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初中数学苏科版七年级下册11.5 用一元一次不等式解决问题教学设计
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这是一份初中数学苏科版七年级下册11.5 用一元一次不等式解决问题教学设计，共10页。教案主要包含了课前专训，复习，教学过程，巩固应用等内容，欢迎下载使用。
教学目标：
1.能够根据实际问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单问题；
2.初步体会一元一次不等式的应用价值，发展学生的分析问题和解决问题的能力．
教学重点：列不等式解决实际问题．
教学难点：找出不等关系并用准确的不等式表示出来．
教学过程：
一、课前专训
1.解不等式<50，并将不等式的解集在数轴上表示出来.
要求：复习不等式的解法，让学生在黑板上板演，暴露学生在解题过程中出现的问题.
2.当x取何值时，代数式的值不大于代数式的值？
解：根据题意，得
≤
解得 x≥—19
所以，当x≥—19时，代数式的值不大于代数式的值.
要求：让学生能从列一元一次不等式解决数学文字题的过程，逐步体验到向列一元一次不等式解决实际问题的过渡.要注意解题的规范性.
二、复习
列一元一次方程解决实际问题的步骤是什么？
要求：为下面总结列一元一次不等式解决问题的步骤作铺垫.
三、教学过程：
1.搭“小鱼”问题.
搭“小鱼”图片
按图示的搭法，用少于50根的火柴棒最多可以搭多少条“小鱼”？
要求：让学生完成，同桌相互合作，用火柴棒搭一搭.
学生讨论并得出搭n条“小鱼”需要［8＋6（n－1)］根火柴棒.
根据“用少于50根的火柴棒”得到不等式8＋6（n－1)<50.
对于本题，只要求学生能分析题中的关系，列出不等式就可以了.
通过本题的设置，引导学生操作、探究出关系式，学生感觉应该不会太难.
2.“纸箱装苹果”问题：
问题情境：秋天确好是苹果收获的季节，每年的这个时候，果农们总是忙着将苹果装入纸箱运往外地销售，他们总是想在纸箱中尽可能多的装苹果，以降低运输成本.
问题1：一只纸箱的质量为1kg，放入一些苹果后，纸箱和苹果的总质量不超过10kg.假设每个苹果的质量为0.25kg，这只纸箱内最多能装多少个苹果？
分析：题目中已知条件是什么？所求问题是什么？
如何设未知数？表示这个问题的不等关系是什么？
能用所学的一元一次不等式的知识来解决这个问题吗？怎样列出不等式？
学生分析用一元一次不等式解决问题的思路，关键是找到表示实际问题意义的不等关系：
箱子的质量与苹果的质量之各不超过10kg.
解：设这只纸箱内能装x个苹果，
根据题意，得
0.25x+1≤10
解得 x≤36
所以x的最大整数是36.
答：这只纸箱内最多能装36个苹果.
要求：“纸箱装苹果”是取自学生身边的问题，学生要积极参与计算，他们运用的方法会是算术方法或用一元一次方程的知识来解决，要引导学生用不等式来刻画问题中的不等关系，尝试用不等式的知识来解决问题，要鼓励学生用数学语言表达自己的想法，自主探索问题结果，并能进一步感受到不等式是刻画现实世界的重要的数学模型.
3.“海拔估气温”问题
问题2：某种杜鹃花适宜生长在平均气温为17℃到20℃之间的山区，已知某山区山脚下的平均气温为20℃，并且每上升100m，气温下降0.6℃，要在该山区种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高多少米的山坡上？
分析：题目中已知条件是什么？所求问题是什么？
如何设未知数？表示这个问题的不等关系是什么？
能用所学的一元一次不等式的知识来解决这个问题吗？怎样列出不等式？
解：设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高x米的山坡上,
那么这个区域的平均气温是（20－×0.6) ℃
根据题意， 得20－×0.6≥17
解得x≤500
答：这种杜鹃花应种在比山脚的海拔最多高500米的山坡上
要求：引导学生独立审题，寻找出题中的不等关系，并能运用不等式的知识解决问题.
4.归纳步骤
上述三个问题的解决过程中，你认为列一元一次不等式解决实际问题的步骤是什么？
我们都尝试着从下面的几个过程中来思考：
（1）题目中已知条件是什么？所求问题是什么？
（2）如何设未知数？
（3）表示这个问题意义的不等关系是什么？如何列出不等式？
师生合作交流，在老师的引导下学生总结列一元一次不等式解决实际问题的步骤：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键字“眼”，如“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”等的含义；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（4）解：解出所列不等式的解集；
（5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意．
要求：学生初学不等式解决问题，这里强调用不等式解决问题的一般步骤，有利于学生获得分析问题和解决问题的基本方法．
5.例题解析：
例1 某电影院暑假向学生优惠开放，每张票2元．另外，每场次还可以售出每张5元的普通票300张，如果要保持每场次票房收入不低于2000元，那么平均每场次至少应出售学生优惠票多少张？
要求：学生发表意见，表达观点，相互补充．
300×5+2x≥2000
x≥250
答：平均每场次至少应出售学生优惠票250张．
要求：在总结用不等式解决问题的一般步骤的基础上，让学生体会用不等式解决问题的一般步骤并要求学生能够规范地写出解题过程．
例2 暑假学校准备组织一批学生参加夏令营，联系了甲、乙两家旅行社，他们的服务质量相同，且入营费都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可以给每位入营队员七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位带队老师的费用，其余的入营队员八折优惠．请问应该选择哪家旅行社，才能使费用最少？
解：设参加夏令营的有x人，总费用为y元，根据题意得：
y甲＝200×0.75＝150x
y乙＝200×0.8×（x-1）=160（x-1）
（1）若y甲＝y乙，得x＝16；
（2）若y甲＞y乙，得x＜16；
（3）若y甲＜y乙，得x＞16．
答：当参加夏令营的人数等于16人时，两家旅行社的费用一样；
当参加夏令营的人数少于16人时，乙旅行社的费用较低，故选乙；
当参加夏令营的人数多于16人时，甲旅行社的费用较低，故选甲．
要求：本题运用“分类”的重要思想，学会分类，有利于学习新的数学知识，有利于分析和解决新的数学问题．课后让学生练习此类题型.
6..运用新知：
搭一搭，算一算：
按上图的搭法，用4根火柴棒可以搭1个正方形，用7根火柴棒可以搭2个正方形，用10根火柴棒可以搭3个正方形．照此搭法，用50根火柴棒最多可以搭多少个正方形？请用不等式验证．
学生用预先准备好的火柴棒继续往下搭，在搭的过程中寻找规律，用不等式验证：
可设用50根火柴棒最多可以搭x个正方形．根据题意，得4＋3(x－1)≤50．解得x≤ eq \F(49,3)．
所以，最多可搭出16个正方形．
要求：在活动过程中，提出“如何列不等式解决这个问题？”通过“活动——思考”的形式，让学生交流各种不同的解决问题的方法，充分发表自己的见解，有利于学生感悟数学思想，积累活动经验．提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，增强学生的应用意识和创新意识．
7.课堂练习
某工程队计划在10天内整修河堤600米，施工2天修了120米后，该工程需要比原计划提前2天完成，此后平均每天至少要整修河堤多少米？
解：设平均天要整修河堤x米，
根据题意，得
（10-2-2）x≥600-120
解得x≥80
答：平均每天至少要整修河堤80米.
四、巩固应用：
水果店进了某种水果1吨，进价是7元/千克，售价定为10元/千克，销售一半以后，为了尽快销完，准备打折出售．如果要使利润不低于2000元，那么余下的水果至少按原定价的几折出售？
变式：若将上题“如果要使利润不低于2000元”改为“如果要使利润率不低于20%”又该如何解答？（列出不等式即可）．
注：涉及到的利润和利润率问题，对学生来讲比较陌生．
利润＝售价－进价
利润率＝利润÷进价×100%
解：设余下的水果按原定价的x折出售,根据题意，得
500×(10－7)＋500×(10×0.1x－7)≥2000．
解得x≥8．
答：余下的水果至少按原定价的8折出售．
变式：
解：设余下的水果按原定价的x折出售,根据题意，得
eq \F(500×(10-7)+500×(10×0.1x-7),7×1000)×100%≥20%．
打折问题在生活中有广泛的应用，本题所选素材来源于生活，同时又具有一定的挑战性，学生从中感受到数学的价值和趣味．
小结：
1．谈谈用一元一次不等式解决问题有哪些步骤？
2．用一元一次不等式解决问题的关键是什么？
3．通过这节课的学习，你还有什么感受？一起分享！
师生共同小结．
参考答案：
通过本节课的学习能够：
（1）掌握一种方法：掌握列一元一次不等式解决问题的方法；
（2）领悟一种思想：在“选择优惠方案”的过程中领悟“分类讨论”的数学思想；
（3）体验一种过程：继续体验自主学习、合作探究的学习过程．
（1）让学生在学习中体会学习方法，体验成功，改进不足，以便今后更好地学习数学．
（2）师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．
课后作业：
1．《数学补充习题》11.5 用一元一次不等式解决问题．
2．思考题（选做）：有人问一位数学老师，她所教的班级有多少个学生，这位老师风趣地说：“一半在学数学，四分之一在学音乐，七分之一在读英语，还剩不足6位同学在操场上踢足球”．试问这个班共有多少学生？
学生课后独立完成．
参考答案：
解：设这个班共有x个学生，由题意，得
x－( eq \F(x,2) + eq \F(x,4) + eq \F(x,7) )＜6．
解之得x＜56，
又因为 eq \F(x,2)， eq \F(x,4)， eq \F(x,7) 均为正整数，
所以x＝28．
答：该班共有28名学生．
（1）通过课后作业，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况，知识延伸，使学生能力得以提高．
（2）练习能充分体现本节课的重点，能准确及时地了解教和学的效果，巩固了教学目标．
教学目标：
1.能够根据实际问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单问题；
2.初步体会一元一次不等式的应用价值，发展学生的分析问题和解决问题的能力．
教学重点：列不等式解决实际问题．
教学难点：找出不等关系并用准确的不等式表示出来．
教学过程：
一、课前专训
1.解不等式<50，并将不等式的解集在数轴上表示出来.
要求：复习不等式的解法，让学生在黑板上板演，暴露学生在解题过程中出现的问题.
2.当x取何值时，代数式的值不大于代数式的值？
解：根据题意，得
≤
解得 x≥—19
所以，当x≥—19时，代数式的值不大于代数式的值.
要求：让学生能从列一元一次不等式解决数学文字题的过程，逐步体验到向列一元一次不等式解决实际问题的过渡.要注意解题的规范性.
二、复习
列一元一次方程解决实际问题的步骤是什么？
要求：为下面总结列一元一次不等式解决问题的步骤作铺垫.
三、教学过程：
1.搭“小鱼”问题.
搭“小鱼”图片
按图示的搭法，用少于50根的火柴棒最多可以搭多少条“小鱼”？
要求：让学生完成，同桌相互合作，用火柴棒搭一搭.
学生讨论并得出搭n条“小鱼”需要［8＋6（n－1)］根火柴棒.
根据“用少于50根的火柴棒”得到不等式8＋6（n－1)<50.
对于本题，只要求学生能分析题中的关系，列出不等式就可以了.
通过本题的设置，引导学生操作、探究出关系式，学生感觉应该不会太难.
2.“纸箱装苹果”问题：
问题情境：秋天确好是苹果收获的季节，每年的这个时候，果农们总是忙着将苹果装入纸箱运往外地销售，他们总是想在纸箱中尽可能多的装苹果，以降低运输成本.
问题1：一只纸箱的质量为1kg，放入一些苹果后，纸箱和苹果的总质量不超过10kg.假设每个苹果的质量为0.25kg，这只纸箱内最多能装多少个苹果？
分析：题目中已知条件是什么？所求问题是什么？
如何设未知数？表示这个问题的不等关系是什么？
能用所学的一元一次不等式的知识来解决这个问题吗？怎样列出不等式？
学生分析用一元一次不等式解决问题的思路，关键是找到表示实际问题意义的不等关系：
箱子的质量与苹果的质量之各不超过10kg.
解：设这只纸箱内能装x个苹果，
根据题意，得
0.25x+1≤10
解得 x≤36
所以x的最大整数是36.
答：这只纸箱内最多能装36个苹果.
要求：“纸箱装苹果”是取自学生身边的问题，学生要积极参与计算，他们运用的方法会是算术方法或用一元一次方程的知识来解决，要引导学生用不等式来刻画问题中的不等关系，尝试用不等式的知识来解决问题，要鼓励学生用数学语言表达自己的想法，自主探索问题结果，并能进一步感受到不等式是刻画现实世界的重要的数学模型.
3.“海拔估气温”问题
问题2：某种杜鹃花适宜生长在平均气温为17℃到20℃之间的山区，已知某山区山脚下的平均气温为20℃，并且每上升100m，气温下降0.6℃，要在该山区种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高多少米的山坡上？
分析：题目中已知条件是什么？所求问题是什么？
如何设未知数？表示这个问题的不等关系是什么？
能用所学的一元一次不等式的知识来解决这个问题吗？怎样列出不等式？
解：设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高x米的山坡上,
那么这个区域的平均气温是（20－×0.6) ℃
根据题意， 得20－×0.6≥17
解得x≤500
答：这种杜鹃花应种在比山脚的海拔最多高500米的山坡上
要求：引导学生独立审题，寻找出题中的不等关系，并能运用不等式的知识解决问题.
4.归纳步骤
上述三个问题的解决过程中，你认为列一元一次不等式解决实际问题的步骤是什么？
我们都尝试着从下面的几个过程中来思考：
（1）题目中已知条件是什么？所求问题是什么？
（2）如何设未知数？
（3）表示这个问题意义的不等关系是什么？如何列出不等式？
师生合作交流，在老师的引导下学生总结列一元一次不等式解决实际问题的步骤：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键字“眼”，如“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”等的含义；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（4）解：解出所列不等式的解集；
（5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意．
要求：学生初学不等式解决问题，这里强调用不等式解决问题的一般步骤，有利于学生获得分析问题和解决问题的基本方法．
5.例题解析：
例1 某电影院暑假向学生优惠开放，每张票2元．另外，每场次还可以售出每张5元的普通票300张，如果要保持每场次票房收入不低于2000元，那么平均每场次至少应出售学生优惠票多少张？
要求：学生发表意见，表达观点，相互补充．
300×5+2x≥2000
x≥250
答：平均每场次至少应出售学生优惠票250张．
要求：在总结用不等式解决问题的一般步骤的基础上，让学生体会用不等式解决问题的一般步骤并要求学生能够规范地写出解题过程．
例2 暑假学校准备组织一批学生参加夏令营，联系了甲、乙两家旅行社，他们的服务质量相同，且入营费都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可以给每位入营队员七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位带队老师的费用，其余的入营队员八折优惠．请问应该选择哪家旅行社，才能使费用最少？
解：设参加夏令营的有x人，总费用为y元，根据题意得：
y甲＝200×0.75＝150x
y乙＝200×0.8×（x-1）=160（x-1）
（1）若y甲＝y乙，得x＝16；
（2）若y甲＞y乙，得x＜16；
（3）若y甲＜y乙，得x＞16．
答：当参加夏令营的人数等于16人时，两家旅行社的费用一样；
当参加夏令营的人数少于16人时，乙旅行社的费用较低，故选乙；
当参加夏令营的人数多于16人时，甲旅行社的费用较低，故选甲．
要求：本题运用“分类”的重要思想，学会分类，有利于学习新的数学知识，有利于分析和解决新的数学问题．课后让学生练习此类题型.
6..运用新知：
搭一搭，算一算：
按上图的搭法，用4根火柴棒可以搭1个正方形，用7根火柴棒可以搭2个正方形，用10根火柴棒可以搭3个正方形．照此搭法，用50根火柴棒最多可以搭多少个正方形？请用不等式验证．
学生用预先准备好的火柴棒继续往下搭，在搭的过程中寻找规律，用不等式验证：
可设用50根火柴棒最多可以搭x个正方形．根据题意，得4＋3(x－1)≤50．解得x≤ eq \F(49,3)．
所以，最多可搭出16个正方形．
要求：在活动过程中，提出“如何列不等式解决这个问题？”通过“活动——思考”的形式，让学生交流各种不同的解决问题的方法，充分发表自己的见解，有利于学生感悟数学思想，积累活动经验．提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，增强学生的应用意识和创新意识．
7.课堂练习
某工程队计划在10天内整修河堤600米，施工2天修了120米后，该工程需要比原计划提前2天完成，此后平均每天至少要整修河堤多少米？
解：设平均天要整修河堤x米，
根据题意，得
（10-2-2）x≥600-120
解得x≥80
答：平均每天至少要整修河堤80米.
四、巩固应用：
水果店进了某种水果1吨，进价是7元/千克，售价定为10元/千克，销售一半以后，为了尽快销完，准备打折出售．如果要使利润不低于2000元，那么余下的水果至少按原定价的几折出售？
变式：若将上题“如果要使利润不低于2000元”改为“如果要使利润率不低于20%”又该如何解答？（列出不等式即可）．
注：涉及到的利润和利润率问题，对学生来讲比较陌生．
利润＝售价－进价
利润率＝利润÷进价×100%
解：设余下的水果按原定价的x折出售,根据题意，得
500×(10－7)＋500×(10×0.1x－7)≥2000．
解得x≥8．
答：余下的水果至少按原定价的8折出售．
变式：
解：设余下的水果按原定价的x折出售,根据题意，得
eq \F(500×(10-7)+500×(10×0.1x-7),7×1000)×100%≥20%．
打折问题在生活中有广泛的应用，本题所选素材来源于生活，同时又具有一定的挑战性，学生从中感受到数学的价值和趣味．
小结：
1．谈谈用一元一次不等式解决问题有哪些步骤？
2．用一元一次不等式解决问题的关键是什么？
3．通过这节课的学习，你还有什么感受？一起分享！
师生共同小结．
参考答案：
通过本节课的学习能够：
（1）掌握一种方法：掌握列一元一次不等式解决问题的方法；
（2）领悟一种思想：在“选择优惠方案”的过程中领悟“分类讨论”的数学思想；
（3）体验一种过程：继续体验自主学习、合作探究的学习过程．
（1）让学生在学习中体会学习方法，体验成功，改进不足，以便今后更好地学习数学．
（2）师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．
课后作业：
1．《数学补充习题》11.5 用一元一次不等式解决问题．
2．思考题（选做）：有人问一位数学老师，她所教的班级有多少个学生，这位老师风趣地说：“一半在学数学，四分之一在学音乐，七分之一在读英语，还剩不足6位同学在操场上踢足球”．试问这个班共有多少学生？
学生课后独立完成．
参考答案：
解：设这个班共有x个学生，由题意，得
x－( eq \F(x,2) + eq \F(x,4) + eq \F(x,7) )＜6．
解之得x＜56，
又因为 eq \F(x,2)， eq \F(x,4)， eq \F(x,7) 均为正整数，
所以x＝28．
答：该班共有28名学生．
（1）通过课后作业，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况，知识延伸，使学生能力得以提高．
（2）练习能充分体现本节课的重点，能准确及时地了解教和学的效果，巩固了教学目标．
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