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冀教版八年级下册22.5 菱形优秀ppt课件
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这是一份冀教版八年级下册22.5 菱形优秀ppt课件，共13页。PPT课件主要包含了问题思考，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
什么样的四边形是平行四边形?它有哪些判定方法?
平行四边形的判定方法应该从三个方面分析:(1)边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(2)角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(3)对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
那么菱形的判定方法是什么呢?
活动1 利用菱形的定义判定
菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的一种判定方法.即:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
活动2 菱形的判定(1)
画两条等长的线段AB,AD,分别以B,D为圆心,AB为半径画弧,两弧相交于点C,连接BC,CD,得到四边形ABCD,猜一猜,这是什么四边形?
通过探究,容易得到: 的四边形是菱形.
已知:如图所示,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证四边形ABCD是菱形.
证明:∵AB=CD,BC=AD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.
活动3 菱形的判定(2)
已知:如图所示,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.求证:▱ABCD是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.∴四边形ABCD是菱形.
【思考】 从上述证明中,你得出什么结论?
菱形的判定定理:两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(教材第145页例2)已知:如图所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE∥AC,交AB于点E,DF∥AB,交AC于点F.求证四边形AEDF是菱形.
分析:先证明四边形AEDF是平行四边形,再利用菱形的定义进行判定.
证明:∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形.∴∠1=∠3.
又∵∠1=∠2,∴∠2=∠3.∴AE=DE.∴四边形AEDF是菱形.
(补充)已知:如图所示,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB= ,OA=2,OD=1.求证▱ABCD是菱形.
证明:在△AOB中,AB= ,OA=2,OD=1,∴AD2=AO2+OD2.∴△AOD是直角三角形,∠AOD=90°.∴AC⊥BD.∴平行四边形ABCD是菱形.
[知识拓展] (1)菱形的判定可以从两个图形(四边形或平行四边形)考虑,利用三种思路(边、角、对角线)进行证明.(2)菱形的性质定理和判定定理是互逆定理.
1.(2016·遵义中考)如图所示,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若增加一个条件,使▱ABCD成为菱形,下列给出的条件不正确的是( )A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠BAC=∠DAC
解析:A.根据菱形的定义可得,当AB=AD时▱ABCD是菱形;B.根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知B正确;C.对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是菱形,命题错误;D.当∠BAC=∠DAC时,在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC,∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC,∴▱ABCD是菱形.故选C.
2.如图所示,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的:分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径画弧,两弧相交于点C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知,四边形ADBC一定是( )A.矩形 B.菱形C.正方形D.等腰梯形
解析:由题意知AC=AD=BD=BC,∴四边形ADBC一定是菱形.故选B.
3.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是( )A.等腰梯形B.正方形C.矩形 D.菱形
解析:等边三角形各边长度相等,而四条边相等的四边形是菱形.故选D.
4.如图所示,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,且AH∶EH=12∶13,又AE=5,则四边形EFGH的面积为( )A.240B.60C.120D.169
解析:由题意易知△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH,∴EH=EF=FG=HG,∴四边形EFGH是菱形,其对角线的长等于矩形的长与宽.在Rt△AEH中,设AH=12k,EH=13k,则AE= =5k=5,∴k=1,∴AH=12,∴AD=24,AB=10,∴S菱形EFGH= AD×AB= ×24×10=120.故选C.
5.如图所示,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=4,则四边形CODE的周长是 .
解析:∵CE∥BD,DE∥AC,∴四边形CODE是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴OC= AC=2,OD= BD,AC=BD,∴OC=OD=2,∴四边形CODE是菱形,∴DE=CE=OC=OD=2,∴四边形CODE的周长=2×4=8.故填8.
6.如图所示,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD于点G.求证四边形ACGF是菱形.
解析:根据平行线的性质得到∠2=∠3,根据角平分线的定义得到∠1=∠2,由等量代换得到∠1=∠3.∴AF=AC,从而利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证得结论.
证明:∵AF∥CD,FG∥AC,∴四边形ACGF是平行四边形,∴∠2=∠3.∵CE平分∠ACD,∴∠1=∠2.∴∠1=∠3,∴AC=AF,∴四边形ACGF是菱形.
7.如图所示,已知BD平分∠ABF,且交AE于点D,(1)求作∠BAE的平分线AP(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2)设AP交BD于点O,交BF于点C,连接CD,当AC⊥BD时.求证四边形ABCD是菱形.
解析:(1)根据角平分线的作法作出∠BAE的平分线AP;(2)先证明△ABO≌△CBO,得出AO=CO,AB=CB,再证明△ABO≌△ADO,得出BO=DO.由对角线互相平分的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ABCD是菱形.
解:(1)如图(1)所示.
什么样的四边形是平行四边形?它有哪些判定方法?
平行四边形的判定方法应该从三个方面分析:(1)边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(2)角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(3)对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
那么菱形的判定方法是什么呢?
活动1 利用菱形的定义判定
菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的一种判定方法.即:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
活动2 菱形的判定(1)
画两条等长的线段AB,AD,分别以B,D为圆心,AB为半径画弧,两弧相交于点C,连接BC,CD,得到四边形ABCD,猜一猜,这是什么四边形?
通过探究,容易得到: 的四边形是菱形.
已知:如图所示,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证四边形ABCD是菱形.
证明:∵AB=CD,BC=AD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.
活动3 菱形的判定(2)
已知:如图所示,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.求证:▱ABCD是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.∴四边形ABCD是菱形.
【思考】 从上述证明中,你得出什么结论?
菱形的判定定理:两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(教材第145页例2)已知:如图所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE∥AC,交AB于点E,DF∥AB,交AC于点F.求证四边形AEDF是菱形.
分析:先证明四边形AEDF是平行四边形,再利用菱形的定义进行判定.
证明:∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形.∴∠1=∠3.
又∵∠1=∠2,∴∠2=∠3.∴AE=DE.∴四边形AEDF是菱形.
(补充)已知:如图所示,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB= ,OA=2,OD=1.求证▱ABCD是菱形.
证明:在△AOB中,AB= ,OA=2,OD=1,∴AD2=AO2+OD2.∴△AOD是直角三角形,∠AOD=90°.∴AC⊥BD.∴平行四边形ABCD是菱形.
[知识拓展] (1)菱形的判定可以从两个图形(四边形或平行四边形)考虑,利用三种思路(边、角、对角线)进行证明.(2)菱形的性质定理和判定定理是互逆定理.
1.(2016·遵义中考)如图所示,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若增加一个条件,使▱ABCD成为菱形,下列给出的条件不正确的是( )A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠BAC=∠DAC
解析:A.根据菱形的定义可得,当AB=AD时▱ABCD是菱形;B.根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知B正确;C.对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是菱形,命题错误;D.当∠BAC=∠DAC时,在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC,∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC,∴▱ABCD是菱形.故选C.
2.如图所示,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的:分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径画弧,两弧相交于点C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知,四边形ADBC一定是( )A.矩形 B.菱形C.正方形D.等腰梯形
解析:由题意知AC=AD=BD=BC,∴四边形ADBC一定是菱形.故选B.
3.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是( )A.等腰梯形B.正方形C.矩形 D.菱形
解析:等边三角形各边长度相等,而四条边相等的四边形是菱形.故选D.
4.如图所示,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,且AH∶EH=12∶13,又AE=5,则四边形EFGH的面积为( )A.240B.60C.120D.169
解析:由题意易知△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH,∴EH=EF=FG=HG,∴四边形EFGH是菱形,其对角线的长等于矩形的长与宽.在Rt△AEH中,设AH=12k,EH=13k,则AE= =5k=5,∴k=1,∴AH=12,∴AD=24,AB=10,∴S菱形EFGH= AD×AB= ×24×10=120.故选C.
5.如图所示,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=4,则四边形CODE的周长是 .
解析:∵CE∥BD,DE∥AC,∴四边形CODE是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴OC= AC=2,OD= BD,AC=BD,∴OC=OD=2,∴四边形CODE是菱形,∴DE=CE=OC=OD=2,∴四边形CODE的周长=2×4=8.故填8.
6.如图所示,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD于点G.求证四边形ACGF是菱形.
解析:根据平行线的性质得到∠2=∠3,根据角平分线的定义得到∠1=∠2,由等量代换得到∠1=∠3.∴AF=AC,从而利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证得结论.
证明:∵AF∥CD,FG∥AC,∴四边形ACGF是平行四边形,∴∠2=∠3.∵CE平分∠ACD,∴∠1=∠2.∴∠1=∠3,∴AC=AF,∴四边形ACGF是菱形.
7.如图所示,已知BD平分∠ABF,且交AE于点D,(1)求作∠BAE的平分线AP(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2)设AP交BD于点O,交BF于点C,连接CD,当AC⊥BD时.求证四边形ABCD是菱形.
解析:(1)根据角平分线的作法作出∠BAE的平分线AP;(2)先证明△ABO≌△CBO,得出AO=CO,AB=CB,再证明△ABO≌△ADO,得出BO=DO.由对角线互相平分的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ABCD是菱形.
解:(1)如图(1)所示.
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