2019届二轮复习第1讲函数与方程思想学案（全国通用）

第一讲　函数与方程思想


要点一　函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用

[解析]　(1)设f(x)＝ex－x－1，x>0，则f′(x)＝ex－1，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(0)＝0，f(x)>0，∴ex－1>x，即ea－1>A．又y＝ax(0ae，从而ea－1>a>ae.
(2)因为函数f(x)＝log3(9x＋t2)是定义域R上的增函数，且为“优美函数”，则f(x)＝x至少有两个不等实根，由log3(9x＋t2)＝x，得9x＋t2＝3x，所以(3x)2－3x＋t2＝0有两个不等实根．令λ＝3x(λ>0)，则λ2－λ＋t2＝0有两个不等正实根，所以解得－ [答案]　(1)B　(2)C

　函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用技巧
(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得．
(2)求参数的取值范围一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．
(3)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．
[对点训练]
1．(2018·湖南省湘中名校高三联考)若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为(　　)
A．2 B．
C． D．1＋
[解析]　由a，b为正数，且＋＝1，得b＝>0，所以a－1>0，所以＋＝＋＝＋≥2 ＝2，当且仅当＝和＋＝1同时成立，即a＝b＝3时等号成立，所以＋的最小值为2，故选A．
[答案]　A
2．(2018·豫南九校联考)若关于x的方程2－2－|x＋2|＝2＋a有实根，则实数a的取值范围是 ．
[解析]　令f(x)＝2－2－|x＋2|，要使方程f(x)＝2＋a有实根，只需2＋a是f(x)值域内的值，又可知f(x)的值域为[1,2)，∴1≤2＋a<2，解得－1≤a<0.
[答案]　[－1,0)
要点二　函数与方程思想在数列中的应用

[解]　(1)因为a1＝2，a＝a2·(a4＋1)，
又因为{an}是正项等差数列，故d≥0，
所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，
解得d＝2或d＝－1(舍去)，
所以数列{an}的通项公式an＝2n.
(2)因为Sn＝n(n＋1)，
bn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝－＋－＋…＋－
＝－＝
＝，
令f(x)＝2x＋(x≥1)，
则f′(x)＝2－，
当x≥1时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，
即当n＝1时，(bn)max＝，
要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，
则须使k≥(bn)max＝，
所以实数k的最小值为.

　函数与方程思想在数列中的应用技巧
(1)数列的通项与前n项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决．
(2)本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(2)问求出bn的表达式，说明要求bn≤k恒成立时k的最小值，只需求bn的最大值，从而构造函数f(x)＝2x＋(x≥1)，利用函数求解．

[对点训练]
3．已知等比数列{an}的首项为，公比为－，前n项和为Sn，则Sn－的最大值与最小值之和为(　　)
A． B．
C． D．1
[解析]　由等比数列前n项和公式可得Sn＝1－n.
当n为奇数时，Sn＝1＋n，∴1 当n为偶数时，Sn＝1－n，∴＝S2≤Sn<1.
令f(t)＝t－，则函数f(t)在上单调递增，∴当t∈时，－≤f(t)≤，故所求最大值与最小值之和为－＋＝
[答案]　B
4．(2018·长春二模)已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为 ．
[解析]　∵an＋1－an＝2n，∴当n≥2时，an－an－1＝2(n－1)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－2)＋(2n－4)＋…＋2＋33＝n2－n＋33(n≥2)．
又a1＝33＝1－1＋33，故a1满足上式，
∴an＝n2－n＋33(n∈N )，∴＝n＋－1，
令f(x)＝x＋－1(x>0)，则f′(x)＝1－.
令f′(x)＝0，得x＝，
易知当x∈(0，)时，f ′(x)<0，当x∈(，＋∞)时，f ′(x)>0，
∴f(x)在区间(0，)上递减，在区间(，＋∞)上递增，
又5<<6，且f(5)＝5＋－1＝，f(6)＝6＋－1＝，f(5)>f(6)，
∴当n＝6时，有最小值.
[答案]　
要点三　函数与方程思想在解析几何中的应用

[解]　(1)证明：设P(x0，y0)，A，B.
因为PA，PB的中点在抛物线上，
所以y1，y2为方程2＝4·
即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根．
所以y1＋y2＝2y0，
因此，PM垂直于y轴．
(2)由(1)可知
所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，
|y1－y2|＝2.
因此，△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0).
因为x＋＝1(x0<0)，所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]．
因此，△PAB面积的取值范围是.



　函数与方程思想在解析几何中的应用技巧
(1)求圆锥曲线的方程、离心率，通常利用方程的思想建立a，b，c的关系式求解．
(2)在解析几何中，求某个量(直线斜率，直线在x、y轴上的截距，弦长，三角形或四边形面积等)的取值范围或最值问题的关键是利用条件把所求量表示成关于某个变量(通常是直线斜率，动点的横、纵坐标等)的函数，并求出这个变量的取值范围(即函数的定义域)，将问题转化为求函数的值域或最值．

[对点训练]
5．(2018·郑州质检)已知圆M：x2＋y2＝r2(r>0)与直线l1：x－y＋4＝0相切，设点A为圆上一动点，AB⊥x轴于B，且动点N满足 ＝2，设动点N的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)直线l与直线l1垂直且与曲线C交于P，Q两点，求△OPQ(O为坐标原点)面积的最大值．
[解]　(1)设动点N(x，y)，A(x0，y0)，因为AB⊥x轴于B，所以B(x0,0)，
由题意得，r＝＝2，
所以圆M的方程为M：x2＋y2＝4.
因为＝2，所以(0，－y0)＝2(x0－x，－y)，
即
将A(x,2y)代入圆M：x2＋y2＝4中，得动点N的轨迹方程为＋y2＝1.
(2)由题意，设直线l：x＋y＋m＝0，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线l与椭圆C的方程得消去y，得13x2＋8mx＋4m2－4＝0，
Δ＝192m2－4×13(4m2－4)＝16(－m2＋13)>0，解得m2<13，x1＋x2＝－，x1·x2＝.
又点O到直线l的距离d＝，|PQ|＝2|x1－x2|＝，
所以S△OPQ＝··＝≤1，当且仅当m2＝13－m2，即m＝±时，等号成立．
故△OPQ面积的最大值为1.

1.函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．
2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．
3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．

专题跟踪训练(一)
一、选择题
1．若x>y>1,0 A．axby
C．< D．>
[解析]　因为函数y＝ax(0y>1,00)在(0，＋∞)上单调递增，可得ay [答案]　A
2．已知倾斜角为的直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，抛物线C上存在点P与点Q(5,0)关于直线l对称，则p＝(　　)
A． B．1
C．2 D．4
[解析]　由题意，F，设P(x0，y0)，直线PQ的方程为y＝－(x－5)，∴∴3(x0－5)2＝2px0.又x0＋＝5－，∴x0＝3，p＝2，故选C．
[答案]　C
3．(2018·银川模拟)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)
A．4 B．－4
C． D．－
[解析]　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，
即tm·n＋|n|2＝0，
∴t|m n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.
又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，
解得t＝－4.故选B．
[答案]　B
4．(2018·沈阳模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
[解析]　解法一：由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0，根据首项a1＝13可推知数列{an}递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时，Sn最大．故选C．
解法二：设{an}的公差为d，由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n，根据二次函数的性质，知当n＝7时，Sn最大．故选C．
解法三：根据a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n＝＝7时，Sn取得最大值．故选C．
[答案]　C
5．(2018·济南一模)方程m＋＝x有解，则m的最大值为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．－2
[解析]　由原式得m＝x－，设＝t(t≥0)，
则m＝1－t2－t＝－2，
∵m＝－2在[0，＋∞)上是减函数．
∴t＝0时，m的最大值为1，故选A．
[答案]　A
6．(2018·江西七校联考)直线y＝a分别与曲线y＝2(x＋1)，y＝x＋lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为(　　)
A．3 B．2
C． D．
[解析]　当y＝a时，2(x＋1)＝a，所以x＝－1.
设方程x＋lnx＝a的根为t，则t＋lnt＝a，则|AB|＝＝＝.设g(t)＝－＋1(t>0)，则g′(t)＝－＝，令g′(t)＝0，得t＝1，当t∈(0,1)时，g′(t)<0；当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，所以g(t)min＝g(1)＝，所以|AB|≥，所以|AB|的最小值为，故选D．
[答案]　D
二、填空题
7．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是 ．
[解析]　双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，则F(c,0)到这条渐近线的距离为＝c，∴b＝c，∴b2＝c2，又b2＝c2－a2，∴c2＝4a2，∴e＝＝2.
[答案]　2
8．在各项都为正数的等比数列{an}中，已知a1＝2，a＋4a＝4a，则数列{an}的通项公式为an＝ .
[解析]　因为a＋4a＝4a，所以(anq2)2＋4a＝4(anq)2，所以q4－4q2＋4＝0⇒q＝，则an＝2×＝.
[答案]　
9．已知关于x的方程(a－1)x－lnx＋b＝0(a，b∈R，a>1)至多有一个实数根，则a＋b的取值范围为 ．
[解析]　由题可知，直线y＝(a－1)x＋b与曲线y＝lnx至多有一个公共点．当直线与曲线相切时，设切点为(x0，lnx0)，，则曲线y＝lnx在点(x0，lnx0)处的切线方程为y－lnx0＝(x－x0)，所以则a＋b＝＋lnx0，x0>0，构造函数求导易得＋lnx0∈[1，＋∞)．
当直线y＝(a－1)x＋b与曲线y＝lnx相离时，a＋b的值必然大于直线y＝(a－1)x＋b与曲线y＝lnx相切时的值，故a＋b的取值范围为[1，＋∞)．
[答案]　[1，＋∞)
三、解答题
10．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.
(1)求cosB；
(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求B．
[解]　(1)由题设及A＋B＋C＝π，得sinB＝8sin2，
故sinB＝4(1－cosB)．
上式两边平方，结合sin2B＝1－cos2B，
整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，
解得cosB＝1(舍去)，cosB＝.
(2)由cosB＝得sinB＝，
故S△ABC＝acsinB＝aC．
又S△ABC＝2，则ac＝.
由余弦定理及a＋c＝6，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)＝36－2××＝4.
所以b＝2.
11．(2018·深圳调研)已知等差数列{an}的公差d≠0，a1＋a4＝14，且a1，a2，a7成等比数列．
(1)求{an}的通项公式an与前n项和公式Sn；
(2)令bn＝，若{bn}是等差数列，求数列的前n项和Tn的最小值．
[解]　(1)a1＋a4＝2a1＋3d＝14，
由a1，a2，a7成等比数列得a1(a1＋6d)＝(a1＋d)2，整理得
d2＝4a1d，∵d≠0，∴d＝4a1，
由d＝4a1与2a1＋3d＝14联立，解得a1＝1，d＝4，
∴an＝a1＋(n－1)d＝4n－3，Sn＝＝2n2－n.
(2)由(1)知bn＝，∵{bn}为等差数列，
∴2b2＝b1＋b3，代入可解得k＝－或k＝0，
当k＝－时，bn＝2n，则＝，
∴Tn＝＝，
又y＝＝在(0，＋∞)上是增函数，
∴当n＝1时，Tn有最小值.
当k＝0时，bn＝2n－1，
则＝＝，
∴Tn＝
＝，
又y＝＝在(0，＋∞)上是增函数，
∴当n＝1时，Tn取到最小值.
综上，当k＝－时，Tn的最小值为；
当k＝0时，Tn的最小值为.
12．设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．
(1)若＝6，求k的值；
(2)求四边形AEBF面积的最大值．

[解]　(1)依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k>0)．
如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1 故x2＝－x1＝.①
由＝6知x0－x1＝6(x2－x0)，
得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝；
由D在AB上知x0＋2kx0＝2，
得x0＝，所以＝，
化简得24k2－25k＋6＝0，解得k＝或k＝.
(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为
h1＝＝，
h2＝＝.
又|AB|＝＝，
所以四边形AEBF的面积为
S＝|AB|(h1＋h2)
＝··＝
＝2＝2≤2，
当且仅当4k2＝1(k>0)，即当k＝时，上式取等号．
所以S的最大值为2.
即四边形AEBF面积的最大值为2.