宁夏银川一中2021届高三第五次月考 数学（理科） (含答案) 试卷
展开银川一中2021届高三年级第五次月考
理 科 数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则.
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点的坐标是(1，2），则
A． B． C． D．
3．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时大致为
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
4．直线，直线，则“”是“l1∥l2”的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．若，，，则值为
A． B． C． D．
6．设是等差数列的前项和，若为大于1的正整数，且，，则.
A．1000 B．1010 C．1020 D．1030
7．如右图所示，等边的边长为，，且.
若为线段的中点，则
A．24 B．23 C．22 D．18
8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有
刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问积
几何．”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底
面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积
是多少？”(已知1丈为10尺)该锲体的三视图如图所示，则该楔体的体积为
A．12000立方尺 B．11000立方尺 C．10000立方尺 D．9000立方尺
9．函数（其中为自然对数的底数）的图象可能是
A B C D
10．已知函数是奇函数，，且与的图像的交点为，，，，则
A．0 B．6 C．12 D．18
11．若函数在区间内有极小值，则的取值范围是
A． B． C． D．
12．在中，角的对边分别为已知，且，点O满足，，则的面积为
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知，，则 .
14．已知函数，则函数的
极大值点为_________.
15．如图，在直三棱柱中，，
，，、 分别是、的
中点，则异面直线与所成的角的余弦值为_____.
16．已知从2开始的连续偶数蛇形排列形成宝塔形数表，第一
行为2，第二行为4，6，第三行为8，10，12，第四行为
14，16，18，20，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，
第j列的数记为，比如，，，
若，则=________.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分)
17．（本题满分12分）
在中，角，，的对边分别为，，，
已知，，．
（1）求的值；
（2）在边上取一点，使得，求的值．
18．（本题满分12分）
在数列中，，.
（1）设，证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）设为数列的前项和，证明：.
19．（本题满分12分）
已知椭圆的离心率为，右焦点为，斜率为1的直线与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形PAB，顶点为.
（1）求椭圆G的方程；
（2）求的面积.
20．（本题满分12分）
如图，平面，，点分别为的中点.
（1）求证：EF∥平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）若为线段上的点，且直线与平面
所成的角为，求线段的长.
21．（本题满分12分）
已知函数．
（1）求函数在上的单调区间；
（2）用表示中的最大值，为的导函数，设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：．
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线经过伸缩变换后得到曲线．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．
（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；
（2）已知点是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值和最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）解不等式；
（2）方程解集非空，求的取值范围.
银川一中2021届高三第五次月考数学(理科)参考答案
一、选择题
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
D | B | C | C | A | B | B | C | D | D | C | D |
二、填空题
13．﹣ 14. -1 15. 16. 71
三、解答题
17.【解析】（1）由余弦定理，得，
因此，即，由正弦定理，得，因此．
（2）∵，∴，
∵，∴，∴，
，∵，
∴，故．
18．【解析】（1）因为，，所以.
又，所以是首项为，公比为的等比数列.
于是，故.
（2）.
.
以上两式相减得.
故.
19. 【解答】（1）由已知得，解得.又，所以椭圆G的方程为.
（II）设直线的方程为，由得，…①.
设A,B的坐标分别为，AB中点为，
则.
因为AB是等腰的底边，所以.
所以PE的斜率，解得.
此时方程①为，解得，所以.所以.此时，点到直线AB：的距离，
所以的面积.
20.【解析】（Ⅰ）连接，因为，
所以，又因为，所以为平行四边形.
由点和分别为和的中点，
可得且，
因为为的中点，
所以且，可得且，
即四边形为平行四边形，所以EF∥MC，
又，，
所以.
（Ⅱ）因为，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.
依题意可得，
.
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，
可得
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，
可得.，于是.
所以，二面角的正弦值为.
（Ⅲ）设，即，则.
从而.
由（Ⅱ）知平面的法向量为，
由题意，，即，
整理得，解得或，
因为所以，所以.
21.【解析】（1）因为，
所以，
令得，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以函数在上的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）由（1）知，
当时，恒成立，故恒成立；
当时，，又因为恒成立，
所以在上恒成立，
所以，即在上恒成立，
令，则，由，
令得，易得在上单调递增，在上单调递减，
所以， 所以，即，
综上可得.
（3）证明：设，则，
所以在上单调递增，所以，即，
所以
，
所以.
22.解析：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），
因为，则曲线的参数方程．
所以的普通方程为．
所以为圆心在原点，半径为2的圆．
所以的极坐标方程为，即．
（2）直线的普通方程为．
曲线上的点到直线的距离．
当即时， 取到最小值为．
当即时， 取到最大值为．
23.【解析】
，即
所以 或或解得或或
解集为
（2）等价于有解
即函数和函数的图像有交点
画出的图像，直线恒过点,
即直线绕点旋转时，与函数图象有交点时斜率的范围.
如图，当直线过点时刚好满足条件，当旋转到斜率为，刚好不满足条件,
所以的取值范围为
