宁夏银川市第一中学2021届高三第二次月考理科数学试题 Word版含解析

银川一中2021届高三年级第二次月考理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出集合，再利用交集的定义计算即可．

【详解】解：由已知，

则．

故选：A

【点睛】本题考查交集的运算，考查对数不等式，是基础题．

2. 如果，那么下列不等式成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

分别作出角的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解.

【详解】如图所示，在单位圆中分别作出的正弦线、余弦线、正切线，

很容易地观察出，即.

故选C.

【点睛】本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.

3. 要将函数变成，下列方法中可行的有（    ）

①将函数图象上点的横坐标压缩一半        ②将函数图象上点的横坐标伸长一倍

③将函数的图象向下平移一个单位            ④将函数的图象向上平移一个单位（    ）

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

【答案】B

【解析】

【分析】

由于的解析式有和两种形式，可知如何变换得到以上两种形式，即可确定选项

【详解】由，其函数还可写成：

∴(1)变成：将函数图象上点的横坐标压缩一半

(2) 变成：将函数的图象向上平移一个单位

故选：B

【点睛】本题考查了通过函数解析式判断函数平移伸缩变换的方式，注意：

自变量前有系数：a、大于1：横向压缩；b、小于1：横向伸长；

系数为1的自变量后加上一个正数：向左平移；减去一个正数：向右平移；

函数式前有系数：a、大于1：纵向伸长；b、小于1：纵向压缩；

函数式后加上一个正数：向上平移；减去一个正数：向下平移

4. 1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号: （正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号: （余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中若，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

依题意可得，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，求出，最后根据二倍角的正切公式计算可得；

【详解】解：因为，即，所以，所以，解得或

因为，所以，所以

所以

故选：D

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用以及二倍角公式的应用，属于中档题.

5. 已知角和角的终边垂直，角的终边在第一象限，且角的终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据任意角的三角函数定义求出，再根据诱导公式可求得结果.

【详解】由已知得，，所以，

所以由任意角的三角函数定义可知，

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查了任意角的三角函数定义，考查了诱导公式，属于基础题.

6. 设函数（e为自然底数），则使成立的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.   C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据，得到，解得，再根据充分不必要条件要求满足真包含关系，从而求得结果.

【详解】，

解得：，

观察选项，只有是的真子集，

又“”可以推出“”

所以“”是“”充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】该题考查的是有关充分不必要条件的判断，在解题的过程中，要掌握利用集合间的真包含关系求得结果，属于基础题目.

7. 已知，且，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据，求得，结合角的范围，利用平方关系，求得，利用题的条件，求得，之后将角进行配凑，使得，利用正弦的和角公式求得结果.

【详解】因为，所以，

因为，所以.

因为，，所以，

所以 ，

故选D.

【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.

8. 已知定义在上的奇函数，对任意实数，恒有，且当时，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

分析】

先求出函数的周期为，求出的值即得解.

【详解】由题得，所以函数的周期为.

由题得

，

，

，

所以，

所以

.

故选：B.

【点睛】本题主要考查函数的周期的判断和应用，考查函数的奇偶性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9. 已知函数，则以下结论错误的是（    ）

A. 为偶函数 B. 的最小正周期为

C. 的最大值为2 D. 在上单调递增

【答案】C

【解析】

【分析】

利用证得为偶函数，由此判断A选项正确.利用求得的最小正周期，由此判断B选项正确.利用的解析式，求得的最大值，由此判断C选项错误.利用三角函数单调性的判断方法，判断D选项正确.

【详解】由题知，①，

则A选项，A选项正确.

B选项，，所以的最小正周期为，B选项正确.

C选项，由①知，所以选项C不正确.

D选项，当时，，由解得（），令可得，所以上单调递增，所以D选项正确.

综上所述，不正确的选项为C.

故选：C

【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、周期性、最值等知识，属于中档题.

10. 已知函数，曲线在处的切线的方程为，则切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根据导数的几何意义可知，由此可得，再根据切点即在曲线上，又在切线上，可得，可得，求出切线方程，再分别令，，求出切线在轴和轴上的截距，再根据面积公式即可求出结果.

【详解】由得，则，得，

由得加，即，

∴切线的方程为，

令，得到，令，得到，

所求三角形面积为.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.

11. 已知函数是偶函数，则的值可能是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】

当时，，，得到，得到答案.

【详解】当时，，，

函数为偶函数，故，即，即，，

对比选项知C满足.

故选：C.

【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，意在考查学生的计算能力和对于函数性质的灵活运用.

12. 设函数，若关于x的不等式有且只有一个整数解，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

把不等式只有一个整数解，转化为只有一个整数解，令，根据导数求得函数的单调性和极值，结合图象，即可求解实数a的取值范围.

【详解】因为只有一个整数解，即只有一个整数解，

令，则的图象在直线的上方只有一个整数解，

又由，

当时，，单调递增；

当时，，单调递增；

且，

作出的图象，由图象可知a的取值范围为，

即.

故选：B

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的图象及应用，其中解答中把不等式的解转化为只有一个整数解，结合导数得到函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 正弦函数在上的图象与轴所围成曲边梯形的面积为______.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意可知，，再根据定积分的运算法则求解即可．

【详解】解：．

故答案为：．

【点睛】本题考查定积分在求不规则图形面积上的应用，熟练掌握定积分的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．

14. 已知扇形面积为，圆心角为，则该扇形半径为__________．

【答案】2

【解析】

【分析】

将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案.

【详解】圆心角为

扇形的面积为

故答案为2

【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于简单题.

15. 在处取得极值，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

对求导，代入，使得，变形整理得到，利用三角函数的有界性，可得，再利用倍角公式可求．

【详解】解：由已知，

因为在处取得极值，

，

即，

因为，，

，即，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查导数的运算，考察三角公式的应用，关键是对的整理变形，考查了学生的因式分解的能力，是一道中档题．

16. 对于任意实数，当时，有恒成立，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

转化为在上单调递增，再利用导数可得到结果.

【详解】当时， 恒成立等价于恒成立，等价于在上单调递增，

所以在上恒成立，

所以在上恒成立，

因为当时，，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查了转化划归思想，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，属于基础题.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为

（1）求的值； （2）求的值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得 与的值，进而可得出与的值，从而可求与的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出 的值，再根据的取值范围，可得出的取值范围，进而可得出的值.

由条件得cosα＝，cosβ＝.

∵ α，β为锐角，

∴ sinα＝＝，sinβ＝＝.

因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.

(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.

(2) ∵ tan2β＝＝＝，

∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1.

∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝

18. 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于7万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.

（1）写出年利润（万年）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）

（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？

（取）.

【答案】（1）；（2）当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元

【解析】

【分析】

（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分和两种情况，得到与x的关系式即可；

（2）求出两种情况的最大值，作比较即可得到本题答案.

【详解】（1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元.

依题意得，当时，，

当时，，

.

（2）当时，，

所以当时，的最大值为（万元），

当时，，

当时，单调递增，当单调递减，

当时，取最大值（万元），

，当时，取得最大值11万元，

即当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元.

【点睛】本题主要考查利用分段函数解决实际问题，其中涉及到二次函数的值域问题以及用导数求最值问题.

19. 已知函数.

（1）求f(x)的最小正周期及单调递减区间；

（2）若α∈(0，π)，且f(－)＝，求tan(α＋)的值．

【答案】（1）；；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，即可求出最小正周期及单调递减区间；

（2）根据条件可以求出，代入即可计算tan(α＋).

【详解】（1）f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x

＝cos 2xsin 2x＋cos 4x

＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin(4x＋)，

∴f(x)的最小正周期T＝，

令，

得，

∴f(x)的单调递减区间为；

（2），，

∵α∈(0，π)，，

，故，

因此.

【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，属于中档题.

20. 已知函数（，为常数），点的横坐标为0，曲线在点处的切线方程为

（1）求，的值及函数的极值；

（2）证明：当时，．

【答案】（1），，极小值为；无极大值（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用导数的几何意义求得，，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论．

【详解】（1）由已知代入切线方程得，

，

∴，

∴

∴，

，

令得，

当时，单调递减；

当时，单调递增；

所以当时，

即为极小值；无极大值

（2）令，

则，

由（1）知

∴在上为增函数

∴，

即.

【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值，利用导数证明不等式．属于中档题.

21. 已知函数，是的导数，且

（1）证明：在区间上存在唯一的零点；

（2）证明：对任意，都有

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用求导运算法则求得的函数表达式，然后利用导数研究其单调性，结合零点存在定理证明；

（2）移项，构造函数，转化为证明恒成立，求得其导函数，研究函数的单调性，并根据零点存在定理确定的零点的范围，进而确定的正负情况，从而得到的单调性，进而得到的最小值关于的函数表达式，然后利用基本不等式即可证明，从而证得原不等式.

【详解】证明：，

则，

∵，∴，，，

故在区间上单调递减

又∵，

所以在区间上存在唯一零点

（2）要证，

即证，令，则

令，所以在单调递增

∵，，所以存在唯一，

使得，

当时，在上单调递减，

当时，在上单调递增

故

因为，所以，所以

即恒成立，综上所述对任意，都有.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，利用导数证明不等式问题，关键在于导数和零点存在定理的综合应用.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22. 已知曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是，（t为参数）

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（2）设点，求直线l与曲线C交于A、B两点，且，求实数m的值

【答案】（1）曲线C的普通方程为，l的普通方程为；（2）.

【解析】

【分析】

（1）把曲线的极坐标方程两边同时乘以，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程，直接把直线的参数方程中的参数消去，即可得到直线的普通方程；

（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，化为关于的一元二次方程，利用此时的几何意义及根与系数的关系求解．

【详解】解：（1）由有，，代入得：，

曲线C的普通方程为，即：

由l的参数方程，（t为参数），消去参数t得：．

（2）当时，得，在直线l上，

将l参数方程代入曲线C的普通方程得：

化简得：．

设以上方程两根为，，由解得：．

由参数t的几何意义知，

得或，解得（舍去）或，

【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是参数方程中此时的几何意义的应用，属于中档题．

23. 已知函数．

（1）若，求的取值范围；

（2）当时，函数的值域为，求的值．

【答案】（1）；（2）1或2．

【解析】

【分析】

（1），即可得的取值范围是；

（2）对分类讨论，由单调性即可得的单调性．

【详解】解：（1），得．即，故的取值范围

（2）当时，函数在区间上单调递增．

则，得，，得．

当时，

则，得，

，得．

综上所述，值是1或2．

【点睛】本题考查了绝对值不等式，属于中档题．