初中数学人教版九年级上册21.2.3 因式分解法优质导学案及答案

这是一份初中数学人教版九年级上册21.2.3 因式分解法优质导学案及答案，共6页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，答案与解析，总结升华，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

—知识讲解（基础）


【学习目标】


1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；


2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；


3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．


【要点梳理】


要点一、公式法解一元二次方程


1.一元二次方程的求根公式


一元二次方程，当时，.


2.一元二次方程根的判别式


一元二次方程根的判别式：．


①当时，原方程有两个不等的实数根；


②当时，原方程有两个相等的实数根；


③当时，原方程没有实数根.


3.用公式法解一元二次方程的步骤


用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：


①把一元二次方程化为一般形式；


②确定a、b、c的值（要注意符号）；


③求出的值；


④若，则利用公式求出原方程的解；


若，则原方程无实根.


要点诠释：


（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.


（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.


①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.


② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.


③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.


要点二、因式分解法解一元二次方程


1.用因式分解法解一元二次方程的步骤


（1）将方程右边化为0；


（2）将方程左边分解为两个一次式的积；


（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；


（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.


2.常用的因式分解法


提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.


要点诠释：


（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次


因式的积；


（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；


（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.


【典型例题】


类型一、公式法解一元二次方程


1.用公式法解下列方程．


(1) x2+3x+1=0； (2)； (3)2x2+3x-1=0．


【答案与解析】


(1) a=1，b=3，c=1


∴x==．


∴x1=，x2=．


(2)原方程化为一般形式，得．


∵，，，


∴．


∴，即，．


(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1


∴b2﹣4ac=17＞0


∴x=


∴x1=，x2=．


【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．


举一反三：


【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x2﹣3x﹣2=0．


【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；


∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；


∴x=


=，


∴x1=，x2=．


2．用公式法解下列方程：


(1) （2014•武汉模拟）2x2+x=2； (2) （2014秋•开县期末）3x2﹣6x﹣2=0 ；


（3）（2015•黄陂区校级模拟）x2﹣3x﹣7=0．


【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.


【答案与解析】


解：(1)∵2x2+x﹣2=0，


∴a=2，b=1，c=﹣2，


∴x===，


∴x1=，x2=．


(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，


∴b2﹣4ac=36+24=60＞0，


∴x=，


∴x1=，x2=


（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．


∴b2﹣4ac=9+28=37.


x= = ，


解得 x1=，x2=．


【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．


举一反三：【变式】用公式法解下列方程： ；


【答案】解：移项，得．


∵ ，，，，


∴ ，


∴ ，．


类型二、因式分解法解一元二次方程


3．（2016•沈阳）一元二次方程x2﹣4x=12的根是（ ）


A．x1=2，x2=﹣6B．x1=﹣2，x2=6C．x1=﹣2，x2=﹣6D．x1=2，x2=6


【思路点拨】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．


【答案】B


【解析】


解：方程整理得：x2﹣4x﹣12=0，


分解因式得：（x+2）（x﹣6）=0，


解得：x1=﹣2，x2=6，故选B


【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．


4．解下列一元二次方程：


(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)．


【答案与解析】


(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，


(2x+1+2)2＝0．


即，


∴ ．


(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，


即(x-1)(x+2)＝0，


所以，．


【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x＝1这个根．


举一反三：


【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）


【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0


(x+6)(x+5)=0


X1=-6,x2=-5.


(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0


(2x+1)(3x-2)=0


.


5．探究下表中的奥秘，并完成填空：


将你发现的结论一般化，并写出来．


【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．


【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x2+13x+3=4（x+）（x+3）．


发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2，则


ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．


【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法． 一元二次方程
两个根
二次三项式因式分解
x2﹣2x+1=0
x1=1，x2=1
x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1）
x2﹣3x+2=0
x1=1，x2=2
x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）
3x2+x﹣2=0
x1=，x2=﹣1
3x2+x﹣2=3（x﹣）（x+1）
2x2+5x+2=0
x1=﹣，x2=﹣2
2x2+5x+2=2（x+）（x+2）
4x2+13x+3=0
x1= ，x2=
4x2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）