹣1时，y＝﹣x2﹣4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，则当x＝2时，函数取得最大值，此时y＝5，故选项A不符合题意；
当a＝﹣1时，该函数图象开口向上，对称轴是直线x=--42a=2，则当x≥2时，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
由y＝ax2﹣4x﹣a＝a（x2﹣1）﹣4x知，x2﹣1＝0时，x＝±1，则y＝±4，即无论a为何值时，函数图象一定经过点（1，±4），故选项C不符合题意；
当a＝0，函数为y＝﹣4x，图象与x轴都只有1个交点，故选项D符合题意；
故选：D．
4．（2020•兴文县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
以下结论：
①二次函数y＝ax2+bx+c有最小值为﹣4；
②当x＜1时，y随x的增大而增大；
③二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点；
④当﹣1＜x＜3时，y＜0．
其中正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性和抛物线与x轴的交点的纵坐标为0对各小题分析判断即可得解．
【解析】由表格中的数据知，抛物线的对称轴是直线x=0+22=1，故顶点坐标是（1，﹣4），且抛物线的开口方向向上．
①由表可知，x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4，故正确；
②由表中的数据可知，所以x＜1时，y随x的值的增大而减小，故错误；
③根据抛物线的对称性质知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0），（3，0），故错误；
④由抛物线开口方向向上，与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0）知，当﹣1＜x＜3时，y＜0．故正确．
综上所述，正确结论的个数是2．
故选：B．
5．（2020•涪城区模拟）如图，抛物线y=12x2+72x+3与直线y=-12x-12交于A，B两点，点C为y轴上点，当△ABC周长最短时，周长的值为（　　）

A．73+53 B．73+35 C．43+35 D．43+53
【分析】求出点A、B坐标，依据轴对称的性质，求出点C的坐标，再根据勾股定理求出边长即可．
【解析】y=12x2+72x+3与 y=-12x-12联立解得：x1=-7y1=3，x2=-1y2=0，
∴A（﹣7，3），B（﹣1，0），
设点B关于y轴的对称点为D，则D（1，0），直线AD的关系式为y＝kx+b，
把A（﹣7，3），D（1，0）代入得：
-7k+b=3k+b=0，解得，k=-38，b=38，
∴直线AD的关系式为y=-38x+38，
当x＝0时，y=38，
∴点C（0，38），
由勾股定理得：AB=62+32=35，AD=82+32=73，
∴△ABC周长最小值＝AB+BC+AC＝AB+AD=73+35，
故选：B．

6．（2020•南充一模）对于二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列结论：
①其图象与x轴一定相交；
②若a＜0，函数在x＞1时，y随x的增大而减小；
③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；
④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】通过解方程ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1得二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1的图象与x轴的交点坐标为（1，0）、（a-1a，0），则可对①、④进行判断；抛物线的抛物线的对称轴方程为x＝1-12a＞1，则根据二次函数的性质可对②进行判断；先表示出抛物线顶点的横纵坐标，然后通过判断抛物线的顶点始终在直线y=12x-12上，从而可对③进行判断．
【解析】当y＝0，ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1，
解得x1＝1，x2=a-1a，
则二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1的图象与x轴的交点坐标为（1，0）、（a-1a，0），所以①、④正确；
当a＜0时，抛物线的对称轴x=2a-12a=1-12a＞1，
则函数在x＞1时，y先随x增大而增大，然后减小，
所以②错误；
该抛物线对称轴为x=1-12a，顶点的纵坐标为y=4a(a-1)-(2a-1)24a=-14a，
则y=12（1-12a）-12，即无论a取何值，抛物线的顶点始终在直线y=12x-12上，所以③正确．
故选：C．
7．（2020•路北区一模）如图，将函数y=12（x+3）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（﹣4，m），B（﹣1，n），平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（　　）

A．y=12（x+3）2﹣2 B．y=12（x+3）2+7
C．y=12（x+3）2﹣5 D．y=12（x+3）2+4
【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B于点C，则C（﹣1，112），AC＝4﹣1＝3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′＝3，然后根据平移规律即可求解．
【解析】∵函数y=12（x+3）2+1的图象过点A（﹣4，m），B（﹣1，n），

∴m=12（﹣4+3）2+1＝112，n=12（﹣1+3）2+1＝3，
∴A（﹣4，112），B（﹣1，3），
过A作AC∥x轴，交B′B于点C，则C（﹣1，112），
∴BC＝4﹣1＝3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴AC•AA′＝3AA′＝9，
∴AA′＝3，
即将函数y=12（x+3）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是y=12（x+3）2+4．
故选：D．
8．（2020•玉山县一模）“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（　　）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b
【分析】由m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根可得出二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），将y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象，画出两函数图象，观察函数图象即可得出a、b、m、n的大小关系．
【解析】∵m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，
∴二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），
∴将y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象，
二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）．
画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n．
故选：A．

9．（2020•旌阳区模拟）已知二次函数y＝mx2﹣3mx﹣4m（m≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C且∠ACB＝90°，则m的值为（　　）
A．±2 B．±4 C．±12 D．±14
【分析】首先求出点A、B、C的坐标，由已知条件易证△AOC∽△COB，再根据相似三角形的性质即可求出m的值．
【解析】
设y＝0，则＝mx2﹣3mx﹣4m＝0，
解得：m＝4或m＝﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴OA＝1，OB＝4，
设x＝0，则y＝﹣4m，
∴OC＝|﹣4m|，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠CAO＝∠BCO，
又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴AOOC=OCOB，
∴OC2＝OA•OB，
即16m2＝4，
解得：m＝±12，
故选：C．

10．（2020•新都区模拟）关于二次函数y＝x2﹣kx+k﹣1，以下结论：①抛物线交x轴有两个不同的交点；②不论k取何值，抛物线总是经过一个定点；③设抛物线交x轴于A、B两点，若AB＝1，则k＝4；④抛物线的顶点在y＝﹣（x﹣1）2图象上；⑤抛物线交y轴于C点，若△ABC是等腰三角形，则k=-2，0，1．其中正确的序号是（　　）
A．①②⑤ B．②③④ C．①④⑤ D．②④
【分析】令y＝x2﹣kx+k﹣1＝0，求出根的判别式即可判断①；当x＝1时，y＝0，抛物线总是经过一个定点（1，0），判断②正确；令k＝4时，求出AB的长，判断③；求出y＝x2﹣kx+k﹣1＝0顶点坐标，然后代入y＝﹣（x﹣1）2，进而作出判断；令k＝1，得到y＝x2﹣x，此时△ABC不是等腰三角形，据此作出判断．
【解析】令y＝x2﹣kx+k﹣1＝0，
△＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，
即抛物线交x轴有两个的交点，①错误；
当x＝1时，y＝1﹣k+k﹣1＝0，
即抛物线总是经过一个定点（1，0），②正确；
当k＝4时，y＝x2﹣4x+3，
令y＝x2﹣4x+3＝0，
解得x＝3或1，
则AB＝3﹣1＝2，③错误；
y＝x2﹣kx+k﹣1＝0顶点坐标为（k2，4k-k2-44），
当x=k2时，y＝﹣（x﹣1）2=-k2+4-4k4，
即抛物线的顶点在y＝﹣（x﹣1）2图象上，④正确；
当k＝1时，y＝x2﹣x，此时△ABC不是等腰三角形，⑤错误；
正确的有②④，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．（2020•成都模拟）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为“和谐点”，例如点（-12，-12），（5，5），（-3，-3），…都是“和谐点”．若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“和谐点”（32，32），当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c-34（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是　2≤m≤4　．
【分析】根据和谐点的概念令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，方程的根为-32a=32，从而求得a＝﹣1，c=-94，所以函数y＝ax2+4x+c-34=-x2+4x﹣3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．
【解析】令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，
由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，
又方程的根为-32a=32，
解得a＝﹣1，c=-94．
故函数y＝ax2+4x+c-34=-x2+4x﹣3，
如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．

由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，
∴2≤m≤4，
故答案为：2≤m≤4．
12．（2020•游仙区模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+12b+14c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，其中正确的有　2　个．

【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用对称轴方程得到b＝﹣2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；利用对称性可判断点B在（2，0）的右侧，则当x＝2时，4a+2b+c＞0，则可对②进行判断；利用C（0，c），OA＝OC得到A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入抛物线解析式可对③进行判断；利用抛物线的对称性得到B（2+c，0），则根据抛物线与x轴的交点问题可对④进行判断．
【解析】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵点A到直线x＝1的距离大于1，
∴点B到直线x＝1的距离大于1，
即点B在（2，0）的右侧，
∴当x＝2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0，
∴a+12b+14c＞0，所以②错误；
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
∴ac2﹣bc+c＝0，即ac﹣b+1＝0，所以③错误；
∵点A与点B关于直线x＝1对称，
∴B（2+c，0），
∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确．
故答案为2．
13．（2020•成都模拟）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是　c＜﹣2　．
【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由x1＜1＜x2知△＞0且x＝1时y＜0，据此得1-4c＞01+1+c＜0，解之可得．
【解析】由题意知二次函数y＝x2+2x+c的两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，
且x1＜1＜x2，
整理，得：x2+x+c＝0，
由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，
令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：

则1-4c＞01+1+c＜0，
解得c＜﹣2，
故答案为c＜﹣2．
14．（2020•成都模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a＞0），当t≤x≤t+1时，函数的最大值为M，最小值为m，记h＝M﹣m是关于t的函数，若函数h的图象经过点（0，1）和（12，1），且函数h的最小值等于函数y的最小值，则函数y的表达式为　y＝16x2﹣8x+1或y＝16x2﹣40x+25　．
【分析】先判断出当x＜-b2a时，y随x的增大而减少，当x＞-b2a时，y随x的增大而增大，再分当x＝t和x＝t+1都在对称轴的左侧，右侧，对称轴的两侧，确定出M，m的表达式，进而得出h＝M﹣m的函数关系式，再将点点（0，1）和（12，1）代入函数h中，求出a，b的值，最后利用函数h的最小值等于函数y的最小值，求出c，即可得出结论．
【解析】∵a＞0，
∴抛物线的开口方向向上，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴直线为x=-b2a，
∴当x＜-b2a时，y随x的增大而减少，
当x＞-b2a时，y随x的增大而增大，
①当t+1＜-b2a时，
当x＝t+1时，M＝y＝a（t+1）2+b（t+1）+c，
当x＝t时，m＝y＝at2+bt+c，
∴h＝M﹣m＝at2+bt+c﹣[a（t+1）2+b（t+1）+c]＝﹣2at﹣a﹣b，此函数是一次函数，
∵函数h的图象经过点（0，1）和（12，1），
∴此种情况不存在，

②当t＞-b2a时，同①的方法得，h＝2at+a+b，此函数是一次函数，
∵函数h的图象经过点（0，1）和（12，1），
∴此种情况不存在，

③当t≤-b2a≤t+1时，
Ⅰ、当t≤-b2a＜t+12时，M＝y＝at2+bt+c，m=4ac-b24a，
∴h＝M﹣n＝at2+bt+c-4ac-b24a=at2+bt+b24a=a（t+b2a）2，
∴函数h的最小值等于0，
∵函数h的最小值等于函数y的最小值，
∴函数y的最小值为0，即4ac-b24a=0，
∴b2＝4ac，
∵函数h的图象经过点（0，1）和（12，1），
∴b24a=114a+12b+b24a=1，
∴a=16b=-8，
将a＝16，b＝﹣8代入b2＝4ac中，64＝4×16c，
∴c＝1，
∴二次函数y的表达式为y＝16x2﹣8x+1，

Ⅱ、当t+12≤-b2a＜t+1时，M＝y＝a（t+1）2+b（t+1）+c，m=4ac-b24a，
∴h＝M﹣n＝a（t+1）2+b（t+1）+c-4ac-b24a=a（t+1）2+b（t+1）+b24a=a（t+1+b2a）2，
∴函数h的最小值等于0，
∵函数h的最小值等于函数y的最小值，
∴函数y的最小值为0，即4ac-b24a=0，
∴b2＝4ac，
∵函数h的图象经过点（0，1）和（12，1），
∴a+b+b24a=194a+32b+b24a=1，
∴a=16b=-40，
将a＝16，b＝﹣40代入b2＝4ac中，64＝4×16c，
∴c＝25，
∴二次函数y的表达式为y＝16x2﹣40x+25，
故答案为y＝16x2﹣8x+1或y＝16x2﹣40x+25．
15．（2020•成都模拟）在平面直角坐标系中，若点P（a，b）的坐标满足a＝b≠0，则称点P为“对等点”．已知二次函数y＝x2+mx﹣m的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为　1　．
【分析】设这两个“对等点”的坐标为（a．a）和（﹣a，﹣a），代入抛物线的解析式，两式相减，计算即可求得．
【解析】设这两个“对等点”的坐标为（a．a）和（﹣a，﹣a），
代入y＝x2+mx﹣m得a=a2+am-m①-a=a2-am-m②，
①﹣②得2a＝2am，
解得m＝1，
故答案为1．
16．（2020•南充模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：
①2a+b＝0；
②4a+2b+c＞0；
③对任意实数x，ax2+bx≥a+b；
④只有当a=12时，△ABD是等腰直角三角形；
⑤使△ABC为等腰三角形的a值可以有3个．
其中正确的结论有　①③④　．（填序号）

【分析】先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解析】①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴AB＝4，
∴对称轴x=-b2a=1，
即2a+b＝0；
故①正确，符合题意；

②由图象看，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，
故②错误，不符合题意；

③函数的对称轴为直线x＝1，函数在x＝1时，取得最小值，
故ax2+bx+c≥a+b+c，
即ax2+bx≥a+b正确，符合题意；

④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；
D到x轴的距离就是当x＝1时y的值的绝对值．
当x＝1时，y＝a+b+c，
即|a+b+c|＝2，
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＝﹣2，
又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴当x＝﹣1时y＝0，即a﹣b+c＝0；
当x＝3时，y＝0．
∴9a+3b+c＝0，
解这三个方程可得：b＝﹣1，a=12，c=-32，
故④正确，符合题意；

⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
当AB＝BC＝4时，
∵AO＝1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=-7，
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a=73；
同理当AB＝AC＝4时，
∵AO＝1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=-15，
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a=153；
同理当AC＝BC时
在△AOC中，AC2＝1+c2，
在△BOC中BC2＝c2+9，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件．
故⑤错误．
故答案为：①③④．
三．解答题（共24小题）
17．（2020•南充模拟）某商店经营一款新电动玩具，进货单价是30元．在1个月的试销阶段，售价是40元，销售量是400件．根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出10件．
（1）若商店在1个月获得了6000元销售利润，求这款玩具销售单价是定为多少元的，并考虑了顾客更容易接受．
（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于43元，且商店每月要完成不少于350件的销售任务，求商店销售这款玩具1个月能获得的最大利润．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元二次方程，再根据考虑顾客更容易接受的价格，即可得到这款玩具的销售单价；
（2）根据题意可以得到利润与销售单价的函数关系，再根据玩具生产厂家规定销售单价不低于43元，且商店每月要完成不少于350件的销售任务，可以得到单价的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得到商店销售这款玩具1个月能获得的最大利润．
【解析】（1）设销售单价为x元，
（x﹣30）[400﹣10（x﹣40）]＝6000，
解得，x1＝50，x2＝60，
∴销售单价定为50元时，顾客更容易接受；
（2）设利润为w元，单价为x元，
w＝（x﹣30）[400﹣10（x﹣40）]＝﹣10（x﹣55）2+6250，
∵玩具生产厂家规定销售单价不低于43元，且商店每月要完成不少于350件的销售任务，
∴x≥43400-10(x-40)≥350，
解得，43≤x≤45，
∵当x＜55时，w随x的增大而增大，
∴当x＝45时，w取得最大值，此时w＝5250，
答：商店销售这款玩具1个月能获得的最大利润是5250元．
18．（2020•武侯区校级模拟）某学具专卖店试销一种成本为60元/套的学具．规定试销期间销售单价不得低于成本单价，且获利不得高于成本价的20%，该专卖店每天的固定费用是100元．试销发现，每件销售单价相对成本提高x元（x为整数）与日平均销售量y件之间符合一次函数关系，且当x＝10时，y＝40；x＝25时，y＝10．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）该学具专卖店日平均获得毛利润为w元（毛利润＝利润﹣固定费用），求当销售单价为多少元时，日平均毛利润最大，最大日平均毛利润是多少元？
【分析】（1）设y与x之间的关系式为y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），由待定系数法求解即可；
（2）根据利润等于每套的利润乘以销售量可写出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质及销售单价的范围，可得日平均毛利润最大时的x值，并求得最大日平均利润，x值再加上成本即得销售单价．
【解析】（1）设y与x之间的关系式为y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），由题意得：
10k+b=4025k+b=10，
解得：k=-2b=60．
∴y与x之间的关系式为y＝﹣2x+60；
（2）由题意得：
w＝（﹣2x+60）x﹣100
＝﹣2x2+60x﹣100
＝﹣2（x﹣15）2+350．
∵二次项系数为﹣2＜0，对称轴为x＝15，
∴当x＜15时，w随x的增大而增大，
∵成本为60元/套，销售单价不得低于成本单价，且获利不得高于成本价的20%，
∴0≤x≤60×20%，即0≤x≤12，
∴当x＝12时，w最大＝﹣2（12﹣15）2+350＝332（元）．
∴销售单价为：60+12＝72（元）．
∴当销售单价为72元时，日平均毛利润最大，最大日平均毛利润是332元．
19．（2020•成都模拟）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策；提供16万元的无息创业贷款．小吴利用这笔贷款注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种畅销产品，并约定用该网店经营的利润逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4000元，该网店还需每月支付其他费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）求该网店每月利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（2）小吴自网店开业起，最快在第几个月可还清16万元的无息贷款？

【分析】（1）y（万件）与销售单价x是分段函数，根据待定系数法分别求直线AB和BC的解析式，又分两种情况，根据利润＝（售价﹣成本）×销售量﹣费用，得结论；
（2）分别计算两个利润的最大值，比较可得出利润的最大值，最后计算时间即可求解．
【解析】（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
代入A（4，4），B（6，2）得：4k+b=46k+b=2，解得：k=-1b=8，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+8，
同理代入B（6，2），C（8，1）可得直线BC的解析式为：y=-12x+5，
∵工资及其它费用为：0.4×5+1＝3万元，
∴当4≤x≤6时，w1＝（x﹣4）（﹣x+8）﹣3＝﹣x2+12x﹣35，
当6＜x≤8时，w2＝（x﹣4）（-12x+5）﹣3=-12x2+7x﹣23；

（2）当4≤x≤6时，
w1＝﹣x2+12x﹣35＝﹣（x﹣6）2+1，
∴当x＝6时，w1取最大值是1，
当6＜x≤8时，
w2=-12x2+7x﹣23=-12（x﹣7）2+32，
当x＝7时，w2取最大值是1.5，
∴161.5=323，
即最快在第11个月可还清10万元的无息贷款．
20．（2020•双流区模拟）某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每涨10元时，就会有5间客房空闲．如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出60元的各种费用．
（1）请写出该宾馆每天入住的客房数y（间）与每间客房涨价x（元）（x为10的倍数）满足的函数关系式；
（2）请求出该宾馆一天的最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？
【分析】（1）根据题意，可以写出该宾馆每天入住的客房数y（间）与每间客房涨价x（元）（x为10的倍数）满足的函数关系式；
（2）根据题意，设利润为w元，然后即可得到w与x的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可得到w的最大值，本题得以解决．
【解析】（1）由题意得
y＝90-x10×5 =-12x+90，
即该宾馆每天入住的客房数y（间）与每间客房涨价x（元）（x为10的倍数）满足的函数关系式是y=-12x+90；
（2）设每天利润为w元，得
w＝（-12x+90 ）（140+x﹣60）=-12x2+50x+7200=-12（x﹣50）2+8450，
∴当x＝50时，w取得最大值8450，此时，每间房的定价为190元，
答：该宾馆一天的最大利润为8450元，此时客房的定价为每间190元．
21．（2020•都江堰市模拟）如图所示，用一根长度为18米的原材料制作一个矩形窗户边框（即矩形ABFE和矩形DCFE），原材料刚好全部用完，设窗户边框AB长度为x米，窗户总面积为S平方米（注：窗户边框粗细忽略不计）．
（1）求S与x之间的函数关系式；
（2）若窗户边框AB的长度不少于2米，且边框AB的长度小于BC的长度，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．

【分析】（1）根据题意和图形可以求得S与x的函数表达式；
（2）根据题意可以得到关于x的不等式，然后根据（1）中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题．
【解析】（1）由题意可得，
S＝x•18-3x2=-32x2+9x，
即S与x的函数表达式是S=-32x2+9x；
（2）由题意可得，
2≤x＜18-3x2，
解得，2≤x＜3.6，
∵S=-32x2+9x，2≤x＜3.6，
∴当x＝3时，S取得最大值，此时S=272，
当x＝2时，S取得最小值，此时S＝12，
答：窗户总面积S的最大值是272m2、最小值是12m2．
22．（2020•南充模拟）一家商店经营一种玩具，进价为每件50元，调查市场发现日销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，相关数据如表，商店每天的总支出是600元．
售价（元/件）
50
55
60
65
日销售量y/件
80
70
60
50
（1）直接写出y与x之间的函数关系式．（不要求写出自变量x的取值范围．）
（2）商店在“五一”这天尽可能优惠顾客，正好收支平衡（收入＝支出），问当天玩具的售价为多少元/件．
（3）商店最早需要多少天，纯利可以突破万元，玩具的售价应定为多少元/件？（每天纯利＝每天的销售额﹣成本﹣每天的支出）
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，把（50，80）和（60，60）代入即可得到结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）设每天纯利为W，由题意得，W＝（x﹣50）（﹣2x+180）﹣600＝﹣2（x﹣70）2+200，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
把（50，80）和（60，60）代入上式得，50k+b=8060k+b=60，
解得：k=-2b=180，
∴y与x之间的函数关系式为：y﹣2x+180；
（2）根据题意得，（x﹣50）（﹣2x+180）＝600，
解得：x1＝60，x2＝80，
∵尽可能优惠顾客，
∴x＝60，
答：当天玩具的售价为60元/件；
（3）设每天纯利为W，
由题意得，W＝（x﹣50）（﹣2x+180）﹣600＝﹣2（x﹣70）2+200，
即每件玩具的售价应定为70元时，商店每天的纯利最大，最大纯利为200元，
∵10000÷200＝50，
∴商店最早需要50天，纯利可以突破万元，玩具的售价应定为70元/件．
23．（2020•成都模拟）成都市某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为16元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y（万个）与销售单价x（元/个）之间关系是一次函数的关系，部分数据如下：
销售单价x（元/个）
…
20
25
30
35
…
每月销售量y（万个）
…
60
50
40
30
…
（1）求y与x之间的函数关系；
（2）该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（一件产品的利润率不得高于50%）请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润．
【分析】（1）由题意用待定系数法可求；
（2）根据利润＝销售量×（销售单价﹣成本）列式得出二次函数解析式，再根据产品利润率不高于50%且成本为16元，得出销售单价的范围，结合二次函数得出最大值．
【解析】（1）设每月销售量y（万个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式为：y＝kx+b．
把（20，60），（30，40）代入，
得20k+b=6030k+b=40，解得k=-2b=100，
∴y与x之间的函数关系为：y＝﹣2x+100；

（2）∵每个生产成本为16元，一件产品的利润率不得高于50%，
∴x≤（1+50%）×16＝24，
设该公司获得的利润为w万元，
则w＝y（x﹣16）
＝（﹣2x+100）（x﹣16）
＝﹣2x2+132x﹣1600
＝﹣2（x﹣33）2+578，
∵图象开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，
∴当x＝24时，w最大，最大值为416万元．
答：公司销售单价定为24元时可获利最大，最大利润为每月416万元．
24．（2020•成都模拟）某网店专售一品牌牙膏，其成本为22元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）该品牌牙膏销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）在武汉爆发“新型冠状病毒”疫情期间，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出100元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余的利润不低于350元，在抗“新型冠状病毒”疫情期间，市场监督管理局加大了对线上、线下商品销售的执法力度，对商品售价超过成本价的20%的商家进行处罚，请你给该网店店主提供一个合理化的销售单价范围．

【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）设每天的利润为W元，根据“总利润＝每支利润×每天销售量”得出函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得；
（3）根据题意列出方程﹣10x2+620x﹣8800﹣100＝350，解之求出x的值，再根据二次函数的性质得出25≤x≤37，结合x≤22×（1+20%）可得答案．
【解析】（1）根据题意设y＝kx+b（k≠0），
将（30，100）、（35，50）代入得30k+b=10035k+b=50，
解得k=-10b=400，
∴y与x之间的关系式为y＝﹣10x+400；

（2）设每天的利润为W元，
则W＝（x﹣22）y
＝（x﹣22）（﹣10x+400）
＝﹣10x2+620x﹣8800
＝﹣10（x﹣31）2+810，
∴销售单价定为31元时，每天最大利润为810元．

（3）﹣10x2+620x﹣8800﹣100＝350，
解得x＝25或x＝37，
结合图象和二次函数的特点得出25≤x≤37，
又x≤22×（1+20%），
综上可得25≤x≤26.4，
∴按要求网店店主的销售单价范围为大于或等于25元且小于或等于26.4元．
25．（2020•南充一模）受非洲猪瘟影响，2019年肉价大幅上涨．某养殖场与2018年相比，生猪出栏数减少500头．平均每头出栏价是2018年的2倍，销售总额比2018年增加60%．
（1）若养殖场2018年生猪销售额为500万元，求2019年平均每头生猪的出栏价格．
（2）一猪肉专营店在5月份经营中，售价为40元/kg，1天可卖400kg．6月份每千克上涨2元，则1天少卖40kg．受产业链影响继续涨价，销量继续递减．若猪肉的成本折算为36元/kg，专营店平均每天规划毛利约500元，求这家专营店1天为养殖场赚的最大毛利．
【分析】（1）设2018年平均每头生猪的出栏价格为x元，根据2019年生猪出栏数与2018年相比减少500头，列出关于x的分式方程，解得x的值，检验，然后乘以2倍即可．
（2）设涨价a元/千克，每天的总利润为W元，根据每斤的毛利乘以实际每天卖出的千克数量等于每天的总利润，列出关于a的二次函数，写成顶点式，则根据二次函数的性质可得a取何值时函数取得最大值，再减去500即可得答案．
【解析】（1）500万元＝5000000元，
设2018年平均每头生猪的出栏价格为x元，由题意得：
5000000x=5000000(1+60%)2x+500，
∴10000x=8000x+1，
∴2000x=1，
∴x＝2000，
经检验，x＝2000符合题意，
∴2x＝4000，
∴2019年平均每头生猪的出栏价格为4000元．
（2）设涨价a元/千克，每天的总利润为W元，则有：
W＝（40+a﹣36）（400﹣40×a2）
＝﹣20（a+4）（a﹣20）
＝﹣20（a2﹣16a﹣80）
＝﹣20（a﹣8）2+2880．
∴当a＝8时，W最大＝2880．
2880﹣500＝2380（元）．
∴这家专营店1天为养殖场赚的最大毛利为2380元．
26．（2020•成都模拟）一名大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，在成都市高新区租用了一个门店，聘请了两名员工，计划销售一种产品．已知该产品成本价是20元/件，其销售价不低于成本价，且不高于30元/件，员工每人每天的工资为200元．经过市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求每件产品销售价为多少元时，每天门店的纯利润最大？最大纯利润是多少？
（纯利润＝销售收入﹣产品成本﹣员工工资）

【分析】（1）利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据纯利润＝销售收入﹣产品成本﹣员工工资列出二次函数解析式，根据二次函数的性质解答即可．
【解析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
把（21，290）、（29，210）代入，
得21k+b=29029k+b=210，
解得，k=-10b=500，
则y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+500（20≤x≤30）；
（2）每天门店的纯利润W＝（﹣10x+500）（x﹣20）﹣400
＝﹣10x2+700x﹣10400
＝﹣10（x﹣35）2+1850，
∵20≤x≤30，
∴当x＝30时，每天门店的纯利润W最大，最大为1600元．
27．（2020•金牛区模拟）某微商销售的某商品每袋成本20元，设销售价格为x（单位：元/袋），该微商发现销售量y与销售价格x之间的关系如表：
销售价格x（元/袋）
25
30
35
40
销售件数y
275
250
225
200
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据物价部门的规定，商品的利润率不能超过100%，该微商应该如何定价，才能使获得的利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）设y关于x的函数表达式为：y＝kx+b，把（30，250）和（40，200）代入解方程组即可得到结论；
（2）设销售利润为w元，根据题意得到w＝（x﹣20）（﹣5x+400）＝﹣5x2+500x﹣8000，根据二次函数的对称轴为x＝50，商品的利润率不能超过100%，得到20≤x≤40时，y随x的增大而增大，于是得到结论．
【解析】（1）有表中数据可知，y是x的一次函数，
设y关于x的函数表达式为：y＝kx+b，
把（30，250）和（40，200）代入得，250=30k+b200=40k+b，
解得：k=-5b=400，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣5x+400；
（2）设销售利润为w元，
根据题意得，w＝（x﹣20）（﹣5x+400）＝﹣5x2+500x﹣8000，
∵二次函数的对称轴为x＝50，商品的利润率不能超过100%，
∴20≤x≤40时，y随x的增大而增大，
∴当x＝40时，获得的利润最大，最大利润是4000元．
28．（2020•武侯区校级模拟）某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x天的成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续60天均以80元/件的价格出售，第x天该产品的销售量z（件）与x（天）满足关系式z＝x+15．
（1）第25天，该商家的成本是　35　元，获得的利润是　1800　元；
（2）设第x天该商家出售该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式；
②求出第几天的利润最大，最大利润是多少？

【分析】（1）根据已知条件得产量z的值，由待定系数法求出直线BC的解析式，再将x＝25代入函数关系式可得第25天的成本，用一件的利润乘以件数即得获得的利润．
（2）①分两种情况，利用每件利润×总销量＝总利润求得函数解析式：当0≤x≤20时当20＜x≤60时；②利用一次函数和二次函数的性质分别求出相应范围内的利润最大值，再两者取较大者即可．
【解析】（1）由图象可知，此时的产量为z＝25+15＝40（件），
设直线BC的关系为y＝kx+b，
∴20k+b=3060k+b=70，
∴k=1b=10，
∴y＝x+10，
故第25天，该商家的成本是：25+10＝35（元）
则第25天的利润为：（80﹣35）×40＝1800（元）；
故答案为：35，1800；
（2）①当0≤x≤20时，w＝（80﹣30）（x+15）＝50x+750，
当20＜x≤60时，w＝[80﹣（x+10）]（x+15）＝﹣x2+55x+1050
∴w=50x+750(0≤x≤20)-x2+55x+1050(20＜x≤60)．
②当0≤x≤20时
w＝（80﹣30）（x+15）＝50x+750，
当x＝20时，w最大＝1750元；
当20＜x≤60时，
w＝﹣x2+55x+1050
∵﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=552
∴当x＝27或x＝28时，w＝﹣272+55×27+1050＝1806（元）
∵1806＞1750
∴第27天或28天的利润最大，最大为1806元．
29．（2020•成都模拟）某商店购进一批单价为8元的商品，经调研发现，这种商品每天的销售量y（件）是关于销售单价x（元）的一次函数，其关系如表：
x（元）
10
11
12
13
14
y（件）
100
90
80
70
60
（1）求y与x之间的关系式；
（2）设商店每天销售利润为w（元），求出w与x之间的关系式，并求出每天销售单价定为多少时利润最大？
【分析】（1）根据表格利用待定系数法确定函数解析式即可；
（2）根据利润＝数量×每件的利润建立w与x的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
【解析】（1）设y与x的一次函数是y＝kx+b，
由表得：10k+b=10011k+b=90，
解得：k＝﹣10，b＝200，
∴y与x的一次函数是y＝﹣10x+200；

（2）根据题意得：w＝（x﹣8）（﹣10x+200）＝﹣10（x﹣14）2+360，
∴w是关于x的二次函数，且二次项系数为﹣10＜0，
∴当x＝14时，w去掉最大值360，
∴当每天销售单价定为14元时利润最大．
30．（2020•成都模拟）为建设天府新区“公园城市”，实现城市生活垃圾减量化、资源化、无害化的目标．近日，成都市天府新区计划在各社区试点实施生活垃圾分类处理活动，取得市民积极响应．某创业公司发现这一商机，研发生产了一种新型家庭垃圾分类桶，并投入市场试营销售．已知该新型垃圾桶成本为每个40元，市场调查发现，该垃圾桶每件售价y（元）与每天的销售量为x（个）的关系如图．为推广新产品及考虑每件利润因素，公司计划每天的销售量不低于1000件且不高于2000件．
（1）求每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（个）的函数关系式；
（2）设该公司日销售利润为W（元），求每天的最大销售利润是多少元？

【分析】（1）设y与x的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），将函数图象上的两个点的坐标代入列出方程组，进行解答便可；
（2）根据“利润＝（售价﹣进价）×销售量“列出函数解析式，然后根据二次函数的性质，求出其最大值．
【解析】（1）设y与x的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），
∵函数图象过点（1500，55）和（2000，50），
∴1500k+b=552000k+b=50，
∴k=-0.01b=70，
∴y与x的函数解析式为：y＝﹣0.01x+70；

（2）由题意得，
w＝（y﹣40）x＝（﹣0.01x+70﹣40）x＝﹣0.01x2+30x，
即w＝﹣0.01x2+30x，
∵﹣0.01＜0，
∴当x=-302×(-0.01)=1500时，w最大值=-0.01×15002+30×1500=22500，
∵1000≤x≤2000，
∴当每天销售1500件时，利润最大为22500元．
∴每天的最大销售利润是22500元．
31．（2020•龙泉驿区模拟）随着城市化建设的发展，交通拥堵成为上班高峰时难以避免的现象．为了解龙泉驿某条道路交通拥堵情况，龙泉某中学同学经实地统计分析，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆千米）的一次函数．当该道路的车流密度达到220辆/千米时造成堵塞，此时车流速度为0千米小时；当车流密度为95辆千米时，车流速度为50千米/小时．
（1）当20≤x≤220时，求车流速度v（千米/小时）与车流密度x（辆/千米）的函数关系式；
（2）为使该道路上车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制该道路上的车流密度在什么范围内？
（3）车流量（辆小时）是单位时间内通过该道路上某观测点的车辆数即：车流量＝车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求该道路上车流量y的最大值．此时车流速度为多少？
【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；
（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；
（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当20≤x≤220时表示出函数关系，由函数的性质就可以求出结论．
【解析】（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得
95k+b=50220k+b=0，
解得：k=-25b=88，
∴当20≤x≤220时，v=-25x+88；
（2）由题意，得
-25x+88＞40-25x+88＜60，
解得：70＜x＜120，
∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；
（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当20≤x≤220时，
y＝（-25x+88）x=-25（x﹣110）2+4840，
∴当x＝110时，y最大＝4840，
此时v=-25×110+88＝44km/h，
∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆，此时v＝44km/h．
32．（2020•青白江区模拟）某服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每降价0.1元，多经销500件．服装厂决定批发价在不低于11.4元的前提下，将批发价下降0.1x元．
（1）求销售量y与x的关系，并求出x的取值范围；
（2）不考虑其他因素，请问厂家批发单价是多少时所获利润W可以最大？最大利润为多少？
【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；
（2）设降价0.1x元，利润为W元，根据题意得到函数解析式，然后分别配方，再利用二次函数的性质解决问题．
【解析】（1）由题意得，y＝5000+500x（10≤x≤11.4）；
（2）设降价0.1x元，利润为W元，
W＝（13﹣10﹣0.1x）（5000+500•x）
＝﹣50（x﹣10）2+20000，
∵a＝﹣50＜0，
∴x＝10时，W有最大值，
即厂家批发的单价为（13﹣0.1x）＝12元时利润最大，最大利润为20000．
33．（2020•锦江区模拟）非洲猪瘟疫情发生以来，猪肉市场供应阶段性偏紧和猪价大幅波动时有发生．为稳定生猪生产，促进转型升级，增强猪肉供应保障能力，国务院办公厅于2019年9月印发了《关于稳定生猪生产促进转型升级的意见》．某生猪饲养场积极响应国家号召，努力提高生产经营管理水平，稳步扩大养殖规模，增加猪肉供应量．该饲养场2019年每月生猪产量y（吨）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间的函数关系如图所示．
（1）请直接写出当0＜x≤4（x为整数）和4＜x≤12（x为整数）时，y与x的函数关系式；
（2）若该饲养场生猪利润p（万元/吨）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）满足关系式：p=-120x+32．请问：该饲养场哪个月的利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）当0＜x≤4（x为整数）时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）根据一次函数和二次函数的性质即可得到结论．
【解析】（1）当0＜x≤4（x为整数）时，y与x的函数关系式为：y＝140，（0＜x≤4）（x为整数）；
当4＜x≤12（x为整数）时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，
∴4k+b=14012k+b=220，
解得：k=10b=100，
∴y与x的函数关系式为：y=140(0＜x≤4)(x为整数)10x+100(4＜x≤12)(x为整数)；
（2）设该饲养场每月的利润为w，
∵利润p（万元/吨）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）满足关系式：p=-120x+32，
∴当0＜x≤4，w＝140×（-120x+32）＝﹣7x+200，
∵k＜0，w随x的增大而减小，
∴当x取最小值时，w最大＝203万元，
当4＜x≤12时，w＝py＝（-120x+32）（10x+100）=-12（x﹣10）2+210，
∴当x＝10时，w最大＝210，
∴当x＝1时，w最大＝203万元，
答：该饲养场10月的利润最大，最大利润是210万元．
34．（2020•都江堰市模拟）绿色植物销售公司打算销售某品种的“赏叶植物”，在针对这种“赏叶植物”进行市场调查后，绘制了以下两张函数图象．其中图象①为一条直线，图象②为一条抛物线，且抛物线顶点为（6，1），请根据图象解答下列问题：

（1）如果公司在3月份销售这种“赏叶植物”，单株获利多少元；
（2）请直接写出图象①中直线的解析式；
（3）请你求出公司在哪个月销售这种“赏叶植物”，单株获利最大？（备注：单株获利＝单株售价﹣单株成本）
【分析】（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5﹣4＝1（元），即可求解；
（2）点（3，5）、（6，3）为一次函数上的点，求得直线的表达式为：y1=-23x+7；
（3）求得y2的解析式后计算y1﹣y2的值，配方可得结论．
【解析】（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5﹣4＝1（元），
故答案为：1；
（2）设直线的表达式为：y1＝kx+b（k≠0），
把点（3，5）、（6，3）代入上式得：
3k+b=56k+b=3，解得：k=-23b=7，
∴直线的表达式为：y1=-23x+7；

（3）设：抛物线的表达式为：y2＝a（x﹣m）2+n，
∵顶点为（6，1），则函数表达式为：y2＝a（x﹣6）2+1，
把点（3，4）代入上式得：
4＝a（3﹣6）2+1，解得：a=13，
则抛物线的表达式为：y2=13（x﹣6）2+1，
故答案为：y1=-23x+7；y2=13（x﹣6）2+1，
（3）y1﹣y2=-23x+7-13（x﹣6）2﹣1=-13（x﹣5）2+73，
∵a=-13＜0，
∴x＝5时，函数取得最大值，
故：5月销售这种植物，单株获利最大．
35．（2020•青羊区模拟）某厂按用户需求生产一种产品，成本每件20万元，规定每件售价不低于成本，且不高于40万元．经市场调查，每年的销售量y（件）与每件售价x（万元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（万元/件）
25
30
35
销售量y（件）
50
40
30
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每年的总利润为W（万元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少万元时获得最大利涧，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意可以写出W与x之间的函数表达式；
（3）根据（2）中的函数解析式，将其化为顶点式，然后根据成本每件20万元，规定每件售价不低于成本，且不高于40万元，即可得到利润W随售价x的变化而变化的情况，以及售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少．
【解析】（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
25k+b=5030k+b=40，
解得，k=-2b=100
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣2x+100；
（2）由题意可得，
W＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000，
即W与x之间的函数表达式是W＝﹣2x2+140x﹣2000；
（3）∵W＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，20≤x≤40，
∴当20≤x≤35时，W随x的增大而增大，当35≤x≤40时，W随x的增大而减小，
当x＝35时，W取得最大值，此时W＝450，
答：当20≤x≤35时，W随x的增大而增大，当35≤x≤40时，W随x的增大而减小，售价为35万元时获得最大利润，最大利润是450万元．
36．（2020•涪城区模拟）生产商对在甲、乙两地生产并销售的某产品进行研究后发现如下规律：每年年产量为x（吨）时所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y=110x2+5x+90，投人市场后当年能全部售10出，且在甲、乙两地每吨的售价P甲P乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额﹣全部费用）
（1）当在甲地生产并销售x吨时，满足P甲=-120x+14，求在甲地生成并销售20吨时利润为多少万元；
（2）当在乙地生产并销售x吨时，P乙=-110x+15，求在乙地当年的最大年利润应为多少万元？
【分析】（1）依据年利润＝年销售额﹣全部费用即可求得利润W甲（万元）与x之间的函数关系式后代入x＝20即可求解；
（2）求出利润W乙（万元）与x之间的函数关系式，求得二次函数的最值即可；
【解析】（1）甲地当年的年销售额为（-120x+14）•x＝（-120x2+14x）万元；
w甲＝（-120x2+14x）﹣（110x2+5x+90）=-320x2+9x﹣90．
当x＝20时，w甲=-320×202+9×20﹣90＝30，
所以在甲地生成并销售20吨时利润为30万元；

（2）在乙地区生产并销售时，
年利润：
w乙=-110x2+15x﹣（110x2+5x+90）
=-15x2+10x﹣90=-15（x﹣25）2+35．
∴当x＝25时，w乙有最大值35万元，
∴在乙地当年的最大年利润应为35万元．
37．（2020•北仑区模拟）为满足市场需求，某超市在中秋节来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元，根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试写出每天的销售利润P（元）与每盒涨价x（元）之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当每盒涨价为多少元时，每天的销售利润P最大？最大利润是多少？
（3）如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，求x的取值范围．
【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售利润P（元）与每盒涨价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润＝1盒月饼所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，每天销售月饼的利润不低于6000元，求出x的取值范围．
【解析】（1）由题意得，p＝（45+x﹣40）（700﹣20x）＝﹣20x2+600x+3500（0≤x≤35）；

（2）p＝（45+x﹣40）（700﹣20x）＝﹣20x2+600x+3500＝﹣20（x﹣15）2+8000，
∵x≥0，a＝﹣20＜0，
∴当x＝15时，P最大值＝8000元，
即当每盒售价涨价15元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；

（3）由题意，得﹣20（x﹣15）2+8000＝6000，
解得x1＝5，x2＝25．
∵抛物线P＝﹣20（x﹣15）2+8000的开口向下，
∴当5≤x≤25时，每天销售月饼的利润不低于6000元的利润．
38．（2020•泸县模拟）某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；
（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值．

【分析】（1）由总长度﹣垂直于墙的两边的长度＝平行于墙的这边的长度，根据墙的长度就可以求出x的取值范围；
（2）由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可．
【解析】（1）y＝30﹣2x，（6≤x＜15）；

（2）设矩形苗圃的面积为S
S＝xy＝x（30﹣2x）＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
由（1）知，6≤x＜15，
∴当x＝7.5时，S有最大值112.5
即当垂直于墙的一边的长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5．
39．（2020•成都模拟）某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？
（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？
【分析】（1）直接根据题意售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件，进而得出等量关系；
（2）利用每件利润×销量＝总利润，进而利用配方法求出即可；
（3）利用函数图象结合一元二次方程的解法得出符合题意的答案．
【解析】（1）由题意可得：y=300-10x(0≤x≤30)300-20x(-20≤x＜0)；

（2）由题意可得：w=(20+x)(300-10x)(0≤x≤30)(20+x)(300-20x)(-20≤x＜0)，
化简得：w=-10x2+100x+6000(0≤x≤30)-20x2-100x+6000(-20≤x＜0)，
即w=-10(x-5)2+6250(0≤x≤30)-20(x+52)2+6125(-20≤x＜0)，
由题意可知x应取整数，故当x＝﹣2或x＝﹣3时，w＜6125，
x＝5时，W＝6250，
故当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；

（3）由题意w≥6000，如图，

令w＝6000，
将w＝6000代入﹣20≤x＜0时对应的抛物线方程，即6000＝﹣20（x+52）2+6125，
解得：x1＝﹣5，
将w＝6000代入0≤x≤30时对应的抛物线方程，即6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，
解得x2＝0，x3＝10，
综上可得，﹣5≤x≤10，
故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．
40．（2020•成都模拟）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；
（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；
（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．
【解析】（1）由题意，得：w＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）•（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000，即w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）

（2）对于函数w＝﹣10x2+700x﹣10000的图象的对称轴是直线x=-7002×(-10)=35．
又∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下．
∴当20≤x≤32时，W随着x的增大而增大，
∴当x＝32时，W＝2160
答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．

（3）取W＝2000得，﹣10x2+700x﹣10000＝2000
解这个方程得：x1＝30，x2＝40．
∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下．
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵20≤x≤32
∴当30≤x≤32时，w≥2000．
设每月的成本为P（元），由题意，得：P＝20（﹣10x+500）＝﹣200x+10000
∵k＝﹣200＜0，
∴P随x的增大而减小．
∴当x＝32时，P的值最小，P最小值＝3600．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．