中考压轴题第15部分 圆 学案

1．（2009•上海）在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD．
（1）求b的值和点D的坐标；
（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．













2．已知：如图所示，直线l的解析式为y=x﹣3，并且与x轴、y轴分别相交于点A、B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位/每秒的速度向x轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线l相切；
（3）在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以0.5个单位/秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多长时间？










3．如图甲，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为2个单位长度．点P为直线y=﹣x+8上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．
（1）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；
（2）求点P的坐标；
（3）如图乙，若直线y=﹣x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值；
（4）向右移动⊙O（圆心O始终保持在x轴上），试求出当⊙O与直线y=﹣x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．
















4．（2002•潍坊）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13厘米，BC=16厘米，CD=5厘米，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2厘米/秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．
（1）求⊙O的直径；
（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积；
（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

　








5．（2012•梁子湖区校级自主招生）等腰直角△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．
（1）当△ABC的边（BC边除外）与圆第一次相切时，点B移动了多少距离？
（2）若在△ABC移动的同时，⊙O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？
（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻，△ABC与⊙O的公共部分等于⊙O的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由．



　












6．（2011•崇左）如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．
（1）求证：△ODM∽△MCN；
（2）设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；
（3）在点O的运动过程中，设△CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？

　















7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、B．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）过点B作⊙M的切线l，求直线l的解析式；
（3）∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标和线段OE的长．


















8．如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD=60°，点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求C点的坐标；
（2）求直线AC的函数关系式；
（3）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切？

　













9．（2011•泰兴市校级二模）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC=x，点P到AB的距离为y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）试确定Rt△ABC内切圆I的半径，并探求x为何值时，直线PQ与这个内切圆I相切？
（3）试判断以P为圆心，半径为y的圆与⊙I能否相切？若能，请求出相应的x的值；若不能，请说明理由．
　















10．（2010•楚雄州）已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（﹣4，0）．
（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；
（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
　













11．（2010•红河州）如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．
（1）求∠OAB的度数．
（2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？
（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值．
（4）是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在请说明理由．

　













12．（2010•余姚市校级自主招生）在半径为4的⊙O中，点C是以AB为直径的半圆的中点，OD⊥AC，垂足为D，点E是射线AB上的任意一点，DF∥AB，DF与CE相交于点F，设EF=x，DF=y．
（1）如图1，当点E在射线OB上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（2）如图2，当点F在⊙O上时，求线段DF的长；
（3）如果以点E为圆心、EF为半径的圆与⊙O相切，求线段DF的长．


　









13．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；
若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．
例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．
（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知C是直线y=x+3上的一个动点，
①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．




　




14．（2010•禄丰县校级模拟）如图，在直角坐标系中，⊙C与y轴相切，与直线l相切于点B，与x轴交于点D，C点的坐标为（1，0），直线l过点A（﹣1，0）．
（1）求直线l的解析式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使△PAB是等腰三角形，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求过A、B、D三点的抛物线的解析式，并写出顶点坐标．

　






15．（2009秋•盐城校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为﹣1，直线l：y=﹣x﹣与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与x轴相切于点M．
（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；
（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿想x轴负方向平移，同时，直线l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转，当⊙B第一次与⊙O相切时，请判断直线l与⊙B的位置关系，并说明理由：
（3）如图2，过A、O、C三点作⊙O1，点E是⊙O1上任意一点，连接EC、EA、EO．
①若点E在劣弧OC上，试说明：EA﹣EC=EO；
②若点E在优弧OAC上，①的结论中EC、EA、EO的关系式是否仍然成立？若成立，请你说明理由？若不成立，请你直接写出正确的结论．









16．（2008•南通）铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算可以吗？
（1）请说明方案一不可行的理由；
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．

　











　
17．（2005•上海）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F．
（1）如图，求证：△ADE∽△AEP；
（2）设OA=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当BF=1时，求线段AP的长．

　









18．（2012•扬州）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OC=1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．
（1）①直接写出点E的坐标：　　　　　　．
②求证：AG=CH．
（2）如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．
（3）在（2）的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．

　












　

19．（2004•无锡）已知：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒（t＞0）时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点．过E作EG⊥DE交射线BC于G．
（1）若E与B不重合，问t为何值时，△BEG与△DEG相似？
（2）问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上当t在什么范围内时，点G在线段BC的延长线上？
（3）当点G在线段BC上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG的面积S（cm2）关于时间t（秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？

　











20．（2005•扬州）如图1，AB是⊙O的直径，射线BM⊥AB，垂足为B，点C为射线BM上的一个动点（C与B不重合），连接AC交⊙O于D，过点D作⊙O的切线交BC于E．
（1）在C点运动过程中，当DE∥AB时（如图2），求∠ACB的度数；
（2）在C点运动过程中，试比较线段CE与BE的大小，并说明理由；
（3）∠ACB在什么范围内变化时，线段DC上存在点G，满足条件BC2=4DG•DC（请写出推理过程）．

　










1.解：（1）∵B与A（1，0）关于原点对称 ∴B（﹣1，0）
∵y=x+b过点B∴﹣1+b=0，b=1 ∴y=x+1当y=4时，x+1=4，x=3 ∴D（3，4）；
（2）作DE⊥x轴于点E，则OE=3，DE=4，∴OD=．
若△POD为等腰三角形，则有以下三种情况：
①以O为圆心，OD为半径作弧交x轴的正半轴于点P1，则OP1=OD=5， ∴P1（5，0）．
②以D为圆心，DO为半径作弧交x轴的正半轴于点P2，则DP2=DO=5，
∵DE⊥OP2 ∴P2E=OE=3， ∴OP2=6， ∴P2（6，0）．
③取OD的中点N，过N作OD的垂线交x轴的正半轴于点P3，则OP3=DP3，
易知△ONP3∽△DCO． ∴=． ∴=，OP3=． ∴P3（，0）．
（3）①当P1（5，0）时，P1E=OP1﹣OE=5﹣3=2，OP1=5，
∴P1D===2． ∴⊙P的半径为．
∵⊙O与⊙P外切， ∴⊙O的半径为5﹣2．
②当P2（6，0）时，P2D=DO=5，OP2=6， ∴⊙P的半径为5．
∵⊙O与⊙P外切， ∴⊙O的半径为1．
③当P3（，0）时，P3D=OP3=， ∴⊙P的半径为．
∵⊙O与⊙P外切， ∴⊙O的半径为0，即此圆不存在．

2．（2005•盐城）
解：（1）在y=x﹣3中，令x=0，得y=﹣3；令y=0，得x=4，故得A、B两的坐标为
A（4，0），B（0，﹣3）．
（2）若动圆的圆心在C处时与直线l相切，设切点为D，如图所示．
连接CD，则CD⊥AD．
由∠CAD=∠BAO，∠CDA=∠BOA=90°，可知Rt△ACD∽Rt△ABO，
∴，则AC=．
此时OC=（秒）．
根据对称性，圆C还可能在直线l的右侧，与直线l相切，
此时OC=． （秒）．
（3）设在t秒，动圆的圆心在F点处，动点在P处，此时OF=0.4t，BP=0.5t，F点的坐标为（0.4t，0），连接PF，
∵，又，∴，
∴FP∥OB，∴PF⊥OA（9分）∴P点的横坐标为0.4t，
又∵P点在直线AB上，∴P点的纵坐标为0.3t﹣3，
可见：当PF=1时，P点在动圆上，当0≤PF＜1时，P点在动圆内．
当PF=1时，由对称性可知，有两种情况：
①当P点在x轴下方时，PF=﹣（0.3t﹣3）=1，解之得：；
②当P点在x轴上方时，PF=0.3t﹣3=1，解之得：．
∴当时时，0≤PF≤1，此时点P在动圆的圆面上，所经过的时间为，
答：动点在动圆的圆面上共经过了秒． （12分）


　



3．（2014秋•江阴市期中）
解：（1）四边形OCPD是正方形．证明过程如下：
如图甲，连接OC、OD，∵PC、PD是⊙O的两条切线，∴∠PCO=∠PDO=90°．
又∵PC⊥PD，∴四边形OCPD是矩形，
又∵OC=OD，∴四边形OCPD是正方形；
（2）如图甲，过P作x轴的垂线，垂足为F，连接OP．
∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，
∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°，∴OD=PD=2，OP=2，
∵P在直线y=﹣x+8上，设P（m，﹣m+8），则OF=m，PF=﹣m+8，
∵∠PFO=90°，OF2+PF2=PO2，
∴m2+（﹣m+8）2=（2）2，解得m=2或6，∴P的坐标为（2，6）或（6，2）；
（3）设直线y=﹣x+b与圆交与点E，F，
若直线y=﹣x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1：3，
则∠EOF=90°，∴OE=OF=|b|，∴|b|=2，解得b=±2；
（4）设向右移动⊙O到O′时，⊙O′与直线y=﹣x+8相切，切点为D，如图3，

∴O′D⊥AB，
由直线y=﹣x+8可知A（8，0），B（0，﹣8），∴OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB=45°，
∴△O′AD是等腰直角三角形，∴O′D=AD=2，∴O′A=2，
∴OO′=8﹣2或8+2，
∴当⊙O与直线y=﹣x+8相交时圆心O的横坐标m的取值范围为：8﹣2≤m≤8+2．

4.解：（1）过点D作DE⊥BC于E，BE=AD=13，
∵BC=16，∴EC=3，在Rt△DCE中，由于DC=5，则DE=，所以圆的直径为4厘米；
（2）当P，Q运动t秒时，由点P，Q的运动速度为1厘米/秒和2厘米/秒，
所以PD=（13﹣t）厘米，CQ=2t厘米，所以四边形PQCD的面积为y=，
即y=2t+26（0＜t≤8）；
当四边形PQCD为等腰梯形时，CQ﹣PD=2CE，所以2t﹣（13﹣t）=6，解得t=，
这时y四边形PQCD=厘米2．
（3）存在．若PQ与圆相切，切点G，作PH⊥BC于H，所以PA=PG=t，QG=QB=16﹣2t，
又得到QH=QB﹣HB=（16﹣2t）﹣t=16﹣3t，PQ=BQ+AP=16﹣t，
根据勾股定理得PQ2=PH2+QH2，所以（16﹣t）2=16+（16﹣3t）2，解得t1=4+，t2=4﹣，
因为4+和4﹣都在0＜t≤8内，所以在t=（4+）秒或t=（4﹣）秒时，直线PQ与圆相切．


5.解：（1）设第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．
设⊙O与直线l切于点D，连OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l．
由切线长定理可知C’E=C′D，设C′D=x，则C′E=x，易知C′F=x．∴x+x=1，∴x=﹣1，
∴CC’=5﹣1﹣（﹣1）=5﹣．
∴点C运动的时间为（5﹣）÷（2+0.5）=2﹣．∴点B运动的距离为（2﹣）×2=4﹣．
（2）∵△ABC与⊙O从开始运动到最后一次相切时，是AB与圆相切，且圆在AB的左侧，故路程差为6，速度差为1，∴从开始运动到最后一次相切的时间为6秒．
（3）∵△ABC与⊙O从开始运动到第二次相切时，路程差为4，速度差为1，
∴从开始运动到第二次相切的时间为4秒，此时△ABC移至△A″B″C″处，A″B″=1+4×=3．
连接B”O并延长交A″C″于点P，易证B″P⊥A″C″，且OP=﹣=＜1．
∴此时⊙O与A″C″相交，∴不存在．













6.1）证明：∵MN切⊙O于点M，∴∠OMN=90°；∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°；
∴∠OMD=∠MNC；
又∵∠D=∠C=90°；∴△ODM∽△MCN，
（2）解：在Rt△ODM中，DM=x，设OA=OM=R；∴OD=AD﹣OA=8﹣R，
由勾股定理得：（8﹣R）2+x2=R2，∴64﹣16R+R2+x2=R2，∴；
（3）解法一：∵CM=CD﹣DM=8﹣x，又∵，
且有△ODM∽△MCN，∴，∴代入得到；
同理，∴代入得到；
∴△CMN的周长为P==（8﹣x）+（x+8）=16．
发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．
解法二：在Rt△ODM中，，
设△ODM的周长P′=；
而△MCN∽△ODM，且相似比；
∵，∴△MCN的周长为P=．

7．（2013•衡阳）解：（1）∵∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径，
∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6，∴AB==10，∴⊙M的半径为5；
∵A（8，0），B（0，6），∴圆心M的坐标为（4，3）；
（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，如图，
∵BC与⊙M相切，AB为直径，∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，
∴∠CBO+∠ABO=∠ABC=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBO，
∴Rt△ABO∽Rt△BCO，∴=，即=，解得OC=，∴C点坐标为（﹣，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（0，6）、C点（﹣，0）分别代入，解得，
∴直线l的解析式为y=x+6；
（3）作ND⊥x轴，连结AE，如图，
∵∠BOA的平分线交AB于点N，∴△NOD为等腰直角三角形，
∴ND=OD，∴ND∥OB，∴△ADN∽△AOB，∴ND：OB=AD：AO，
∴ND：6=（8﹣ND）：8，解得ND=，∴OD=，ON=ND=，∴N点坐标为（，）；
∵△ADN∽△AOB，∴ND：OB=AN：AB，即：6=AN：10，解得AN=，∴BN=10﹣=，
∵∠OBA=∠OEA，∠BOE=∠BAE，∴△BON∽△EAN，
∴BN：NE=ON：AN，即：NE=：，解得NE=，
∴OE=ON+NE=+=7．

8．（2015秋•吴中区期中）解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），∠BAD=60°，∠AOD=90°，
∴OD=OA•tan60°=2，AD=4，∴点D的坐标为（0，2），
又∵AD=CD，CD∥AB，∴C（4，2）；
（2）设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
∵A（﹣2，0），C（4，2），∴，解得 ．AC的解析式为：y=x+；
（3）∵四边形ABCD是菱形，∴∠DCB=∠BAD=60°，∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
AD=DC=CB=BA=4，如图所示：
①点P在AD上与AC相切时，
连接P1E，则P1E⊥AC，P1E=r，
∵∠1=30°，∴AP1=2r=2，∴t1=2．
②点P在DC上与AC相切时，CP2=2r=2，
∴AD+DP2=6，∴t2=6．
③点P在BC上与AC相切时，CP3=2r=2，
∴AD+DC+CP3=10，∴t3=10．
④点P在AB上与AC相切时，
AP4=2r=2，
∴AD+DC+CB+BP4=14，∴t4=14，
∴当t=2、6、10、14时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切．

　
9.解：（1）在△ABC中AB=5，AC=4，由勾股定理得：BC=3，
∵∠C=90°，PQ⊥AB，∴∠C=∠PQA=90°，
∵∠A=∠A，∴△AQP∽△ACB，∴=，即=，解得：y=﹣x+，
（2）∵圆I是△ABC的内切圆，
∴BN=BF，CF=CE，AE=AN，∠IFC=∠IEC=∠C=90°，IE=IF，∴四边形FIEC是正方形，
∴IF=IE=CF=CE，∴3﹣IE+4﹣IE=5，解得：IE=1，
∵∠INQ=∠IMQ=∠NQM=90°，IM=IN，∴四边形INQM是正方形，∴IN=MQ=IE=CE，
∵PE=PM，∴PQ=PC=x=y，即x=﹣x+，∴x=，
答：Rt△ABC内切圆I的半径是1，x为时，直线PQ与这个内切圆I相切．
（3）以P为圆心，半径为y的圆与⊙I能相切．
理由是：连接PI过两圆的切点，当两圆外切时，
PQ=y，PE=x﹣1，IE=1，PI=1+y，由勾股定理得：12+（x﹣1）2=
解得：x1=，x2=（舍去）
当两圆内切时，PQ=y，PE=x﹣1，IE=1，PI=y﹣1，由勾股定理得：12+（x﹣1）2=（﹣x+﹣1）2，
解得：x=．
答：以P为圆心，半径为y的圆与⊙I外切时，x=；内切时x=．


10.解：（1）如图1所示，连接AC，则AC=，在Rt△AOC中，AC=，OA=1，则OC=2，
∴点C的坐标为（0，2）；
设切线BC的解析式为y=kx+b，它过点C（0，2），B（﹣4，0），
则有，解之得；∴．
（2）如图1所示，设点G的坐标为（a，c），过点G作GH⊥x轴，垂足为H点，则OH=a，GH=c=a+2，
连接AP，AG；
因为AC=AP，AG=AG，所以Rt△ACG≌Rt△APG（HL），所以∠AGC=×120°=60°，
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=，∴sin60°=，∴AG=；
在Rt△AGH中，AH=OH﹣OA=a﹣1，GH=a+2，
∵AH2+GH2=AG2，∴（a﹣1）2+=，
解之得：a1=，a2=﹣（舍去）；∴点G的坐标为（，+2）．
（3）如图2所示，在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形．（9分）
要使△AEF为直角三角形，∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE≠90°，∴只能是∠EAF=90°；
当圆心A在点B的右侧时，过点A作AM⊥BC，垂足为点M，
在Rt△AEF中，AE=AF=，则EF=，AM=EF=；
在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，则BC=2，
∵∠BOC=∠BMA=90°，∠OBC=∠OBM，∴△BOC∽△BMA，∴=，∴AB=，
∴OA=OB﹣AB=4﹣，∴点A的坐标为（﹣4+，0）；
当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过点A′作A′M′⊥BC于点M′，可得：
△A′M′B≌△AMB，A′B=AB=，∴OA′=OB+A′B=4+，
∴点A′的坐标为（﹣4﹣，0）；
综上所述，点A的坐标为（﹣4+，0）或（﹣4﹣，0）．



11.解：（1）在Rt△AOB中：tan∠OAB=，∴∠OAB=30°．
（2）如图，连接O′P，O′M．当PM与⊙O′相切时，有：∠PMO′=∠POO′=90°，△PMO′≌△POO′．
由（1）知∠OBA=60°，
∵O′M=O′B，∴△O′BM是等边三角形，∴∠BO′M=60°．
可得∠OO′P=∠MO′P=60°．∴OP=OO′•tan∠OO′P=6×tan60°=．
又∵OP=t，∴t=，t=3．即：t=3时，PM与⊙O‘相切．
（3）如图，过点Q作QE⊥x于点E．
∵∠BAO=30°，AQ=4t，∴QE=AQ=2t，AE=AQ•cos∠OAB=4t×．
∴OE=OA﹣AE=﹣t．∴Q点的坐标为（﹣t，2t），
S△PQR=S△OAB﹣S△OPR﹣S△APQ﹣S△BRQ
=
==． （0＜t＜6）
当t=3时，S△PQR最小=；

（4）分三种情况：如图
①当AP=AQ1=4t时，∵OP+AP=，∴t+4t=．∴t=，或化简为t=﹣18；
②当PQ2=AQ2=4t时，过Q2点作Q2E⊥x轴于点E．∴PA=2AE=2AQ2•cosA=t，
即t+t=，∴t=2；
③当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H．AH=PA•cos30°=（﹣t）•=18﹣3t，
AQ3=2AH=36﹣6t，得36﹣6t=4t，∴t=3.6．
综上所述，当t=2或t=3.6或t=﹣18时，△APQ是等腰三角形．



















12.解：（1）连接OC．

∵在⊙O中，AC是⊙O的弦，OD⊥AC，∴CD=AD．
∵DF∥AB，∴CF=EF．∴DF=AE=（AO+OE）．
∵点C是以AB为直径的半圆的中点，∴CO⊥AB．
∵EF=x，AO=CO=4，∴CE=2x，OE===2．
∴y=（4+2）=2+．定义域为x≥2；

（2）当点F在⊙O上时，连接OC、OF．EF=CE=OF=4，∴OC=OB=AB=4．
∴DF=2+=2+2．
（3）当⊙E与⊙O外切于点B时，BE=FE．
∵CE2﹣OE2=CO2，∴（2x）2﹣（x+4）2=42，3x2﹣8x﹣32=0，∴x1=，x2=（舍去）．
∴DF=（AB+BE）=（8+）=．
当⊙E与⊙O内切于点B时，BE=FE．
∵CE2﹣OE2=CO2，∴（2x）2﹣（4﹣x）2=42，3x2+8x﹣32=0．∴x1=，x2=（舍去）．
∴DF=（AB﹣BE）=（8﹣）=．
当⊙E与⊙O内切于点A时，AE=FE．∵CE2﹣OE2=CO2，
∴（2x）2﹣（4﹣x）2=42，3x2+8x﹣32=0．∴x1=，x2=（舍去）．
∴DF=．








13．（2012•北京）解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为（0，y）．
∵|﹣﹣0|=≠2，∴|0﹣y|=2，解得，y=2或y=﹣2；∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；
②点A与点B的“非常距离”的最小值为

（2）①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答，此时|x1﹣x2|=|y1﹣y2|．即AC=AD，
∵C是直线y=x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），∴设点C的坐标为（x0，x0+3），
∴﹣x0=x0+2，此时，x0=﹣，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|=，此时C（﹣，）；
②当点E在过原点且与直线y=x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，设E（x，y）（点E位于第二象限）．则，解得，，故E（﹣，）．
﹣﹣x0=x0+3﹣，解得，x0=﹣，则点C的坐标为（﹣，），最小值为1．

14.解：（1）连接CB，由AB为圆C的切线，得到CB⊥AB，
在直角三角形ABC中，AC=2，BC=1，∴∠BAC=30°，
且AB=，过点B作BE⊥x轴，∴BE=AB=，AE=ABcos30°=，即OE=，
∴点B坐标为（，），又点A（﹣1，0），
设直线l的解析式为y=kx+b，把A和B代入得：，解得：，则直线l解析式为y=x+；
（2）存在．
当AP=AB时，AP=，由OA=1，得到OP=+1或﹣1，则P1坐标（﹣﹣1，0），P2（﹣1，0）
当BP=BA时，由（1）得到AE=，△ABP为等腰三角形，根据三线合一得到E为AP中点，则AP=3，
又OA=1，所以OP=2，故P3（2，0）；
当PA=PB时，连接BO，由∠ACB=60°，且CO=BO，
所以△OCB为等边三角形，则OB=OA=1，即P4与原点重合，故P4坐标为（0，0），
综上，点P的坐标为（﹣﹣1，0）或（﹣1，0）或（2，0）或（0，0）；
（3）∵A（﹣1，0），D（2，0），B（，），
设所求抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），把B的坐标代入得：=﹣a，解得a=﹣，
则所求抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+，此时顶点坐标为（，）．

15.解：（1）∵点A是直线l：y=﹣x﹣与坐标轴x轴的交点∴y=0，即0=﹣x﹣，解得x=
所以点A（，0），同理点C（0，）∴OA=OC∵OA⊥OC，∴∠CAO=45°
（2）

过B1做B1P垂直于l′角l′于点P，连接B1A，B1O，B1N
如图，设⊙B平移t秒到⊙B1处与⊙O第一次相切，⊙B1与x轴相切于点N，连接B1O，B1N
则MN=t，OB1=OK+KB1=，B1N=1，B1N⊥AN
∴ON=1，MN=3，即t=3
l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转了90°，即l与l′相互垂直．
则B1P⊥AP，∴∠PAB1=∠NAB1由（1）知AO=，∴AO=OB1∴∠OAB1=∠OB1A
又∵∠B1ON=45°∴∠B1AO=22.5°∴∠PAB1=90°﹣45°﹣22.5°=22.5°
在Rt△PAB1与Rt△NAB1中，∠PAB1=∠B1AN，AB1为公共边，
所以Rt△PAB1≌Rt△NAB1PB1=NB1=1 故直当⊙B第一次与⊙O相切时，直线l与⊙B相切

（3）①由（1）知△OAC为圆内接等腰直角三角形，AC为直径
在AE上截取AM=CE，连接OM；
∵OA=OC，AM=CE，∠OAE=∠OCE（圆周角）∴△OAM≌△OCE；∴∠AOM=∠COE，OM=OE
∵∠AOC=∠AOM+∠MOC=90°，∠MOE=∠COE+∠MOC∴∠MOE=90°∴△OME为等腰直角三角形
∴ME=EO
又∵ME=AE﹣AM=AE﹣EC∴AE﹣EC=EO
②

由（1）知三角形OAC为圆内接等腰直角三角形，AC为直径
在EA的延长线上截取AM=CE，连接OM；
∵OA=OC，AM=CE，∠OAE=∠OCE（外角等于所对的圆周角）∴△OAM≌△OCE；
∴∠AOM=∠COE，OM=OE
∵∠AOC=∠AOM+∠MOC=90°，∠MOE=∠COE+∠MOC
∴∠MOE=90°∴△OME为等腰直角三角形∴ME=EO
又∵ME=AE+AM=AE+EC
∴AE+EC=EO
所以①不成立，正确的结论是AE+EC=EO
16.解：连接AC，E为两圆的切点，
（1）理由如下：∵扇形的弧长=16×=8π，圆锥底面周长=2πr，∴圆的半径O1E=4cm．
过O1作O1F⊥CD，∴△CO1F为等腰直角三角形，∴O1C=O1F=O1E=4cm，
又∵AE=AB=16cm，
而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为AE+EO1+O1C=16+4+4=20+4cm，
∵20+4＞16，∴方案一不可行；
（2）方案二可行．求解过程如下：设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm，
∵在一块边长为16cm的正方形纸片上，∴正方形对角线长为16cm，
则，① ．②
由①②，可得，．
故所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm．

17.（1）证明：连接OD，∵AP切半圆于D，∠ODA=∠PED=90°，
又∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∴∠ADE=∠ODE+∠ODA，∠AEP=∠OED+∠PED，
∴∠ADE=∠AEP，
又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEP；
（2）解：∵△AOD∽△ACB，∴，
∵AB=4，BC=3，∠ABC=90°，∴根据勾股定理，得AC==5，∴OD=OA，AD=OA，
∵△ADE∽△AEP，∴=，∵AP=y，OA=x，AE=OE+OA=OD+OA=OA，∴==，
则y=x（0＜x≤）；
（3）解：情况1：y=x，BP=4﹣AP=4﹣，
∵△PBF∽△PED，∴，
又∵△ADE∽△AEP，∴，∴，∴，解得：x=，∴AP=．
情况2：如图，半圆O的半径R较大时，EP交AB延长线于点P，P在B上方；交BC于点F，F在BC之间
CF=BC﹣BF=3﹣1=2，
∵∠FED=∠FBD=90°，∴FBDE构成直径为FD的圆内接四边形，∴∠EFC=∠BDE．
连接OD，∠ODA=90°，∠ODE=∠OED，∴∠EDA=∠FEA．
∵∠FEC=180﹣∠FEA，∠BDE=180﹣∠EDA，∴∠FEC=∠BDE=∠EFC∴CF=CE=2
过点E作EG⊥BC，
则△CGE∽△CBA，则===，解得，EG=，CG=，FG=FC﹣CG=2﹣=，
PB：EG=FB：FG，PB=÷=2，AP=AB+PB=4+2=6．故线段AP的长为2或6．


18.（1）①解：E的坐标是：（1，），故答案为：（1，）；
②证明：∵矩形OABC，∴CE=AE，BC∥OA，∴∠HCE=∠EAG，
∵在△CHE和△AGE中，∴△CHE≌△AGE，∴AG=CH．
（2）解：如图2，连接DE并延长DE交CB于M，连接AC，

∵DO=OC=1=OA，∴D是OA的中点，
∵BC∥OA，∴∠MCE=∠DAE，∵在△CME和△ADE中，∴△CME≌△ADE，
∴CM=AD=2﹣1=1，
∵BC∥OA，∠COD=90°，∴四边形CMDO是矩形，∴MD⊥OD，MD⊥CB，∴MD切⊙O于D，
∵HG切⊙O于F，E（1，），∴可设CH=HF=x，FE=ED=MD，
在Rt△MHE中，有MH2+ME2=HE2，即（1﹣x）2+（）2=（+x）2，解得x=，
∴H（，1），OG=2﹣=，∴G（，0），
设直线GH的解析式是：y=kx+b，把G、H的坐标代入得：k+b=0，且1=k+b，
解得：k=﹣，b=，∴直线GH的函数关系式为y=﹣x+．
（3）解：如备用图3，连接BG，过P做PN⊥GA，垂足为N，
∵在△OCH和△BAG中，∴△OCH≌△BAG，∴∠CHO=∠AGB，
∵∠HCO=90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，∴OH平分∠CHF，∴∠CHO=∠FHO=∠BGA，
∵四边形OCBA是矩形，∴BC∥OA，BC=OA，
∵CH=AG（已证），∴BH=OG，BH∥OG，∴四边形BHOG是平行四边形，∴OH∥BG ∴∠OHE=∠BGE，
∵∠CHO=∠FHO=∠BGA∴∠BGA=∠BGE，即BG平分∠FGA，
∵⊙P与HG、GA、AB都相切，
∴和∠HGA的两边都相切的圆的圆心在∠HGA的角平分线上，即在GB上
∴圆心P必在BG上，∴△GPN∽△GBA，∴， 设半径为r，=，解得：r=．

19.解：（1）连接OD，DF．
∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC．在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t，
∴OD=OF=t，AD=OA•cosA=．
又∵∠FOD=90°﹣30°=60°，∴∠AED=30°，∴AD=ED=．
∵DE⊥EG，∴∠BEG=60°，△BEG与△DEG相似．
∵∠B=∠GED=90°，①当∠EGD=30°，
CE=2BE=2（6﹣t）则∠BGD=60°=∠ACB，此时G与C重合，

DE==AD，CD=12﹣，BE=6﹣t，
∵△BEG∽△DEC，∴=，∴=，t=；
②当∠EGD=60°．∴DG⊥BC，DG∥AB．
在Rt△DEG中，∠DEG=90°，DE=，∴DG=t．
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6，∴AC=12，AB=6，∴CD=12﹣．
∵DG∥AB，∴解得t=．
（2）∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC．
在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t，∴∠AED=30°，∴DE⊥EG，∴∠BEG=60°．
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=6，BE=6﹣t．
Rt△BEG中，∠BEG=60°，∴BG=BE•tan60°=18﹣t．
当0≤18﹣t≤6，即≤t≤4时，点G在线段BC上；
当18﹣t＞6，即0＜t＜时，点G在线段BC的延长线上；
（3）过点D作DM⊥AB于M．
在Rt△ADM中，∠A=30°，∴DM=AD=t．
∴S=S△ABC﹣S△AED﹣S△BEG=36﹣t2﹣27t=﹣（t﹣）2+（＜t＜4）．
所以当t=时，s取得最大值，最大值为．




20.解：（1）如图2：当DE∥AB时，连接OD，
∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，
∵DE∥AB，∴OD⊥AB；
又∵OD=OA，∴∠A=45°，又∵BM⊥AB，∴∠OBE=90°，
∴在Rt△ABC中，∠ACB=45°；
即：当∠ACB=45°时，DE∥AB；（本问证明的方法比较多，）
（2）如图1，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=∠BDC=90°，∴∠ACB+∠CBD=90°，∠EDB+∠CDE=90°；
又∵BM⊥AB，AB是⊙O的直径，∴MB是⊙O的切线，
又∵DE是⊙O的切线，∴∠CBD=∠EDB，∴∠ACB=∠CDE，∴EC=ED，∴BE=EC；

（3）假设在线段CD上存在点G，使BC2=4DG•DC，
由（2）知：BE=CE，
∴BC=2CE=2DE，∴（2DE）2=4 DG•DC，从而DE2=DG•DC；
由于∠CDE是公共角，∴△DEG∽△DCE，∴∠ACB=∠DEG；
令∠ACB=x，∠DGE=y，∴∠CDE=∠ACB=x，
∵C和B不重合，∴BC＞0，
∴D和G就不能够重合，但是，G可以和C重合，
∴要使线段CD上的G点存在，则要满足：2x+y=180°且y≥x，因此x≤60°，
∴0°＜∠ACB≤60°时，满足条件的G点存在．