初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理教案及反思

这是一份初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理教案及反思，共6页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨，答案与解析，总结升华等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．


2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.


3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.


【要点梳理】


要点一、勾股定理的逆定理


如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.


要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.


（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.


要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形


首先确定最大边（如）.


验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.


要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.


要点三、互逆命题


如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.


要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.


要点四、勾股数


满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.


熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：


3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……


如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.


要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；


（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；


（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；


【典型例题】


类型一、原命题与逆命题


1、写出下列命题的逆命题，并判断其真假：


（1）同位角相等，两直线平行；


（2）如果，那么；


（3）等腰三角形两底角相等；


（4）全等三角形的对应角相等．


（5）对顶角相等．


（6）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．


【思路点拨】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，判断一个命题为真命题要经过证明，是假命题只需举出反例说明即可．


【答案与解析】


解：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题．


（2）逆命题是：如果，那么，它是假命题．


（3）逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，它是真命题．


（4）逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，它是假命题．


（5）逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，它是假命题．


（6）逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题．


【总结升华】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，可以借助“如果……那么”分清题设和结论．每一个命题都有逆命题，其中有真命题，也有假命题．


举一反三：


【变式】下列定理中，有逆定理的个数是（ ）


①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三边满足，则该三角形是直角三角形；③全等三角形对应角相等；④若，则．


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


【答案】B；


提示：①的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；②的逆命题是：若三角形是直角三角形，则三边满足（为斜边）；③但对应角相等的两个三角形不一定全等；④若，与不一定相等，所以③、④的逆命题是假命题，不可能是定理．


类型二、勾股定理逆定理的应用


2、如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．





【答案与解析】


解：∵ AB⊥AD，∴ ∠A＝90°，


在Rt△ABD中，．


∴ BD＝4，


∴ ，可知∠ADB＝30°，


在△BDC中，，，


∴ ，∴ ∠BDC＝90°，


∴ ∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝30°+90°＝120°．


【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理．


举一反三：


【变式1】△ABC三边满足，则△ABC是（ ）


A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形


【答案】D；


提示：由题意，，


因为，所以△ABC为直角三角形.





【变式2】如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．





【答案】


解：连接BD．∵ CD⊥CP，且CD＝CP＝2，


∴ △CPD为等腰直角三角形，即∠CPD＝45°．


∵ ∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°，


∴ ∠ACP＝∠BCD．


∵ CA＝CB，


∴ △CAP≌△CBD(SAS)，


∴ DB＝PA＝3．


在Rt△CPD中，．


又∵ PB＝1，则．


∵ ，


∴ ，


∴ △DPB为直角三角形，且∠DPB＝90°，


∴ ∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°．


3、（2015春•信丰县校级期中）如图，已知在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C关系并加以证明．





【思路点拨】连接AC，然后根据勾股定理求出AC的值，然后根据勾股定理的逆定理判断△ADC为Rt△，然后根据四边形的内角和定理即可得到∠A与∠C关系．


【答案与解析】


证明：猜想∠A与∠C关系为：∠A+∠C=180°．


连结AC，





∵∠ABC=90°，


∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：


AC==25cm，


∵AD2+DC2=625=252=AC2，


∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，


∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，


∴∠DAB+∠BCD=180°，


即∠A+∠C=180°．


【总结升华】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是：根据勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形．


举一反三：


【变式】（2015秋•埇桥区校级月考）下列各组数中，全是勾股数的一组是（ ）


A．2，3，4；6，8，10；5，12，13


B．3，4，5；10，24，26；7，24，25


C．，，；8，15，17；30，40，50


D．0.4，1.2，1.3；6，8，10；9，40，41


【答案】B；


解：A、2+3≠4，不是勾股数，此选项错误；


B、3+4=5，10+24=26，7+24=25，此选项正确；


C、，，不是勾股数，此选项错误；


D、0.4，1.2，1.3不是勾股数，此选项错误；


故选B．


类型三、勾股定理逆定理的实际应用


4、如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？





【答案与解析】


解：∵ ，


∴ △ABC为直角三角形．∴ ∠ABC＝90°．


又BD⊥AC，可设CD＝，


∴


①－②得，


解得．∴ ≈0.85(h)＝51(分)．


所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．


【总结升华】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．