中考数学压轴题及答案40例第7部分

中考数学压轴题及答案40例（7）

28.如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，），B（－，），C（1，0），∠ABC＝90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′，求证：四边形AOCB′是矩形，并判断点B′是否在（1）的抛物线上；

（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

解：（1）∵抛物线的顶点为D（0，）

∴可设抛物线的解析式为y＝ax 2＋．····························1分

∵B（－，）在抛物线上

∴a(－)2＋＝，∴a＝．·························3分

∴抛物线的解析式为y＝x 2＋．···················5分

（2）∵B（－，），C（1，0）

∴BC＝＝

又B′C＝BC，OA＝，∴B′C＝OA．·······························6分

∵AC＝＝＝2

∴AB＝＝＝1

又AB′＝AB，OC＝1，∴AB′＝OC．·······························7分

∴四边形AOCB′是矩形．······································8分

∵B′C＝，OC＝1

∴点B′ 的坐标为（1，）······································9分

将x＝1代入y＝x 2＋得y＝

∴点B′ 在抛物线上．········································10分

（3）存在·····················································11分

理由如下：

设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则

     解得

∴直线AB的解析式为y＝·····································12分

∵P、F分别在直线AB和抛物线上，且PF∥AD

∴设P（m，），F（m，m 2＋）

∴PF＝()－(m 2＋)＝－m 2＋＋

AD＝＝

若四边形PADF是平行四边形，则有PF＝AD．

即－m 2＋＋＝

解得m1＝0（不合题意，舍去），m2＝．·····························13分

当m＝时，＝×＋＝．

∴存在点P（，），使四边形PADF是平行四边形．················14分

29.如图1，平移抛物线F1：y＝x 2后得到抛物线F2．已知抛物线F2经过抛物线F1的顶点M和点A（2，0），且对称轴与抛物线F1交于点B，设抛物线F2的顶点为N．

（1）探究四边形ABMN的形状及面积（直接写出结论）；

（2）若将已知条件中的“抛物线F1：y＝x 2”改为“抛物线F1：y＝ax 2”（如图2），“点A（2，0）”改为“点A（m，0）”，其它条件不变，探究四边形ABMN的形状及其面积，并说明理由；

（3）若将已知条件中的“抛物线F1：y＝x 2”改为“抛物线F1：y＝ax 2＋c”（如图3），“点A（2，0）”改为“点A（m，c）”其它条件不变，求直线AB与轴的交点C的坐标（直接写出结论）．

解：（1）四边形ABMN是正方形，其面积为2．·······························1分

（2）四边形ABMN是菱形．当m＞0时，四边形ABMN的面积为；当＜0时，四边形ABMN的面积为-．              2分

（说明：如果没有说理过程，探究的结论正确的得2分）

理由如下：

∵平移抛物线F1后得到抛物线F2，且抛物线F2经过原点O．

∴设抛物线F2的解析式为y＝ax 2＋bx．

∵抛物线F2经过点A（m，0），∴am 2＋bm＝0．

由题意可知m≠0，∴b＝－am．

∴抛物线F2的解析式为y＝ax 2－amx．··························3分

∴y＝a(x－)2－

∴抛物线F2的对称轴为直线x＝，顶点N（，－）．·················4分

∵抛物线F2的对称轴与抛物线F1的交点为B，∴点B的横坐标为．

∵点B在抛物线F1：y＝ax 2上

∴yB＝a()2＝··············································5分

设抛物线F2的对称轴与x轴交于点P，如图1．

∵a＞0，∴BP＝．

∵顶点N（，－），∴NP＝|－|＝．

∴BP＝NP．·································6分

∵抛物线是轴对称图形，∴OP＝AP．

∴四边形ABMN是平行四边形．··················7分

∵BN是抛物线F2的对称轴，∴BN⊥OA．

∴四边形ABMN是菱形．······································8分

∵BN＝BP＋NP，∴BN＝．

∵四边形ABMN的面积为×OA·BN＝×|m|×

∴当m＞0时，四边形ABMN的面积为×m×＝．···················9分

当m＜0时，四边形ABMN的面积为×(－m)×＝－．···············10分

（3）点C的坐标为（0，＋c）（参考图2）． 

30.如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；

（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋1．

∵抛物线经过原点，∴a(0－2)2＋1＝0，∴a＝－．

∴抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋1＝－x 2＋x．·················3分

（2）△AOB和所求△MOB同底不等高，若S△MOB ＝3S△AOB ，则△MOB的高是△AOB高的3倍，

即M点的纵坐标是－3．······································5分

∴－x 2＋x＝－3，整理得x 2－4x－12＝0，解得x1＝6，x2＝－2．

∴满足条件的点有两个：M1(6，－3)，M2(－2，－3)··············7分

（3）不存在．··················································8分

理由如下：

由抛物线的对称性，知AO＝AB，∠AOB＝∠ABO．

若△OBN∽△OAB，则∠BON＝∠BOA＝∠BNO．

设ON交抛物线的对称轴于A′ 点，则A′ (2，－1)．

∴直线ON的解析式为y＝－x．

由x＝－x 2＋x，得x1＝0，x2＝6．

∴N(6，－3)．

过点N作NC⊥x轴于C．

在Rt△BCN中，BC＝6－4＝2，NC＝3

∴NB＝＝．

∵OB＝4，∴NB≠OB，∴∠BON≠∠BNO，∴△OBN与△OAB不相似．

同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．

∴在x轴下方的抛物线上不存在点N，使△OBN与△OAB相似．·······10分

31.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

（1）如图1，过点B作BM⊥x轴于M．

由旋转性质知OB＝OA＝2．

∵∠AOB＝120°，∴∠BOM＝60°．

∴OM＝OB·cos60°＝2×＝1，BM＝OB·sin60°＝2×＝．

∴点B的坐标为(1，)．·························1分

（2）设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为y＝ax 2＋bx＋c

∵抛物线过原点，∴c＝0．

∴     解得

∴所求抛物线的解析式为y＝x 2＋x．···························3分

（3）存在．···················································4分

如图2，连接AB，交抛物线的对称轴于点C，连接OC．

∵OB的长为定值，∴要使△BOC的周长最小，必须BC＋OC的长最小．

∵点A与点O关于抛物线的对称轴对称，∴OC＝AC．

∴BC＋OC＝BC＋AC＝AB．

由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时BC＋OC最小，点C的位置即为所求．

设直线AB的解析式为y＝kx＋m，将A(－2，0)，B(1，)代入，得

     解得

∴直线AB的解析式为y＝x＋．

抛物线的对称轴为直线x＝＝－1，即x＝－1．

将x＝－1代入直线AB的解析式，得y＝×(－1)＋＝．

∴点C的坐标为(－1，)．·····································6分

（4）△PAB有最大面积．········································7分

如图3，过点P作y轴的平行线交AB于点D．

∵S△PAB ＝S△PAD＋S△PBD

＝(yD－yP)(xB－xA)

＝[(x＋)－(x 2＋x)](1＋2)

＝－x 2－x＋

＝－(x＋)2＋

∴当x＝－时，△PAB的面积有最大值，最大值为．················8分

此时yP＝×(－)2＋×(－)＝－．

∴此时P点的坐标为(－，－)．································9分