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数学北师大版第四章 三角形综合与测试优秀复习ppt课件
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这是一份数学北师大版第四章 三角形综合与测试优秀复习ppt课件，共21页。PPT课件主要包含了要点梳理，一三角形的有关性质，顺次相接，△ABC，锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，不等边三角形，等腰三角形，三角形的三边关系等内容，欢迎下载使用。
1.不在同一直线上的三条线段首尾_________所组 成的图形叫作三角形. 以点A，B，C为定点的三 角形记为______，读作“三角形ABC”.
2.三角形三个内角的和等于______.
三角形任意两边之和大于第三边.三角形任意两边之差小于第三边.
4.直角三角形的两个锐角互余.
6.三角形的三条角平分线交于一点； 三角形三条中线交于一点； 三角形的三条高所在的直线交于一点.
1.全等三角形的性质：
对应角相等，对应边相等
3.三角形的稳定性的依据：
例1 已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
解： 由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边，得8－3
【方法归纳】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
例2 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：因为∠A＝50°，∠B＝70°， 所以∠ACB＝180°－∠A－∠B ＝180°－50° －70°＝60°. 因为CD是∠ACB的平分线， 所以∠BCD＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°. 因为DE∥BC， 所以∠EDC＝∠BCD＝30°， ∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°.
2.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B－∠A=∠C-∠B，则∠B= .
例3 如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________．
解析：因为点D是AC的中点，所以AD＝ AC， 因为S△ABC＝12， 所以S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6. 因为EC＝2BE，S△ABC＝12， 所以S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4. 因为S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF) ＝S△ADF－S△BEF， 所以S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
3.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数是 ，∠FBC的度数是 .
4.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°，那么∠A的度数是 .
例4 已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，试说明：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知）， BC＝CB（公共边）， ∠ACB＝∠DBC（已知），
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
【分析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角 形全等”进行判定．
例5 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,试说明：∠DEC=∠FEC.
欲证∠DEC=∠FEC
由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE
只需要证明△DEG ≌ △DCG.
解： ∵CE⊥AD, ∴ ∠AGE=∠AGC=90 °.
在△AGE和△AGC中，
∴ △AGE ≌ △AGC(ASA)，
在△DGE和△DGC中，
∴△DGE ≌△DGC(SAS).
∴∠DEG=∠DCG.
∴∠FEC=∠ECD，
∴∠DEG =∠FEC.
利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.
5.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=DF,BC=EF B. ∠A= ∠ D, ∠ B= ∠ E,AC=DFC.AB=DE,AC=DF, ∠A= ∠D D.AB=DE,BC=EF, ∠ C= ∠ F
例6 如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3= ∠C,求∠1的度数.
解：设∠1=x,根据题意可得∠2=x. 因为∠3=∠1+∠2，∠4=∠2， 所以∠3=2x, ∠4=x， 又因为∠3=∠C，所以∠C=2x. 在△ABC中，x+2x+2x=180 °, 解得x=36°, 所以∠1=36 °.
在角的求值问题中，常常利用内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
例7 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则三角形的周长是 ．
解析：由于没有指明等腰三角形的腰和底， 所以要分两种情况讨论： 第一种10为腰，则6为底，此时周长为26； 第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.
如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论： ∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.
1.不在同一直线上的三条线段首尾_________所组 成的图形叫作三角形. 以点A，B，C为定点的三 角形记为______，读作“三角形ABC”.
2.三角形三个内角的和等于______.
三角形任意两边之和大于第三边.三角形任意两边之差小于第三边.
4.直角三角形的两个锐角互余.
6.三角形的三条角平分线交于一点； 三角形三条中线交于一点； 三角形的三条高所在的直线交于一点.
1.全等三角形的性质：
对应角相等，对应边相等
3.三角形的稳定性的依据：
例1 已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
解： 由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边，得8－3
【方法归纳】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
例2 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：因为∠A＝50°，∠B＝70°， 所以∠ACB＝180°－∠A－∠B ＝180°－50° －70°＝60°. 因为CD是∠ACB的平分线， 所以∠BCD＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°. 因为DE∥BC， 所以∠EDC＝∠BCD＝30°， ∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°.
2.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B－∠A=∠C-∠B，则∠B= .
例3 如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________．
解析：因为点D是AC的中点，所以AD＝ AC， 因为S△ABC＝12， 所以S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6. 因为EC＝2BE，S△ABC＝12， 所以S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4. 因为S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF) ＝S△ADF－S△BEF， 所以S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
3.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数是 ，∠FBC的度数是 .
4.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°，那么∠A的度数是 .
例4 已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，试说明：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知）， BC＝CB（公共边）， ∠ACB＝∠DBC（已知），
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
【分析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角 形全等”进行判定．
例5 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,试说明：∠DEC=∠FEC.
欲证∠DEC=∠FEC
由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE
只需要证明△DEG ≌ △DCG.
解： ∵CE⊥AD, ∴ ∠AGE=∠AGC=90 °.
在△AGE和△AGC中，
∴ △AGE ≌ △AGC(ASA)，
在△DGE和△DGC中，
∴△DGE ≌△DGC(SAS).
∴∠DEG=∠DCG.
∴∠FEC=∠ECD，
∴∠DEG =∠FEC.
利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.
5.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=DF,BC=EF B. ∠A= ∠ D, ∠ B= ∠ E,AC=DFC.AB=DE,AC=DF, ∠A= ∠D D.AB=DE,BC=EF, ∠ C= ∠ F
例6 如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3= ∠C,求∠1的度数.
解：设∠1=x,根据题意可得∠2=x. 因为∠3=∠1+∠2，∠4=∠2， 所以∠3=2x, ∠4=x， 又因为∠3=∠C，所以∠C=2x. 在△ABC中，x+2x+2x=180 °, 解得x=36°, 所以∠1=36 °.
在角的求值问题中，常常利用内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
例7 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则三角形的周长是 ．
解析：由于没有指明等腰三角形的腰和底， 所以要分两种情况讨论： 第一种10为腰，则6为底，此时周长为26； 第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.
如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论： ∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.
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