（新高考）2021届高三培优专练10 解三角形解析版
展开培优10 解三角形
一、利用正弦、余弦定理解三角形
例1：在锐角中，分别是角的对边，已知，若
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】因为，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，所以．
由正弦定理得，，所以，
故选ABD．
二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状
例2：设在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【解析】因为，
所以由正弦定理可得，
，
所以，，所以是直角三角形．
三、与三角形面积有关的问题
例3：的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，
所以，
由余弦定理，所以，
，，故选C．
四、解三角形的实际应用
例4：某市规划一个平面示意图为如下图五边形的一条自行车赛道，，，，，为赛道（不考虑宽度），为赛道内的一条服务通道，
，，．
（1）求服务通道的长度；
（2）当时，赛道的长度？
【答案】（1）5；（2）．
【解析】（1）连接，
在中，由余弦定理得，
．
，，
又，，
在中，．
（2）在中，，，，
由正弦定理得，即，得，
当时，赛道的长度为．
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一、选择题
1．（多选题）的内角A，B，C的对边分别为，已知，，
若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（ ）
A．5 B． C． D．6
【答案】CD
【解析】①，三角形有两解；
②当时，三角形有一解；
③当时，三角形为等腰直角三角形，有一解；
④当时，三角形无解，
故选CD．
2．（多选题）在中，已知，给出下列结论中正确结论是（ ）
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定 B．一定是钝三角形
C． D．若，则的面积是
【答案】BC
【解析】可设的周长为，则由，
可得，，，
又，则，，，
故三角形不确定，A错；
由，为钝角，故B正确；
由正弦定理，故C正确；
由，则，得，故，，，
由，得，的面积是，
故D错，
故选BC．
3．（多选题）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则以下四个结论正确的有（ ）
A．不可能是直角三角形 B．有可能是等边三角形
C．当时，的周长为15 D．当时，的面积为
【答案】CD
【解析】由正弦定理得，
对选项A，若直角，则，
所以存在是直角三角形，故A错误；
对选项B，因为，所以不存在是等边三角形，故B错误；
对选项C，若，则，，的周长为15，故C正确；
对选项D，，解得，，
所以，故D正确，
故选CD．
二、填空题
4．如图，在四边形ABCD中，，，，，则的面积为_________．
【答案】6
【解析】因为，，
所以，
在中，，
所以，
在中，，
又，
所以，
所以的面积为，
故答案为．
5．在中，角，，所对的边分别为，已知，则角 ，若的角平分线交于点，且，则的最小值是______．
【答案】；
【解析】因为，所以，
又，可得，即，
因为，所以．
如图，即，
整理得，
所以，解得，所以，
故答案为；．
6．若的内角满足，则的最小值为________．
【答案】
【解析】由，得，
即，，
所以，
由正弦定理和余弦定理得，
化简得，
（当且仅当时取等号），
所以的最小值为，
故答案为．
三、解答题
7．在中，角，，所对应的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）给出三个条件①，②外接圆半径，③，试从中选择两个可以确定的条件，并求的面积．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）因为，所以，
由正弦定理得，∴，
，．
（2）显然可知当选择条件①②时，不唯一；
当选择条件①③时，唯一，此时，由余弦定理，
即，解得，
所以的面积．
当选择条件②③时，唯一，此时，由正弦定理可知，
由余弦定理，即，
解得，
所以的面积．
8．已知：在中，三个内角、、的对边分别为，，，且，．
（1）当时，求的面积；
（2）当为锐角三角形时，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）∵，，，
∴，∴．
当时，由，得，
又∵，∴．
由余弦定理得，∴，解得或．
当时，的面积；
当时，的面积．
（2）∵为锐角三角形，，
∴，∴．
依题意得，∴，
∴
，
，，，
的取值范围是．
