2021-2022学年人教版数学八年级上学期期末冲刺卷（二）（教师版）（word版含答案）

期末模拟冲刺卷（二）
（时间：90分钟 分值：120分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.（2020扬州）“致中和，天地位焉，万物育焉，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（　）
A． B． C． D.
【答案】C
【解析】A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不=是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
2．下列等式成立的是（　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A．，故错误；B．正确；C．，故错误；D．，故错误，故选B．
3.（2020焦作月考）若中，，则一定是（　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．任意三角形
【答案】B
【解析】∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．
∴设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=4x°，
根据三角形内角和定理得到：x+2x+4x=180，解得：x=．
则∠C=4×=°，则△ABC是钝角三角形．故选B．
4.（2020仙桃模拟）下列说法中，错误的是（　）
A．三角形中至少有一个内角不小于60°
B．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
C．三角形的角平分线、中线、高均在三角形的内部
D．多边形的外角和等于360°
【答案】C
【解析】A、如果三角形中每一个内角都小于60°，那么三个角三个角的和小于180°，与三角形的内角和定理相矛盾，故本选项正确，不符合题意；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项正确，不符合题意；
C、三角形的角平分线、中线与锐角三角形的三条高均在三角形内部，而直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故本选项错误，符合题意；
D、多边形的外角和等于360°，故本选项正确，不符合题意．故选C．
5.（2020宜昌）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）

A.每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走
B.每段直路要短
C. 每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走
D. 每段直路要长
【答案】Ａ
【解析】∵从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，
∴
∴每走完一段直路后向右边偏72°方向行走.
故选：A.
6.（2020眉山一模）如图，在△ABC中AD平分∠BAC交BC于点D，∠B=30度，∠ADC=70度，则∠C的度数是（　）
A． 50° B．60° C．70° D．80°

【答案】C
【解析】∵∠ADC=70°，∠B=30°，∴∠BAD=∠ADC-∠B=70°-30°=40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=80°，∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-30°-80°=70°，故选C.
7．下列运算正确的是（　　）
A．x2+x2＝2x4 B．a2•a3＝a5
C．（﹣2x2）4＝16x6 D．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣3y2
【答案】B
【解析】A、应为x2+x2＝2x2，故本选项错误；
B、a2•a3＝a5，正确；
C、应为（﹣2x2）4＝16x6，故本选项错误；
D、应为（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣3y2，故本选项错误；
故选：B．
8.（2020武汉黄陂模拟）化简的结果是（　　）
A． B．a C． D．
【答案】B
【解析】原式==a．故选B．
9．如图，已知∠ABC=120°，BD平分∠ABC，∠DAC=60°，若AB=2，BC=3，则BD的长是（　　）

A．5 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】如图，在CB的延长线上取点E，使BE=AB，连接AE，

∵∠ABC=120°，∴∠ABE=180°−∠ABC=60°，
∵BE=AB，∴△ABE为等边三角形，∴AE=AB，∠BAE=∠E=60°，
∵∠DAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠EAC=∠BAC+∠BAE，∴∠BAD=∠EAC，
∵BD平分∠ABC，∴，∴∠ABD=∠E，
在△ABD和△AEC中，，
∴△ABD≌△AEC（ASA），∴BD=CE，
∵CE=BE+BC=AB+BC=3+2=5，∴BD=5，故选A．
10．（2020武汉一模）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【解析】∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，
又∵OE＝OE，
∴Rt△AOE≌Rt△COE，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴△ABC关于直线AD轴对称，
∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，
综上所述，全等三角形共有4对．
故选：D．
11．如图，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS，下面结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【解析】根据PR=PS可得AP是∠BAC的角平分线，根据AP=AP，PR=PS可得Rt△APR≌Rt△APS，则AS=AR，则①正确；根据角平分线可得：∠BAP=∠CAP，根据AQ=PQ可得：∠CAP=∠APQ，则
∠BAP=∠APQ，根据内错角相等，两直线平行可得：QP∥AR，则②正确；根据已知条件无法说明△BRP≌△CSP，故选A．
12.（2020荆州一模）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分∠DAB，∠ABD＝52°，∠ABC
＝116°，∠ACB＝α°，则∠BDC 的度数为（ ）

A．α B． C．90﹣α D．90﹣ α
【答案】C
【解析】如图，过 C 作 CE⊥AB 于 E，CF⊥BD 于 F，CG⊥AD 于 G，

∵∠ABD＝52°，∠ABC＝116°，
∴∠DBC＝∠CBE＝64°，
∴BC 平分∠DBE，
∴CE＝CF，
又∵AC 平分∠BAD，
∴CE＝CG，
∴CF＝CG，
又∵CG⊥AD，CF⊥DB，
∴CD 平分∠BDG，
∵∠CBE 是△ABC 的外角，∠DBE 是△ABD 的外角，
∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAB＝ （∠DBE﹣∠DAB）＝ ∠ADB，
∴∠ADB＝2∠ACB＝2α°，
∴∠BDG＝180°﹣2α°，
∴∠BDC＝ ∠BDG＝90°﹣α°， 故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．把多项式分解因式的结果是__________．
【答案】
【解析】=a（x2+2x+）=a（x+y）2，故答案为：a（x+y）2．
14．（2020河池模拟）分式方程的解为　 　．
【答案】．
【解析】去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．故答案为：．
15.（2020江北区期中）若，则=__________．
【答案】7
【解析】∵=3，∴=（x+）2−·2·x=32−2=7，故答案为：7．
16．（2020宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一颗小树（A为小树位置）.测得的相关数据为：∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=48米，则AC=_____ 米.

【答案】48米.
【解析】∵∠ABC=60°∠ACB=60°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BC=48米，
∴A=48米.
故答案为：48米.
三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）(湖北潜江月考)利用乘法公式计算：
（1）（﹣3a﹣2）（3a﹣2）+（3a﹣1）2
（2）（2x+y+1）（2x+y﹣1）﹣（2x﹣y﹣1）2
【答案】（1）﹣6a+5；；（2）8xy+4x﹣2y﹣2.
【解析】（1）原式＝﹣（3a+2）（3a﹣2）+（3a﹣1）2
＝﹣（9a2﹣4）+9a2﹣6a+1
＝﹣9a2+4+9a2﹣6a+1
＝﹣6a+5；
（2）原式＝（2x+y）2﹣1﹣[（2x﹣y）2﹣2（2x﹣y）+1]
＝4x2+4xy+y2﹣1﹣（4x2﹣4xy+y2﹣4x+2y+1）
＝4x2+4xy+y2﹣1﹣4x2+4xy﹣y2+4x﹣2y﹣1
＝8xy+4x﹣2y﹣2．
18．（6分）解下列分式方程：
（1）；（2）．
【答案】（1）无解；（2）．
【解析】（1）去分母得：，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
19．（8分）如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：DE=DF；
（2）若∠A=60°，BE=1，求△ABC的周长．

【答案】（1）详见解析；（2）12．
【解析】（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．
∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）．
∵D是BC的中点，∴BD=CD．
在△BED和△CFD中，，
∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．
（2）∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC为等边三角形，∴∠B=60°．
∵∠BED=90°，∴∠BDE=30°，
∴BE=BD．
∵BE=1，∴BD=2，∴BC=2BD=4，
∴△ABC的周长为12．
20．（8分）（2020益阳）“你怎么样，中国便是怎么样；你若光明，中国便不黑暗“.2019年，一场新冠肺炎牵扯着人们的心灵，各界人士齐心协力，众志成城. 争对资源急需问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产. 为了应对疫情，已复产的工人加班生产，有原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变. 原来每天生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套.
（1）求原来生产防护服的工人有多少人？
（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时. 公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要多少天才能完成任务？










【答案】（1）原来生产防护服的工人有20人；（2）至少还需要生产8天才能完成任务．
【解析】（1）设原来生产防护服的工人有x人，
由题意得，，
解得：x=20.
经检验，x=20是原方程的解.
答：原来生产防护服的工人有20人.
（2）设还需要生产y天才能完成任务.
（套），
即每人每小时生产5套防护服.
由题意得，10×650+20×5×10y≥14500，
解得y≥8.
答：至少还需要生产8天才能完成任务.
21．（8分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．试探索BF与CF的数量关系，写出你的结论并证明．

【答案】BF=2CF．
【解析】BF=2CF．
证明：连接AF，

∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°，
∵EF垂直平分AC，
∴AF=CF，
∴∠CAF=∠C=30，
∴∠AFB=∠CAF+∠C=60°，
∴∠BAF=180°-∠B-∠AFB=90°，
∴BF=2AF，
∴BF=2CF．
22．（8分）(2020南京模拟)如图，△ABC中

（1）若∠ABC＝45°，P为BC边上一点，且PC＝2PB，∠APC＝60°，求∠ACB的大小．
（2）如图，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α．
①连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点，求∠AFG的度数．
②如图，DC、BE交于点M，连接AM，直接写出∠AMC与α的数量关系是　 　．
【答案】（1）∠ACB＝75°；（2）①∠AFG＝90°﹣α；②∠AMC＝90°+α.
【解析】（1）过C作AP的垂线CD，垂足为点D，连接BD：
∵△PCD中，∠APC＝60°，
∴∠DCP＝30°，PC＝2PD，
∵PC＝2PB，
∴BP＝PD，
∴△BPD是等腰三角形，∠BDP＝∠DBP＝30°，
∵∠ABP＝45°，
∴∠ABD＝15°，
∵∠BAP＝∠APC﹣∠ABC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ABD＝∠BAD＝15°，
∴BD＝AD，
∵∠DBP＝45°﹣15°＝30°，∠DCP＝30°，
∴BD＝DC，
∴△BDC是等腰三角形，
∵BD＝AD，
∴AD＝DC，
∵∠CDA＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ACB＝∠DCP+∠ACD＝75°；
（2）①连接AG，

∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ADC和△ABE中
AD=AB，∠DAC＝∠BAE，AC=AE，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC＝BE，∠ACD＝∠AEB，
∵G、F分别是DC与BE的中点，
∴EF＝CG，
在△ACG和△AEF中
AC=AE，∠ACD＝∠AEB，EF＝CG，
∴△ACG≌△AEF（SAS），
∴AG＝AF，∠CAG＝∠EAF，
∴∠AGF＝∠AFG，∠CAG﹣∠CAF＝∠EAF﹣∠CAF，
∴∠EAC＝∠GAF，
∵∠EAC＝α，
∴∠GAF＝α，
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF＝180°，
∴∠AFG＝90°﹣α；
②∠AMC＝90°+α．
23．（10分）已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
（1）如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC；
（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；
（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画出图表示．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）若O点在△ABC的外部，∠ABC=∠ACB不一定成立；当∠A的平分线和BC的垂直平分线不重合时，此时∠ABC和∠ACB不相等．
【解析】（1）过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
由题意知，

在Rt△OEB和Rt△OFC中，
，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
由题意知，OE=OF．∠BEO=∠CFO=90°，
∵在Rt△OEB和Rt△OFC中，
，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠OBE=∠OCF，
又∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（3）不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时AB=AC，否则AB≠AC．
如图：

24．（10分）在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM.
①依题意将图2补全；②小明通过观察、实验，提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：要证PA=PM，只需证△APM是等边三角形．
想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证PA=PM，只需证△ANP≌△PCM.……
请你参考上面的想法，帮助小明证明PA=PM（一种方 法即可）．

【答案】（1）80°；（2）见解析
【解析】（1）∵AP=AQ，∴∠APQ=∠AQP，∴∠APB=∠AQC，
又∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°，∴∠BAP=∠CAQ，
∵∠BAP=20°，∴∠CAQ=20°，∴∠AQB=∠CAQ＋∠C=80°；
（2）①如图．

②利用想法1证明：∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴∠APB=∠AQC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAP=∠CAQ，
∵点Q关于直线AC的对称点为M，
∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，
∴∠MAC=∠BAP，
∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，
∴∠PAM=60°，（10分）
∵AP=AQ，
∴AP=AM，
∴△APM是等边三角形，
∴AP=PM．
或利用想法2证明：如图，在AB上取一点N，使BN=BP，连接PN，CM，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，BA=BC=AC，
∴△BPN是等边三角形，AN=PC，BP=NP，∠BNP=60°，
∴∠ANP=120°，由轴对称知CM=CQ，∠ACM=∠ACB=60°，
∴∠PCM=120°，
由（1）知，∠APB=∠AQC，
∴△ABP≌△ACQ（AAS）．
∴BP=CQ，∴NP=CM，
∴△ANP≌△PCM（SAS），
∴AP=PM．