2020-2021学年 人教版八年级数学上册期末冲刺 专题04《整式乘法与因式分解》（学生版）

专题04  整式的乘法与因式分解

1．同底数幂的乘法 

同底数幂的乘法法则：（m，n都是正整数）；

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．注意底数可以是多项式或单项式．

2．幂的乘方

幂的乘方法则：（m，n都是正整数），

幂的乘方，底数不变，指数相乘．

幂的乘方法则可以逆用：即．

3．积的乘方法则：（n是正整数）．积的乘方，等于各因数乘方的积．

4．整式的乘法

（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

（2）单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即（都是单项式）．

（3）多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

（4）同底数幂的除法法则：（都是正整数，且），

同底数幂相除，底数不变，指数相减．

（5）零指数：，即任何不等于零的数的零次方等于1．

（6）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，若只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

（7）多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所得的商相加．即：．

5．平方差公式：，

注意平方差公式展开只有两项．

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．右边是相同项的平方减去相反项的平方．

6．完全平方公式：

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样．

公式的变形使用：

（1）；；

；．

（2）三项式的完全平方公式：．

7．提公因式法 

（1）会找多项式中的公因式；

公因式的构成一般情况下有三部分：系数、字母、指数

①系数——各项系数的最大公约数；

②字母——各项含有的相同字母；

③指数——相同字母的最低次数；

（2）提公因式法的步骤：

第一步是找出公因式；

第二步是提取公因式并确定另一因式．

需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．

（3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的．

8．公式法 

运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；

常用的公式：

（1）平方差公式： a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；

                     a2-2ab+b2=（a-b）2．

考点一、同底数幂的乘法

例1（2020重庆）计算结果正确的是（   ）

A．a       B．a2        C．a3     D．a4

【答案】C

【解析】了同底数幂的乘法运算，，故选C．

【名师点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

考点二、幂的乘方

例2（2020衢州）计算：，正确结果是（   ）

A．a5 B．a6 C．a8 D．a9

【答案】B

【解析】（a2）3＝a6，故选B．

【名师点睛】本题主要考查幂的乘方，底数不变，指数相乘的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

考点三、积的乘方

例3（2020陕西）计算：= 　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】=，故选C．

【名师点睛】本题考查积的乘方的运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．

考点四、单项式乘单项式

例4（2020台州）计算2a2•3a4的结果是（　　）

A．5a6 B．5a8 C．6a6 D．6a8

【答案】C

【解析】2a2•3a4＝6a6．故选：C．

【名师点睛】本题考查的是单项式乘单项式，解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．

考点五、单项式乘多项式

例5（2020桂林）计算：=______.

【答案】．

【解析】根据单项式乘多项式的法则，把单项式与多项式的每一项相乘，= ，

故答案为：．

【名师点睛】本题考查的是单项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

考点六、多项式乘多项式

例6 （2020焦作模拟）计算（x+y）（x2﹣xy+y2）

【答案】x3+y3．

【解析】（x+y）（x2﹣xy+y2），

＝x3﹣x2y+xy2+x2y﹣xy2+y3，

＝x3+y3．

【名师点睛】此题考查多项式的乘法，关键是根据多项式乘法的法则解答．

考点七、整式的除法

例7（2020吉林）下列运算正确的是（    ）

A．   B． C． D．

【答案】D

【解析】A、，原计算错误，故此选项不符合题意；

B．，原计算错误，故此选项不符合题意；

C．，原计算错误，故此选项不符合题意； 

D．，原计算正确，故此选项符合题意；

故选：D．

【名师点睛】此题主要考查了整式的运算，正确掌握运算法则是解题关键．

考点八、乘法公式的应用

例8（2020枣庄）图（1）是一个长为2a，宽为2b的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　）

A．ab   B．(a+b)2   C．(a-b)2   D．a2-b2

【答案】C

【解析】中间部分的四边形式正方形，边长是a+b-2b=a-b,

则面积是(a-b)2，

故选：C．

【名师点睛】本题考查了整式的运算，正确表示出小正方形的边长是解题的关键．

考点九、运用提公因式法分解因式

例9（2020沈阳）因式分解：2x2+x=______．

【答案】x（2x+1）.

【解析】2x2+x= x（2x+1）.

故答案为：x（2x+1）.

【名师点睛】本题考查了提取公因式法，正确找出公因式是解本题的关键．

考点十、运用提公因式法、公式法分解因式

例10（2020深圳）分解因式：m3-m=　　　.

【答案】.

【解析】

【名师点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．

考点十一、因式分解的综合运用

10. （2020西藏）下列分解因式正确的一项是（　　）

A．x2-9=（x+3）（x-3）  B．2xy+4x=2（xy+2x）

C．x2-2x-1=（x-1）2   D．x2+y2=（x+y）2

【答案】A.

【解析】A、原式=（x+3）（x-3），符合题意；

B、2xy+4x=2x（y+2）；不符合题意；

C、原式不能分解，不符合题意；

D、原式不能分解，不符合题意．

故选：Ａ．

【名师点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

一、选择题

1.（2020黔南州）下列运算正确的是（    ）

A．（a3）4=a12    B．a3·a4=a12        C．a2+a2=a4     D．（ab）2=ab2

2.（2020河北）对于①x-3xy=x（1-3y），②（x+3）（x-1）=x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（   ）

A.都是因式分解    B.都是乘法运算    C. ①是因式分解②是乘法运算  D. ①是乘法运算②是因式分解

3.（2020德阳）下列运算正确的是（   ）

A．a2·a3=a6    B．（3a）3 =9a3        C．3a-2a=1    D．（-2a2）3 =-8a6

4．计算（）2021×1.52020×（-1）2022的结果是（   ）

A．  B．      C．-   D．-

5．（2020眉山）已知a2+b2=2a-b-2，则3a-b的值为（    ）

A.4     B.2      C.-2       D.-4

6.（2020益阳）下列因式分解正确的是（    ）

A. a（a-b）-b（a-b）=（a-b）（a+b）       B. a2-9b2=（a-3b）2

C. a2+4ab+4b2=（a+2b）2       D. a2-ab+a=a（a-b）

5．化简的结果正确的是（    ）

A．  B．  C．2   D．

7．(2020青海)下面是某同学在一次测试中的计算：

①3m2n-5mn2=2mn；②2a2b（-2a2b）=-4a6b；③（a3）2=a5 ;④（-a3）÷（-a）=a2．

其中运算正确的个数为（    ）

A. 4个     B. 3个       C.2个        D. 1个

8.（2020郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形，这两个图能解释下列哪个等式（    ）

A.x2-2x+1=（x-1）2         B. x2-1=（x+1）（x-1）

C. x2+2x+1=（x+1）2        D. x2-x=x（x-1）

9．一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认为这位同学做得不够完整的题是（    ）

A．     B．

C．     D．

10．(2020荆门一模)已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（　　）

A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1

二、填空题

11. (2020株洲)因式分解：_____．

12．计算：（a-b）（a+b）=______；（-2x-5）（2x-5）= _____．

13．(2020焦作期末)如果（nx+1）（x2+x）的结果不含x2的项（n为常数），那么n＝　  　．

14. (2020宜昌)数学讲究记忆方法．如计算时，若忘记了法则，可以借助（a5）2=a5×a5=a5+5=a10，得到正确答案．你计算（a2）5-a3×a7的结果是　  　．

15.（2020成都）已知a=7-3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为______．

16.（2020咸宁模拟）若整式x2+my2（m为常数，且m≠0）能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是　   　（写一个即可）．

17. （2020衢州）定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×(3+1)=2×4=8，则（x-1）※x的结果为______．

三、解答题

18.（2020武汉模拟）计算：

（1）a3•a2•a4+（﹣a）2；

（2）（x2﹣2xy+x）÷x

19．分解因式：

（1）（m2+3m）2-8（m2+3m）-20；

（2）4a2bc-3a2c2+8abc-6ac2；

（3）（y2+3y）-（2y+6）2．

20.（1）（2020长春模拟）先化简，再求值：(2a+1)2-4a(a-1)，其中．

（2）（2020梧州一模）先化简，再求值：，其中．

21.（2020荆州一模）利用因式分解简便计算：

（1）57×99+44×99-99；

（2）．

22.（2020黄冈模拟）如图，某市有一块长为（2a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．

（1）试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？

（2）若a＝3，b＝2，请求出绿化面积．

23.（200江西模拟）图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中实现用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．

（1）图b中，大正方形的边长是　  　．阴影部分小正方形的边长是　  　；

（2）观察图b，写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的一个等量关系，并说明理由．

24．探究题：

观察下列式子：（x2-1）÷（x-1）=x+1；

（x3-1）÷（x-1）=x2+x+1；

（x4-1）÷（x-1）=x3+x2+x+1；

（x5-1）÷（x-1）=x4+x3+x2+x+1；

（1）你能得到一般情况下的结果吗？（n为正整数）

（2）根据（1）的结果计算：1+2+22+23+24+…+262+263．

25.（2020内江）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x=m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）=．
例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18-1＞9-2＞6-3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）=．
（1）填空：f（6）=　  　；f（9）=　  　；
（2）一个两位正整数t（t=10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；
（3）填空：

①f（22×3×5×7）=　  　；②f（23×3×5×7）=　  　；③f（24×3×5×7）=　  　；④f（25×3×5×7）=　  　．