（新高考）2021届高三培优专练19 条件概率与全概率公式解析版
展开培优19 条件概率与全概率公式
一、条件概率的求法
例1：一个袋中装有大小相同的个白球和个黑球，若不放回地依次取两个球，设事件为“第一次取出白球”，事件为“第二次取出黑球”，则概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设事件为“第一次取出白球”，事件为“第二次取出黑球”，
，，
第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率为．
二、全概率公式的应用
例2：有台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第，台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”，
则，且，，两两互斥．根据题意得，，，，．
（1）由全概率公式，
得．
（2）“如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，
就是计算在发生的条件下，事件发生的概率，
，
类似地，可得，．
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一、选择题
1．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为．则在下雨条件下吹东风的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在下雨条件下吹东风的概率为，故选C．
2．根据以往数据统计，某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为，连续天有客人入住的概率为，在该房间第一天有客人入住的条件下，第二天也有客人入住的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设第二天也有客人入住的概率为，根据题意有，解得，故选D．
3．已知正方形，其内切圆与各边分别切于点，，、，连接，，，．现向正方形内随机抛掷一枚豆子，记事件：豆子落在圆内，事件：豆子落在四边形外，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，设正方形的边长为，则圆的半径为，面积为；
正方形的边长为，面积为，
所求的概率为，故选B．
4．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件，“第二次出现正面”为事件，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】“第一次出现正面”：，“两次出现正面”：，
则，故选A．
5．已知，，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据条件概率的定义和计算公式：当时，把公式进行变形，
就得到当时，，故选C．
6．从，，，，，，，，中不放回地依次取个数，事件为“第一次取到的是奇数”，为“第二次取到的是的整数倍”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是的整数倍”，
若第一次取到的为或，第二次有种情况；
若第一次取到的为，，，第二次有种情况，
故共有个事件，
，
由条件概率的定义，故选B．
二、填空题
7．一个口袋中装有个小球，其中红球个，白球个．如果不放回地依次摸出个小球，则在第次摸出红球的条件下，第次摸出红球的概率为________．
【答案】
【解析】，故答案为．
8．某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为_______．
【答案】
【解析】设事件：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”；
事件：“学生丙第一个出场”，对事件，甲和乙都不是第一个出场，
第一类：乙在最后，则优先从中间个位置中选一个给甲，再将余下的个人全排列有种；
第二类：乙没有在最后，则优先从中间个位置中选两个给甲乙，再将余下的个人全排列有种，故总的有．
对事件，此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4人中选一人安排在最后，
再将余下的人全排列有种，
故，故答案为．
9．甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________．
①；②；③事件与事件相互独立；④，，是两两互斥的事件．
【答案】②④
【解析】因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故④正确；
因为，，，所以，故②正确；
同理，，
所以，故①③错误，
故答案为②④．
10．某气象台统计，该地区下雨的概率为，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则_______，__________．
【答案】，
【解析】由已知，，，
∴，，故答案为，．
三、解答题
11．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占．求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．
【答案】．
【解析】如果用与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班，表示是女生．
则根据已知，有，，
而且，，
题目所要求的是，
由全概率公式可知．
12．已知口袋中有个白球和个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取个．
（1）若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；
（2）若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）两次都取得白球的概率．
（2）记事件：第一次取出的是红球；事件：第二次取出的是红球，
则，，
利用条件概率的计算公式，可得．
13．某学校有，两家餐厅，王同学第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为．计算王同学第天去餐厅用餐的概率．
【答案】．
【解析】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，
则，且与互斥．
根据题意得，，，
由全概率公式，得，
因此，王同学第天去餐厅用餐的概率为．
14．张奖券中有张有奖，甲，乙两人不放回的各从中抽张，甲先抽，乙后抽．求：
（1）甲中奖的概率；
（2）乙中奖的概率；
（3）在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）设“甲中奖”为事件，则．
（2）设“乙中奖”为事件，则，
又，，
所以．
（3）因为，，所以
