1.3.1单调性与最大（小）值-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版必修1）

专题1.3.1单调性与最大（小）值

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．函数得单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令： （），单调递减区间是。

2．已知函数，则函数有（    ）

A．最小值 ，无最大值 B．最大值 ，无最小值

C．最小值1，无最大值 D．最大值1，无最小值

【答案】D

【解析】∵f（x）的定义域为（﹣∞，]，设t，则t，且x，∴f（x）＝g（t）tt2+t（t﹣1）2+1，t，∴g（t）≤g（1），即g（t）≤1，∴f（x）的最大值1，无最小值.

3．下列函数的定义域均为，对于任意不相等的正数，，均有 成立的函数有（    ）

①，②，③．

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】A

【解析】∵对于任意不相等的正数，，均有，∴在上是增函数．①在上是增函数；②在是递增，在上也递增；③，由对勾函数知在上是增函数，但在上函数是常数函数，不满足单调性定义．因此在上不是增函数．只有①②满足．

4．（2020·江西渝水新余一中）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，二次函数的对称轴方程为,对于定义域为,值域为,由二次函数的性质可知.

5．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是(　　)

A．(－∞，0) B． C．[0，＋∞) D．

【答案】B

【解析】.

画出函数的图象，如图.

由图易知原函数[0，]上单调递增.

6．用表示两个数中的最小值．设，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，函数，因当时，函数为减函数；当时，函数为增函数.所以，当时，函数取最大值，最大值为.

7．若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（    ）

A．      B．    C．    D．

【答案】A

【解析】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.

8．函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵函数f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1的对称轴为x＝2，此时，函数取得最小值为1，当x＝0或x＝4时，函数值等于5．且f（x）＝x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，∴实数m的取值范围是[2，4]。

9．（2020·云南省玉溪第一中学）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，在区间上单调递增,

,.

10．已知定义在上的函数在上是减函数，当时，的最大值与最小值之差为，则的最小值为（   ）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【解析】∵f（x）在（-∞，1]上是减函数，∴-a≥1，即a≤-1．∴f（x）在[a+1，1]上的最大值为f（a+1）=3a2+4a+4，最小值为f（1）=4+2a，∴ ，∴g（a）在（-∞，-1]上单调递减，∴g（a）的最小值为g（-1）=1．
11．函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围(   )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】当时，在区间上单调递减，故舍去，，此时，又因为在区间上单调递减，而在区间上单调递增，须有，即。

12．若函数在上最小值为-1，则（    ）

A．1或2 B．1 C．1或 D．-2

【答案】B

【解析】函数图象的对称轴为，图象开口向上，

（1）当时，在上单调递增．则，由，得，不符合；

（2）当时．则，由，得或，，符合；

（3）当时，函数在上单调递减，，由，得，，不符合，综上可得．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．函数的最小值为______。

【答案】

【解析】由解得，故函数定义域为，又因为为增函数，为增函数，故的最小值为，故答案为.

14．函数的单调减区间为______．

【答案】和

【解析】作出函数的图象如下图所示：

由图象可知，函数的单调减区间为和.

15．（2020·河北保定高一期末）设函数则不等式的解集为____________.

【答案】

【解析】当时，单调递增，且；当时，单调递增，且.

所以函数在上单调递增.于是等价于，则，，解得.

16．（2020·浙江诸暨高一期末）已知函数，对任意两个不等实数，都有，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【解析】因为,故将两边同时除以得.即在为增函数.故为减函数.又其对称轴为且在为增函数.故.

三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知函数.

（1）用定义证明在区间上是增函数.

（2）求该函数在区间上的最大值与最小值.

【答案】（1）证明见解析；（2），.

【解析】（1）任取，，且，则.

∵，∴，，∵，即，

故函数在区间上是增函数.

（2）由（1）知函数在区间上是增函数，

∴，.

18．（2020·馆陶县第一中学）已知函数．

（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；

（2）当，时，不等式恒成立，求实数的范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）函数 的对称轴为，

又函数在上是单调函数，或 ， 解得或．

实数的取值范围为；

（2）当，时，恒成立，即恒成立，

令，恒成立，函数的对称轴，

∴，即，的范围为．

19．已知函数

（1）判断函数的单调性，并用定义法证明；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）在上单调递增（2）

【解析】（1），该函数由向左平移一个单位，再向上平移2个单位即可得到，如图：

由图可知，函数在单增，现证明如下：

设，则，，，，，在上单调递增

（2）若，由在上单调递增，得，即，则实数的取值范围为

20．设集合，集合，且满足.

（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）两集合相等，观察发现不能为，故只有，得，或，
当时，故与对应，所以，如果则必有，不成立，故，；
（2）由（1）得，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.

证明：在上任取，

则，

当时，，，则，即，

此时在上单调递减；当时，，，

则，即，此时在上单调递增；所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，，，

所以函数在区间上的最小值为2，最大值为.