2020版数学（理）人教A版新设计大一轮讲义：第十章第4节随机事件与概率

第4节　随机事件与概率
考试要求　1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系；2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算；3.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则；4.会用频率估计概率.

知 识 梳 理
1.样本点和样本空间
随机试验的每一个可能的结果称为样本点，记作ω；随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，记作Ω.
2.概率与频率
(1)频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率.
(2)概率：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
3.事件的关系与运算


定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A＝B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅
P(A∪B)＝1
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
[微点提醒]
1.任一随机事件A都是样本空间Ω的一个子集，称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素.
2.从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
3.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.(　　)
(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.(　　)
(3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.(　　)
(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2.(必修3P123A3改编)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10，40)的频率为(　　)
A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65
解析　由表知[10，40)的频数为2＋3＋4＝9，
所以样本数据落在区间[10，40)的频率为＝0.45.
答案　B
3.(必修3P121T5改编)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(　　)
A.是互斥事件，不是对立事件
B.是对立事件，不是互斥事件
C.既是互斥事件，也是对立事件
D.既不是互斥事件也不是对立事件
解析　“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件.
答案　C

4.(2019·北京十八中月考)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是(　　)
A.必然事件 B.随机事件
C.不可能事件 D.无法确定
解析　抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件.
答案　B
5.(2018·全国Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
解析　某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付，它们彼此是互斥事件，所以不用现金支付的概率为1－(0.15＋0.45)＝0.4.
答案　B
6.(2019·潍坊调研)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是________.
解析　乙不输包含两人下成和棋和乙获胜，且它们是互斥事件，所以乙不输的概率为＋＝.
答案　

考点一　样本点与样本空间
【例1】 将一枚质地均匀的骰子相继投掷两次，请回答以下问题：
(1)写出样本点和样本空间；
(2)用A表示随机事件“至少有一次掷出1点”，试用样本点表示事件A；
(3)用Aj(j＝1，2，3，4，5，6)表示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出j点”；用B表示随机事件“第一次掷出1点”，试用随机事件Aj表示随机事件B.
解　(1)首先确定样本点，用1，2，3，4，5，6表示掷出的点数，用(i，j)表示“第一次掷出i点，第二次掷出j点”，则相继投掷两次的所有可能结果如下：
(1，1)　(1，2)　(1，3)　(1，4)　(1，5)　(1，6)
(2，1)　(2，2)　(2，3)　(2，4)　(2，5)　(2，6)
(3，1)　(3，2)　(3，3)　(3，4)　(3，5)　(3，6)
(4，1)　(4，2)　(4，3)　(4，4)　(4，5)　(4，6)
(5，1)　(5，2)　(5，3)　(5，4)　(5，5)　(5，6)
(6，1)　(6，2)　(6，3)　(6，4)　(6，5)　(6，6)
注意到(1，2)和(2，1)是不同的样本点，分别表示“第一次掷出1点，第二次掷出2点”和“第一次掷出2点，第二次掷出1点”这两个随机事件，因此样本空间共有36个样本点.把每个样本点称为基本事件.样本空间为
Ω＝
＝{(i，j)|i，j＝1，2，3，4，5，6}.
(2)因为随机事件A＝“至少有一次掷出1点”，则A包括上述样本空间中所有出现1的样本点，因此
A＝.
(3)Aj＝{(1，j)}，j＝1，2，3，4，5，6.因为这些事件任何一个发生事件B就发生，所以B＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
规律方法　1.在具体问题的研究中，描述随机现象的第一步就是建立样本空间.关于样本空间的几点说明：
(1)样本空间中的元素可以是数也可以不是数；
(2)样本空间中的样本点可以是有限多个的，也可以是无限多个的.仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间；
(3)建立样本空间，事实上就是建立随机现象的数学模型.因此，一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例如只包含两个样本点的样本空间Ω＝{H，T}，它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型，也可以作为产品检验中合格与不合格的模型，又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.
【训练1】 写出下列随机试验的样本空间Ω.
(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和Ω＝________.
(2)生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数，Ω＝________.
答案　(1){3，4，5，…，18}　(2){10，11，12，…}
考点二　随机事件的关系
【例2】 (1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”(　　)
A.是对立事件 B.是不可能事件
C.是互斥但不对立事件 D.不是互斥事件
(2)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　(1)显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.
(2)若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；投掷一枚硬币3次，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不一定是对立事件，如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件.
答案　(1)C　(2)A
规律方法　1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.
2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
【训练2】 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是(　　)
A.① B.②④ C.③ D.①③
解析　从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数.
其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数构成对立事件.
又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件.
答案　C
考点三　随机事件的频率与概率
【例3】 (2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计
了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40]
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
解　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，
所以，利润Y的所有可能值为－100，300，900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
规律方法　1.概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
2.随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.
提醒　概率的定义是求一个事件概率的基本方法.
【训练3】 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.
解　(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
∴用频率估计相应的概率为p＝＝0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站.由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1.
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2.
考点四　互斥事件与对立事件的概率
【例4】 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：(1)至多2人排队等候的概率；
(2)(一题多解)至少3人排队等候的概率.
解　记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥.
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一　记“至少3人排队等候”为事件H，
则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二　记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
规律方法　1.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.
2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法.
【训练4】 (一题多解)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球.从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.
解　法一　(利用互斥事件求概率)
记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，
A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，
则P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，
P(A4)＝，
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，
由互斥事件的概率公式，得
(1)取出1球是红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为
P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
法二　(利用对立事件求概率)
(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)
＝1－－＝.
(2)因为A1＋A2＋A3的对立事件为A4，
所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.

[思维升华]
1.随机试验、样本空间与随机事件的关系
每一个随机试验相应地有一个样本空间，样本空间的子集就是随机事件.
2.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
3.对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生.
4.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算.
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反).
[易错防范]
1.易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数.
2.正确认识互斥事件与对立事件的关系，对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
3.需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义.

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C.随机试验的频率与概率相等
D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
解析　由概率的意义知D正确.
答案　D
2.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)
A.互斥但非对立事件 B.对立事件
C.相互独立事件 D.以上都不对
解析　由于每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时不发生，故是互斥事件，但不是对立事件.
答案　A
3.设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为(　　)
A.两个任意事件 B.互斥事件
C.非互斥事件 D.对立事件
解析　因为P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件.
答案　B
4.(2018·石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为(　　)
A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08
解析　记“抽检的产品是甲级品”为事件A，是“乙级品”为事件B，是“丙级品”为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.
答案　C
5.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)
A. B. C. D.1
解析　设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥.
由于P(A)＝，P(B)＝.
所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案　C
二、填空题
6.传说古时候有一个农夫正在田间干活，忽然发现一只兔子撞死在地头的木桩上，他喜出望外，于是拾起兔子回家了，第二天他就蹲在木桩旁守候，就这样日复一日，年复一年，但再也没有等着被木桩碰死的兔子，原因是____________________.
答案　兔子碰死在木桩上是随机事件，可能不发生
7.(2019·济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________.
解析　∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，
∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为
p＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
答案　0.35
8.(2019·北京东城区调研)经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：
排队人数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是________.
解析　由表格知，至少有2人排队的概率p＝0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.
答案　0.74
三、解答题
9.黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表：
血型
A
B
AB
O
该血型的人数所占的比例
28%
29%
8%
35%
已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血，若他因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解　(1)任找一人，其血型为A，B，AB，O型血分别记为事件A′，B′，C′，D′，它们是互斥的.由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B，O型血可以输给B型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′∪D′，根据概率加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
10.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，
故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A∪发生的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析　掷一个骰子的试验有6种可能结果.
依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，
∴P()＝1－P(B)＝1－＝.
∵表示“出现5点或6点”的事件，
因此事件A与互斥，
从而P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝.
答案　C
12.甲、乙两人在5次综合测评中的成绩如下：甲：88，89，90，91，92，乙：83，83，87，9，99，其中乙的一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析　设被污损的数字为x，则
甲＝(88＋89＋90＋91＋92)＝90，
乙＝(83＋83＋87＋99＋90＋x)，
若甲＝乙，则x＝8.
若甲＞乙，则x可以为0，1，2，3，4，5，6，7，
故p＝＝.
答案　C
13.某城市2018年的空气质量状况如表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率p






其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良，100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2018年空气质量达到良或优的概率为________.
解析　由题意可知2018年空气质量达到良或优的概率为p＝＋＋＝.
答案　
14.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：

X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
Y
51
48
45
42
频数

4


(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率.
解　(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为
＝＝46.
(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为
P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.