2020-2021学年 北师大版八年级数学上册期末冲刺 专题02《实数》（北师大版）（教师版）

专题0２《实数》

1.平方根与算术平方根

（1）如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根.记作.一个正数有两个平方根，它们恰好是互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

（2）正数的正的平方根，叫做的算术平方根.记作. 0的算术平方根是0，即.

（3）求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算.

2.立方根

（1）如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根.记作.正数的立方根是正数；负数的立方根是；0的立方根是0.

（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方互为逆运算.

3. 实数

（1）无限不循环小数叫做无理数.

（2）有理数和无理数统称实数.实数与数轴上的点一一对应的.

（3）在实数范围内，可进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算，且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍成立.实数混合运算的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算按从左到右的顺序进行，有括号时，要先算括号内的.

4．二次根式

（1）一般地，形如的式子，叫做二次根式，叫做被开方数.

（2）；（2）

（3）；（4）

考点1：平方根

例1（2020烟台）4的平方根是（　　）

A．2           B．-2         C．±2         D．

【答案】C

【解析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．

∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2．

故选C．

【名师点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

考点2：算术平方根

例2（2020湖州）数4的算术平方根是（　　）

A．2      B．-2     C．±2       D．

【答案】A

【解析】先算出0.49的算术平方根，然后求其相反数即可．

4的算术平方根为
故选A．

【名师点睛】本题考查了算术平方根及相反数的知识，属于基础题，掌握各知识点概念是解题的关键．一个正数的算术平方根只有一个且是正数，算术平方根与平方根是两个不同的概念，两者不能混淆.

考点3：立方根

例3（2020常州）8的立方根为（   ）

A．2           B．         C．2         D．±2 

【答案】C

【解析】利用立方根的定义即可求解．

∵（2）3=8，∴8的立方根是2．

故选C．

【名师点睛】本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．

考点4：利用计算器求值

例4（2020烟台）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（   ）

A．按键即可进入统计算状态

B．计算的值，按键顺序为：

C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果

D．计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333

【答案】B

【解析】A、按键即可进入统计算状态是正确的，故选项A不符合题意；

B．计算的值，按键顺序为：，故选项B符合题意；

C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果是正确的，故选项C不符合题意；

D．计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333是正确的，故选项D不符合题意；

故选B．

【名师点睛】此题主要考查了计算器的使用方法，由于计算器的类型很多，可根据计算器的说明书使用．随着计算器进入中考考场，近年来已不再是课本上的封闭题型一统天下了，出现了许多新题型，已成为中考的一大亮丽的风景线，这类题更能考查同学们的灵活运用知识解决问题的能力．

考点5：无理数识别

例5（2020遂宁）下列各数3.1415926，，1.212212221，，2-π，-2020，中，无理数的个数有    　个．

【答案】3

【解析】要判断哪个数是无理数，需要依据无理数的定义，即无限不循环小数叫无理数.主要从给的选项中确定出无限不循环小数即可.

无理数有：1.212212221，2-π，共有3个．

故答案为：3．

【名师点睛】本题主要考查无理数的识别，解决问题的关键是理解无理数的分类，把握无理数的三种形式：（1）开方开不尽的数；（2）以无限不循环小数形式出现的数；（3）含有的数.运用分类思想解题.

考点6：实数大小比较

例6（2020赤峰）实数|-5|，-3，0，中，最小的数是（   ）

A．|-5|           B．-3         C．0         D．

【答案】B

【解析】∵|-5|=5，=2，-3<0<2<5，

∴-3是最小的数，

故选B．

【名师点睛】本题主要考查的是实数的大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确，正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

考点7：方根估算

例7（2020台州）无理数在（    ）

A.2和3之间        B.3和4之间       C.4和5之间       D.5和6之间

【答案】B

【解析】∵，，

无理数在3和4之间，

故选B．

【名师点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生对两个无理数大小的理解．

考点8：实数的计算

例8（2020益阳）计算：．

【答案】7．

【解析】直接利用绝对值的性质和实数混合运算法则分别化简得出答案．

原式＝

=7．

【名师点睛】本题考查了实数的运算：先算乘方或开方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．在复习中要重视对这些知识的理解与掌握．

考点9：二次根式的混合运算

例9（2020荆州一模）计算：

（1）9﹣7+5；

（2）÷﹣×+．

【答案】（1）15；（2）4+．

【解析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

（2）先利用二次根式的除法和乘法法则运算，然后合并即可．

解：（1）原式=9﹣14+20

=15；

（2）原式=﹣+2

=4﹣+2

=4+．

【名师点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．

考点10：实数新定义

例10（2020武汉模拟）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2020+i2021的值为（　　）

A．0        B．1          C．﹣1        D．i

【答案】１．

【解析】i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，计算即可．

由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，

∵=505，∴i+i2+i3+i4+…+i2020+i2021= 0．

故选A．

【名师点睛】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算，有一定难度．

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（2020桂林）若，则x的的值是（    ）

A.-1        B.0       C.1       D.2

【答案】C

【解析】∵，

∴x-1=0，

解得：x=1,

则x的的值是1.

故选：C.

2. （2020广州期中）在下列各数中是无理数的有（    ）

－0.333…，，，-，3.141 5，2.010 101…（相邻两个1之间有1个0）

A.1个               B.2个                C. 3个              D. 4个

【答案】C

【解析】根据无理数的定义可得，无理数有，-π，2.010010001…三个．
故选C．

3. （2020广西一模）下列语句中，正确的是（    ）

A.-9的平方根是-3                B.9的平方根是3

C.0没有算术平方根                     D.9的算术平方根是3

【答案】D

【解析】因为-9＜0，所以-9没有平方根；9的平方根是±3；0的算术平方根是0；9的算术平方根是3.故选项A,B,C错误，选项D正确.

4. （2020鄂州模拟）下列结论中，正确的是（    ）

A.     B.     C.    D.

【答案】A

【解析】选项B中，，故选项B错误；选项C中，，故选项C错误；选项D中，，故选项D错误.

5.（2020金昌）若一个正方形的面积是12，则它的边长是（   ）

A. B.3 C. D.4

【答案】A

【解析】：∵正方形边长是12，

∴它的边长是=2

故选A ．

6. 下列各式中，计算不正确的是（    ）

A．       B．    C．   D．

【答案】C

【解析】.

7. （2020荆州模拟）下列运算中，错误的有（    ）

①；②；③；④.

A.1个            B.2个           C.3个           D.4个

【答案】D

【解析】4个算式都是错误的.①；②；③没有意义；④.

8. （2020焦作一模）下列说法中，正确的是（    ）

A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数

B.一个数的立方根与这个数同号

C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根

D.一个数的立方根是非负数

【答案】B

【解析】一个数的立方根只有一个，A错误；一个数有立方根，但这个数不一定有平方根，如-8，C错误；一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，所以D错误.故选B.

9.若，，且，则的值为（    ）

A.-2             B.±5            C.5            D.5

【答案】B

【解析】若，，则，.

又，所以，或，.

所以或，故选B.

10．（2020黔南洲）已知a=-1，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（    ）

A. 1<a<2          B. 2<a<3       C. 3<a<4          D. 4<a<5

【答案】C

【解析】∵，

∴3<-1<4,

∴-1在3和4之间，即3<a<4.

故选C.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11. （2020黄冈模拟）平方等于3的数是_________；立方等于-64的数是_________．

【答案】  -4

【解析】平方等于3的数，即为3的平方根，所以平方等于3的数是；立方等于-64的数，即为-64的立方根，所以立方等于-64的数是-4；
故答案为：；-4．

12. （2020宜昌模拟）计算：_______；______．

【答案】10   -2

【解析】，.

13. （2020广东）若，则_____．

【答案】1.

【解析】∵，

∴a=2，b=-1,

则

14.若一个正数的平方根分别是和，则=      ，这个正数是       .

【答案】-1  9

【解析】由于一个正数有两个平方根且互为相反数，所以，即，所以，所以这个正数为9.

15. （2020随州模拟）若，则=       .

【答案】27

【解析】因为，所以，所以.

16.若，互为相反数，，互为负倒数，则=_______.

【答案】-1

【解析】因为、互为相反数，、互为负倒数，所以，，所以，故.

17.（2020邵阳）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为_______.

【答案】.

【解析】由题意可得，，

.

18．（2020深圳模拟）若式子是一个实数，则满足这个条件的值是      .

【答案】4

【解析】∵式子是一个实数，

∴，

∴，

解得：．

19．（2020上海一模）求代数式的最小值，则此时a的值       .

【答案】3

【解析】∵，

∴，

∴的最小值是5，

a-3=0，

a=3．

20.（2020青海）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下：，如：，那么      .

【答案】．

【解析】

三、解答题（共46分）

19.（6分）（2020长沙模拟）求下列各式的值：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．

【解析】（1）.

（2）.

（3）.

（4）.

（5）.

（6）.

20.（6分）已知+12的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根.

【答案】的算术平方根是6.

【解析】由题意得，，解得，.

所以.所以的算术平方根是6.

21.（6分）（2020潜江一中模拟）求下列各数的平方根和算术平方根：9,14 400，，.

【答案】9的平方根为，9的算术平方根为3；14 400的平方根为，14 400的算术平方根为120；

的平方根为，的算术平方根为；的平方根为.的算术平方根为．

【解析】因为，所以9的平方根为.

因为，所以9的算术平方根为3.

因为，所以14 400的平方根为.

因为，所以14 400的算术平方根为120.

因为，所以的平方根为.

因为，所以的算术平方根为.

因为，，所以的平方根为.

因为，所以的算术平方根为.

22.（6分）求下列各数的立方根：，，.

【答案】的立方根是，的立方根是，0.729的立方根是0.9．

【解析】因为，所以的立方根是.

因为，所以的立方根是.

因为，所以0.729的立方根是0.9.

23.（8分）（2020天门一中模拟）化简：

（1）；　　　　

（2）；

（3）（﹣）×；

（4）（3+）（3﹣）﹣（﹣1）2．

【答案】（1）2；（2）4；（3）；（4）2．

【解析】（1）==2；

（2）==4；

（3）原式=﹣

=﹣3

=﹣2；

（4）原式=9﹣5﹣4+2

=2．

24.（8分）（2020合肥模拟）如图，王丽同学想给老师做一个粉笔盒．她把一个正方形硬纸片的四个角各剪去一个正方形，折起来用透明胶粘住，做成一个无盖的正方体盒子．要使这个盒子的容积为，那么她需要的正方形纸片的边长是多少？

【答案】需要的正方形纸片的边长是．

【解析】设正方体盒子的棱长为，则，，10×3=30，因此她需要的正方形纸片的边长是．

25.（8分）（2020井冈山模拟）先阅读下列解答过程，再解答.

你能根据，直接说出，，，，的值吗？

【答案】，，其余几个不能.

【解析】因为，，所以，可由直接说出，的值，其余几个不能.

26.（8分）（2020桂林模拟）如图是两个面积为1的正方形，试对所给图形进行分割，然后拼成面积为2的大正方形.请在图中画出分割线，并在虚线框内画出拼成的大正方形，写出大正方形的边长.

【答案】大正方形的边长为.

【解析】如图所示，大正方形的边长为.