中考压轴题第14部分 圆 学案

1．如图，已知∠xoy=90°，线段AB=10，若点A在oy上滑动，点B随着线段AB在射线ox上滑动，（A、B与O不重合），Rt△AOB的内切⊙K分别与OA、OB、AB切于E、F、P．
（1）在上述变化过程中：Rt△AOB的周长，⊙K的半径，△AOB外接圆半径，这几个量中不会发生变化的是什么？并简要说明理由；
（2）当AE=4时，求⊙K的半径r；
（3）当Rt△AOB的面积为S，AE为x，试求：S与x之间的函数关系，并求出S最大时直角边OA的长．

　








2．（14•常州）在平面直角坐标系xOy中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是上的动点．
（1）写出∠AMB的度数；
（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E．
①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；
②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围．


　










3．（13•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为　　　　　　；
（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值；
（3）连接AD，当OC∥AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．











4．如图①，已知直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点D，与直线y=x交于点E，过点D作DC∥x轴，交直线y=x于点C．过点C作CB∥AD交x轴于点B．（1）点C的坐标是　　；
（2）以线段AD的中点M为圆心作⊙M，当⊙M与直线CE相切时，求⊙M的半径；
（3）如图②，点P从点O出发，沿线段OC向终点C运动，点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．若P、Q两点同时出发，速度均为1单位长度/s，时间为ts，当点Q到达终点时，P、Q两点均停止运动．在点P、Q的运动过程中，将线段PQ绕点P沿顺时针方向旋转90°后，设点Q的对应点为R．当点R落在四边形ABCD一边所在的直线上时，直接写出t的值．








5．（11•常州）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点．直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a＞0．点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．
（1）写出A点的坐标和AB的长；
（2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切，求此时a的值．

　









6．（12•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0），以点P为圆心，m为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（点D在点C的上方）．点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）．
（1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ，试问线段BQ与线段EQ的长是否相等？为什么？
（3）连接BC，求∠DBC﹣∠DBE的度数．



　






7．在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，且OA＞OB，以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C，A、B两点的横坐标xA、xB是关于x的方程x2+3x﹣4=0的两个根．
（1）求点C的坐标；
（2）若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，求直线l对应的一次函数关系式；
（3）过点D任作一直线l′分别交射线CA、CB（点C除外）于点M、N，则+的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．














8．（12•无锡）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．
（1）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

　















9．（14•苏州）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）
（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为　　　　　　°；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；
（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．

　











10．（14•沧浪区校级二模）如图，已知线段AB长为6，点A在x轴负半轴，B在y轴正半轴，绕A点顺时针旋转60°，B点恰好落在x轴上D点处，点C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形．
（1）求点C、点D的坐标；
（2）若半径为1的⊙P从点A出发，沿A﹣B﹣D﹣C以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时⊙P的半径以每秒0.5个单位长的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时，
①t为何值时，⊙P与y轴相切？
②在运动过程中，是否存在一个时刻，⊙P与四边形ABCD四边都相切？若存在，说出理由；若不存在，问题中⊙P的半径以每秒0.5个单位长速度增加改为多少时就存在；
②在整个运动过程中⊙P与x轴有公共点的时间共有几秒？简述过程．
（3）若线段AB绕点O旋转一周，线段AB扫过的面积是多少？
（3）若线段AB绕点O顺时针旋转90°，线段AB扫过的面积是多少？


11．如图所示，已知直线l的解析式为y=﹣，并且与x轴、y轴分别交于点A、B．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）一个半径为1的动圆⊙P （起始时圆心P在原点O处），以4个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，问经过多长时间与直线l相切．
（3）若在圆开始运动的同时，一动点Q从B出发，沿BA方向以5个单位/秒的速度运动，在整个运动过程中，问经过多长时间直线PQ经过△AOB的重心M？











12．如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点．以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连结DE交OM于点K．
（1）若点M的坐标为（3，4），
①求A，B两点的坐标；
②求ME的长．
（2）若=3，求∠OBA的度数．
（3）设tan∠OBA=x（0＜x＜1），=y，直接写出y关于x的函数解析式．


13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（﹣2，﹣2），半径为．函数y=﹣x+2图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为线段AB上一动点（包括端点）．
（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；
（4）当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO=t，MO=s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围；设点M为线段EF的中点，试写出点M的运动轨迹，并直接写出点M运动轨迹的长度．




















14．如图，在平面直角系中，点A、B分别在x轴、y轴上，A（8，0），B（0，6），点P从点B出发，沿BA以每秒1个单位的速度向点A运动，点Q从点A出发，沿AO以每秒1个单位的速度向点O运动，当点Q到达点O时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示C点坐标；
（2）如图1，连接PQ，过点Q作QC⊥AO交AB于点C，在整个运动过程中，当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
（3）如图2，以QC为直径作⊙D，⊙D与AB的另一个公共点为E．问是否存在某一时刻t，使得以BC、CE、AE的长为边的三角形为直角三角形？若存在，直接写出一个符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．




15．已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（﹣4，0）．

（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；
（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．























16．如图，已知直线y=﹣x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B，点B的坐标为（0，6）．
（1）求m的值和点A的坐标；
（2）在矩形OACB中，点P是线段BC上的一动点，直线PD⊥AB于点D，与x轴交于点E，设BP=a，梯形PEAC的面积为s．
①求s与a的函数关系式，并写出a的取值范围；
②以Q（2，2）圆心，2为半径作圆，求当PE与⊙Q相交的弦长为2.4时点的坐标．



17．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化．
（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．
当b=　　时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心M；
当b=　　时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切；
（2）若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．













18．在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，0），B（2，0），AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示．
（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积．
（2）如图3，连接CD、OC、OD，判断△OCD的形状，并加以证明．
（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值．








19．如图，平面直角坐标系的单位是厘米，直线AB的解析式为y=x﹣6，分别与x 轴y轴相交于A、B 两点．动点C从点B出发沿射线BA以3cm/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1cm的⊙C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设⊙C运动的时间为t，当⊙C和坐标轴相切时，求时间t的值．
（3）在点C运动的同时，另有动点P以2cm/秒的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线l垂直于x轴．若点C与点P同时分别从点B、点O开始运动，求直线l与⊙C所有相切时点P的坐标．
















20．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．
（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；
（2）当DE=8时，求线段EF的长；
（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．








1.解：（1）不会发生变化的是△AOB的外接圆半径，
∵∠AOB=90°，∴AB是△AOB的外接圆的直径AB的长不变，即△AOB的外接圆半径不变
（2）设⊙K的半径为r，⊙K与Rt△AOB相切于E、F、P，连EK、KF
∴∠KEO=∠OFK=∠O=90°，∴四边形EOFK是矩形，
又∵OE=OF∴四边形EOFK是正方形，∴OE=OF=r，AE=AP=4，∴PB=BF=6，
∴（4+r）2+（6+r）2=100，∴r=﹣12（不符合题意），r=2，
（3）设AO=b，OB=a，⊙K与Rt△AOB三边相切于E、F、P，
∴OE=r=，即2（b﹣x）+10=a+b，∴10﹣2x=a﹣b，∴100﹣40x+4x2=a2+b2﹣2ab，
∵，∴ab=2S，a2+b2=102∴100﹣40x+4x2=100﹣4S，∴S=﹣x2+10x，
另一解法：（x+r）2+（10﹣x+r）2=100，
∴r2+10r=﹣x2+10x S=•r（OA+OB+AB）=r（r+x+10﹣x+r+10）=r（20+2r）=r2+10r
∴S=r2+10r=﹣x2+10x，
又∵S=﹣x2+10x=﹣（x﹣5）2+25 ∵当x=5时，S最大，即AE=BF=5， ∴OA=．


2.解：（1）过点M作MH⊥OD于点H，
∵点M（，），∴OH=MH=，∴∠MOD=45°，
∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°，
∵OM=AM，∴∠OAM=∠AOM=45°，∴∠AMO=90°，∴∠AMB=90°；
（2）①∵OH=MH=，MH⊥OD，∴OM==2，OD=2OH=2，∴OB=4，
∵动点P与点B重合时，OP•OQ=20，∴OQ=5，
∵∠OQE=90°，∠POE=45°，∴OE=5，∴E点坐标为（5，0）
②∵OD=2，Q的纵坐标为t，∴S=．
如图2，当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，
∵OP=4，OP•OQ=20，∴OQ=5，
∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，∴t=QF=，此时S=；
如图3，当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，∴OP=2，
∵OP•OQ=20，∴t=OQ=5，此时S=；∴S的取值范围为5≤S≤10．





3.解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），∴OA=OB=6，∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；
当C点在y轴右侧时，∠BOC=90°+∠OBA=135°；
（2）∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=6，
∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，
过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，
∴OE=AB=3，∴CE=OC+OE=3+3，
△ABC的面积=CE•AB=×（3+3）×6=9+18．
∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18．
（3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F，∵OC∥AD，∴∠COF=∠DAO，
又∵∠ADO=∠CFO=90°∴Rt△OCF∽Rt△AOD，
∴=，即=，解得CF=，在Rt△OCF中，OF==，
∴C点坐标为（﹣，）；故所求点C的坐标为（﹣，），
当C点在第一象限时，同理可得C点的坐标为（，），
综上可得，点C的坐标为（﹣，）或（，）．
②当C点坐标为（﹣，）或（，）时，直线BC是⊙O的切线．理由如下：
在Rt△OCF中，OC=3，CF=，∴∠COF=30°，∴∠OAD=30°，∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，
∵在△BOC和△AOD中，∴△BOC≌△AOD（SAS），∴∠BCO=∠ADO=90°，
∴OC⊥BC，∴直线BC为⊙O的切线；


















4．（2015秋•江南区校级期中）
解：（1）当x=0时，y=3x+3=3，故D（0，3）．
∵DC∥x轴，∴yC=yD=3．
∵点C在直线y=x上，∴3=xC，
∴xC=4，∴C（4，3）；
（2）设⊙M与直线CE的切点为H，连接MH，M0，则有MH⊥CE．
过点M作x轴的垂线交x轴于N，交直线DC于G，如图1，

由直线y=3x+3可得点A（﹣1，0），OA=1，
∴AD的中点M坐标为（，）即（﹣，），∴MN=，MG=3﹣=．
∵S△OMC=S梯形OADC﹣S△OAM﹣S△MDC，
∴OC•MH=（DC+OA）•OD﹣OA•MN﹣DC•MG，
∴וMH=（4+1）×3﹣×1×﹣×4×，∴MH=，∴⊙M的半径为；
（3）t=或t=或t=．
提示：过点P作x轴的垂线，交DC于S，交过点R垂直于y轴的直线于T，如图2．

设R点的坐标为（x，y），
由题可得CQ=OP=t，则有P（，），Q（4﹣t，3），
易证△QSP≌△PTR，则有SQ=PT，PS=RT，
∴4﹣t﹣=﹣y，3﹣=x﹣，∴y=﹣4，x=+3，
∴R点的坐标为（+3，﹣4）．
①当点R在直线AB上时，﹣4=0，解得t=；
②当点R在直线BC上时，
由BC∥AD可设y=3x+b，把点C（4，3）代入可得b=﹣9，
∴直线BC的表达式为y=3x﹣9，∴﹣4=3（+3）﹣9，解得t=；
③当点R在直线DC上时，﹣4=3，解得t=；
④当点R在直线AD上时，
可得﹣4=3（+3）+3，解得t=．
由题可得0≤t≤4，
∵＞4，∴舍去．



5.解：（1）∵一次函数的图象是直线l1，l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴y=0时，x=﹣4，∴A（﹣4，0），AO=4，
∵图象与y轴交点坐标为：（0，3），BO=3，∴AB=5；
（2）由题意得：AP=4t，AQ=5t，==t，
又∠PAQ=∠OAB，∴△APQ∽△AOB，∴∠APQ=∠AOB=90°，
∵点P在l1上，∴⊙Q在运动过程中保持与l1相切，
①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得：
∴，∴PQ=6；故AQ=10，则运动时间为：=2（秒）；
连接QF，则QF=PQ，
∵直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，FQ⊥l2，∴∠APQ=∠QFC=90°，AP∥FQ，
∴∠PAQ=∠FQC，∴△QFC∽△APQ，∴△QFC∽△APQ∽△AOB，
得：，∴，∴，∴QC=，∴a=OQ+QC=OC=，
②如图2，当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于E，由△APQ∽△AOB得：=，
∴PQ=，则AQ=4﹣=2.5，∴则运动时间为：=（秒）；
故当点P、Q运动了2秒或秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l2、y轴都相切，
连接QE，则QE=PQ，
∵直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，⊙Q在运动过程中保持与l1相切于点P，
∴∠AOB=90°，∠APQ=90°，
∵∠PAO=∠BAO，∴△APQ∽△AOB，
同理可得：△QEC∽△APQ∽△AOB得：=，∴=，=，∴QC=，a=QC﹣OQ=，
综上所述，a的值是：和，















6.解：（1）如图①，连接PB，过点P作PM⊥x轴于点M．
由题意可知，OM=PM=m，PB=m．在Rt△PBM中，由勾股定理得：
BM===2m，∴OB=OM+BM=m+2m=3m，∴B（3m，0）；
连接PD，过点P作PN⊥y轴于点N，同理可求得DN=2m，OD=3m．
过点D作DR⊥PE于点R，
∵平行四边形DOPE，∴∠ODE+∠DOP=180°；由题意可知，∠DOP=45°，∴∠ODE=135°，
∴∠EDR=45°，即△EDR为等腰直角三角形，∴ER=DR=OM=m，EM=ER+RM=ER+OD=m+3m=4m，
∴E（m，4m）．
（2）相等．理由如下：
依题意画出图形，如图②所示．
由（1）知，∠ODE=∠BDO+∠BDE=135°，
又OB=OD=3m，即△OBD为等腰直角三角形，∴∠BDO=45°，
∴∠BDE=90°，即△BDE为直角三角形．
由圆周角定理可知，BE为△BDE外接圆的直径，∴∠BQE=90°．
过点E作EK⊥y轴于点K，则有EK=m，OK=4m．
∵∠BQE=90°，∴∠EQK+∠BQO=90°，又∠BQO+∠QBO=90°，∴∠EQK=∠QBO．
∴Rt△EQK∽Rt△QBO，∴，即，解得OQ=m或OQ=3m，
∵点Q与点D不重合，∴OQ=m，∴OQ=EK，即相似比为1，此时两个三角形全等，
∴BQ=EQ．

（3）如图②所示，连接BC．
由（1）可知，如图①，CD=2DQ=4m，∴OC=CD﹣OD=m．
由（2）可知，△BDE为直角三角形，△EDK与△BDO均为等腰直角三角形，
∴DE=EK=m，BD=OB=3m．
在Rt△BDE与Rt△BOC中，OC=m，OB=3m，DE=m，BD=3m，
∴，∴Rt△BDE∽Rt△BOC，∴∠OBC=∠DBE，
∴∠DBC﹣∠DBE=（∠OBD+∠OBC）﹣∠DBE=∠OBD=45°．















7．（2015秋•南长区期中）
解：（1）∵xA、xB是关于x的方程x2+3x﹣4=0，OA＞OB，
∴xA=4，xB=1，∴OA=4，OB=1，
∵以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C，∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，∴OC2=OA•OB=4，∴OC=2，∴C（0，2）；
（2）如图，过点D作DE⊥AC，过点D作DF⊥BC，
∵CD是∠ACB的角平分线，∴DE=DF，DE∥BC，∴∠ECD=∠EDC=45°，
在△ABC中，AC2=AD•AB，∴AC=2，BC2=BD•AB，∴BC=，
∵DE∥BC，∴，∵DE=EC，∴，
∵△AED∽△ACB，∴，∴==2，
∵AB=5，设BD=x，则AD=2x，AB=BD+AD=x+2x=5，解得DB=x=，
则OD=，即D（﹣，0），
设直线l对应的一次函数解析式为：y=kx+b，∴，∴，
∴直线l对应的一次函数解析式为：y=3x+2；
（3）由（2）知：CD为∠ACB的平分线，DE=DF．
∵DE∥BC，∴△MDE∽△MNC，∴=，
∵DF∥AC，∴△DNF∽△MNC，∴=，∴+=+=1，
∴DE（+）=1∴+==．

　



















8.解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB，
又∵∠DAB=60°（已知），∴∠BAC=∠BCA=30°；
如图1，连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC，
∴OB=AB=1（30°角所对的直角边是斜边的一半），∴OA=（cm），AC=2OA=2（cm），
运动ts后，，∴
又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB，
∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的对应角相等），∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）

（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC．
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=PC= 由PM=PQ=AQ=t，即=t
解得t=4﹣6，此时⊙P与边BC有一个公共点；
如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°∴△PQB为等边三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1
∴时，⊙P与边BC有2个公共点．
如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即2t=t，∴t=3﹣．
∴当1＜t≤3﹣时，⊙P与边BC有一个公共点，
当点P运动到点C，即t=2时P与C重合，Q与B重合，也只有一个交点，此时⊙P与边BC有一个公共点，
∴当t=4﹣6或1＜t≤3﹣或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；
当4﹣6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．











9.解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，
∵AB=4cm，AD=4cm，∴CD=4cm，∴tan∠DAC===，∴∠DAC=60°，
∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，故答案为：105；

（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，
连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，
在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，
在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E==，
∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，∴t﹣2=，∴t=+2，∴OO1=3t=2+6；
（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，
如图位置一，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，
设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，
∴O2F⊥l1，O2G⊥A2C2，由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，
在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，
∵OO2=3t1，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+﹣3t1=2，∴t1=2﹣，
②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，
记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，
∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），解得：t2=2+2，
综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．
















　
10.解（1）∵OB==3，∴点C的坐标是（6，3），
∵AD=AB=6，∴点D的坐标是（3，0），
（2）①当P在AB上时，若⊙P与y轴相切，则1+0.5t=3﹣2t，t=，
当P在BD上时，若⊙P与y轴相切，则1+0.5t=2t﹣3，t=，
②不存在
设⊙P的半径以acm/s的速度增加，
当点P在菱形ABCD的对角线交点时，到ABCD的距离相等，即与四边形ABCD都相切，
此时t=，⊙P的半径1+a，
设BD的解析式为：y=kx+b，AC的解析式为：y=ax+c，
解得：BD的解析式为：y=﹣x+3，AC的解析式为：y=x+，
﹣x+3=x+，解得；x=，则y=1.5，
若⊙P与四边形ABCD相切，则1+a=1.5，解得：a=，
则⊙P的半径以cm/s的速度运动时就存在，
（3）过O作OE⊥AB，则△BOA∽△OEA，=，
解得；OE=1.5，S=（3）2π﹣（1.5）2π=π，则线段AB扫过的面积是π．

②Ⅰ．点P在AB上，且⊙P与x轴相切于点F时，连接PF，如图5，

则有PF⊥OA，即∠PFA=90°．在Rt△AFP中，∵PF=1+0.5t，AP=4t，∠PAF=60°，
∴sin∠PAF===．解得；t=．



Ⅱ．点P在BD上，且⊙P与x轴相切于点F时，连接PF，如图6，同理可得：t=．
Ⅲ．点P在DC上，且⊙P与x轴相切于点F时，连接PF，如图7，

同理可得：t=．
∴t=+﹣=．
∴在整个运动过程中⊙P与x轴有公共点的时间共有秒．
（3）若线段AB绕点O顺时针旋转90°，线段AB扫过的图形如图8所示，

过点O作OH⊥AB，垂足为H，过点O作OH′⊥A′B′，垂足为H′，如图所示，
则有OH=OA•sin∠HAO=3×=．同理可得：OH′=．
∵S弓形AR=S扇形OAR﹣S正△OAR=﹣×3×=﹣．
S扇形OBB′==，S扇形OHH′==．
S△OHB=S△OH′B′
∴S阴影=S弓形AR+S△OHB+S扇形OBB′﹣S扇形OHH′﹣S△OH′B′
=S弓形AR+S扇形OBB′﹣S扇形OHH′=﹣+﹣=．
∴线段AB扫过的面积是．














11．（2011•集美区校级一模）
解：（1）A（8，0）（0，6）
（2）当⊙P运动到P1时，与直线L相切
设切点为D则P1D=1
∵△ADP1∽△AOB∴∴∴AD=∴
∴OP1=8﹣=
∵动圆⊙P以4个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，
∴经过=秒与直线l相切．
当⊙P运动到P2时，则P2A=∴OP2=8+=∴经过4=秒与直线l相切．
（3）设运动时间为t，则BQ=5t，OP=4t
则点Q的横坐标为4t∴点P与Q的横坐标相同∴PQ∥y轴
∵△AOB的重心的坐标为（∴PQ过△AOB的重心时则4t=t=
∴经过秒直线PQ经过△AOB的重心M．
　





































12．（2015•宁波）
解：（1）①连接DM、MC，如图1．
∵OM是⊙P的直径，∴∠MDO=∠MCO=90°．
∵∠AOB=90°，∴四边形OCMD是矩形，
∴MD∥OA，MC∥OB，∴=，=．
∵点M是AB的中点，即BM=AM，∴BD=DO，AC=OC．
∵点M的坐标为（3，4），∴OB=2OD=8，OA=2OC=6，
∴点B的坐标为（0，8），点A的坐标为（6，0）；
②在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，∴AB==10．∴BM=AB=5．
∵∠OBM=∠EBD，∠BOM=∠BED，∴△OBM∽△EBD，∴=，∴=，
∴BE=，∴ME=BE﹣BM=﹣5=；
（2）连接DP、PE，如图2．
∵=3，∴OK=3MK，∴OM=4MK，PM=2MK，∴PK=MK．
∵OD=BD，OP=MP，∴DP∥BM，∴∠PDK=∠MEK，∠DPK=∠EMK．
在△DPK和△EMK中，，∴△DPK≌△EMK，∴DK=EK．
∵PD=PE，∴PK⊥DE，∴cos∠DPK==，∴∠DPK=60°，∴∠DOM=30°．
∵∠AOB=90°，AM=BM，∴OM=BM，∴∠OBA=∠DOM=30°；
（3）y关于x的函数解析式为y=．
提示：连接PD、OE，如图3．
设MK=t，则有OK=yt，OM=（y+1）t，
BM=OM=（y+1）t，DP=PM=，PK=﹣t=．
由DP∥BM可得△DKP∽△EKM，则有=，可得ME=t．
∵OM是⊙P的直径，∴∠OEM=90°，
∴OE2=OM2﹣ME2=[（y+1）t]2﹣[t]2=•（y2﹣2y），
即OE=•，
BE=BM+ME=（y+1）t+t=，∴x=tan∠OBA==，
∴x2==1﹣，整理得：y=．

13．（2013•宜兴市二模）解：（1）延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．
∵函数y=﹣x+2图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴x=0时，y=2，y=0时，x=2，
∴A（2，0），B（0，2），∴AO=BO=2．
又∵∠AOB=90°，∴∠DAO=45°．
∵C（﹣2，﹣2），∴∠COG=45°，∠AOD=45°，∴∠ODA=90°．
∴OD⊥AB，即CO⊥AB；
（2）要使△POA为等腰三角形．
①当OP=OA时，P的坐标为（0，2），
②当OP=PA时，由∠OAB=45°，所以点P恰好是AB的中点，所以点P的坐标为（1，1），
③当AP=AO时，则AP=2，
过点作PH⊥OA交OA于点H，
在Rt△APH中，则PH=AH=，∴OH=2﹣，∴点P的坐标为（2﹣，）；
（3）如图2，当直线PO与⊙C相切时，设切点为K，连接CK，
则CK⊥OK．由点C的坐标为（﹣2，﹣2），
可得：CO=．∵sin∠COK===，∴∠POD=30°，又∠AOD=45°，∴∠POA=75°，
同理可求得∠POA的另一个值为45°﹣30°=15°；
（4）∵M为EF的中点，
∴CM⊥EF，
又∵∠COM=∠POD，CO⊥AB，∴△COM∽△POD，
所以，即MO•PO=CO•DO．
∵PO=t，MO=s，CO=，DO=，∴st=4．
但PO过圆心C时，MO=CO=，PO=DO=，
即MO•PO=4，也满足st=4．∴s=，
∵OP最小值为，当直线PO与⊙C相切时，∠POD=30°，∴PO==，
∴t的取值范围是：≤t＜，
由（3）可得，点M的运动路线是以点Q为圆心（Q点为OC与⊙C的交点），为半径的一段圆弧，
可得⊙C和⊙Q是两个等圆，可得∠GQK=120°
弧GQK为实际运动路径，弧长=．

　










14．（2014秋•江阴市期中）解：（1）∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6．
∵∠AOB=90°，∴AB=10．
∵QC⊥AO，∴∠CQA=90°=∠BOA．∴QC∥OB．
∴△AQC∽△AOB．∴==．
∵OA=8，OB=6，AB=10，AQ=t，∴==．∴QC=t，AC=t．
∵OQ=OA﹣AQ=8﹣t，∴点C的坐标为（8﹣t，t）．
（2）①如图a，CP=CQ．

∵CP=AB﹣BP﹣AC=10﹣t﹣t=10﹣t，CQ=t，∴10﹣t=t．解得：t=．
②如图b，PC=PQ．
∵∠CQA=90°，∴∠PCQ+∠QAC=90°，∠PQC+∠AQP=90°．
∵PC=PQ，∴∠PCQ=∠PQC．∴∠AQP=∠QAC．
∴PQ=PA．∴PC=PA．∴AC=2AP．
∵AC=t，AP=10﹣t，∴t=2（10﹣t）．解得：t=．
③如图c，CQ=CP．
∵CQ=t，CP=t﹣（10﹣t）=t﹣10，∴t=t﹣10．解得：t=．
④如图d，QC=QP．过点Q作QN⊥AC于点N，
则有PN=CN=PC=（t﹣10）=t﹣5．
∵QC∥OB，∴∠QCN=∠OBA．
∵∠CNQ=∠BOA=90°，∴△CNQ∽△BOA．∴=．∴CN•AB=OB•CQ．
∴（t﹣5）×10=6×t．解得：t=．
综上所述：当t取或或或时，△CPQ是等腰三角形．
（3）如图e，连接QE．
∵CQ是⊙D的直径，∴∠CEQ=90°．∴∠QEA=90°=∠BOA．
∵∠EAQ=∠OAB，∴△QEA∽△BOA．∴=．∴AE=t．
∴CE=AC﹣AE=t﹣t=t，BC=10﹣t．
∵t=t＞t，∴AE＞CE．∴CE不可能是斜边．
①BC为斜边，则有BC2=CE2+AE2．∴（10﹣t）2=（t）2+（t）2．
整理得：18t2﹣625t+2500=0，解得：t1=，t2=
∵0≤t≤8，∴t=．
②AE为斜边，则有AE2=CE2+BC2．∴（t）2=（t）2+（10﹣t）2．
整理得：9t2﹣200t+800=0．解得：t3=，t4=．∵0≤t≤8，∴t=．
15．（2010•楚雄州）解：（1）如图1所示，连接AC，则AC=，
在Rt△AOC中，AC=，OA=1，则OC=2，
∴点C的坐标为（0，2）；
设切线BC的解析式为y=kx+b，它过点C（0，2），B（﹣4，0），
则有，解之得；∴．
（2）如图1所示，设点G的坐标为（a，c），过点G作GH⊥x轴，垂足为H点，
则OH=a，GH=c=a+2，
连接AP，AG；
因为AC=AP，AG=AG，所以Rt△ACG≌Rt△APG（HL），所以∠AGC=×120°=60°，
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=，∴sin60°=，∴AG=；
在Rt△AGH中，AH=OH﹣OA=a﹣1，GH=a+2，
∵AH2+GH2=AG2，∴（a﹣1）2+=，
解之得：a1=，a2=﹣（舍去）；∴点G的坐标为（，+2）．
（3）如图2所示，在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形．（9分）
要使△AEF为直角三角形，∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE≠90°，∴只能是∠EAF=90°；
当圆心A在点B的右侧时，过点A作AM⊥BC，垂足为点M，
在Rt△AEF中，AE=AF=，
则EF=，AM=EF=；
在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，则BC=2，
∵∠BOC=∠BMA=90°，∠OBC=∠OBM，∴△BOC∽△BMA，∴=，
∴AB=，∴OA=OB﹣AB=4﹣，
∴点A的坐标为（﹣4+，0）；
当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过点A′作A′M′⊥BC于点M′，可得：
△A′M′B≌△AMB，A′B=AB=，
∴OA′=OB+A′B=4+，∴点A′的坐标为（﹣4﹣，0）；
综上所述，点A的坐标为（﹣4+，0）或（﹣4﹣，0）．（13分）


　

16．（2013秋•滨湖区校级期中）解：（1）把B（0，6）代入直线y=﹣x+m，得m=6，
把y=0代入y=﹣x+6，得x=8，∴点A的坐标为（8，0）；
（2）在矩形OACB中，AC=OB=6，BC=OA=8，∠C=90°，∴AB=，
∵PD⊥AB，
∴∠PDB=∠C=90°，cos∠CBA==∴BD=∴AD=10﹣ 又∵BC∥AE，
∴△PBD∽△EAD，∴，即：∴AE=12.5﹣a，
∵S梯形PEAC=（PC+AE）AC，∴s=（8﹣a+12.5﹣a）6=﹣6a+61.5（4.5≤a＜8），
②⊙Q是△OAB的内切圆，可设⊙Q的半径为r，
∴S△OAB=（6+8+10）r=×6×8，解得r=2，
设⊙Q与OB、AB、OA分别切于点F、G、H，
可知，OF=2，∴BF=BG=OB﹣OF=6﹣2=4，
设直线PD与⊙Q交于点I、J，过Q作QM⊥IJ于点M，连接IQ、QG，
∵QI=2，IM=IJ=1.2，∴QM═1.6，
∴在矩形GQMD中，GD=QM=1.6，∴BD=BG+GD=4+1.6=5.6，
由cos∠CBA=，得BP=BD=7，
∴点P的坐标为（7，6），
当PE在圆心Q的另一侧时，同理可求点P的坐标为（3，6），
综上，P点的坐标为（7，6）或（3，6）．

　














17．（2012•深圳）
解：（1）①直线l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心M（4，2）时，则有：2=﹣2×4+b，∴b=10；
②若直线l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切，如答图1所示，应有两条符合条件的切线．
设直线与x轴、y轴交于A、B点，则A（，0）、B（0，b），∴OB=2OA．
由题意，可知⊙M与x轴相切，设切点为D，连接MD；
设直线与⊙M的一个切点为P，连接MP并延长交x轴于点G；
过P点作PN⊥MD于点N，PH⊥x轴于点H．
易证△PMN∽△BAO，∴PN：MN=OB：OA=2：1，∴PN=2MN．
在Rt△PMN中，由勾股定理得：PM2=PN2+MN2，解得：MN=，PN=，
∴PH=ND=MD﹣MN=2﹣，OH=OD﹣HD=OD﹣PN=4﹣，
∴P（4﹣，2﹣），代入直线解析式求得：b=10﹣2；
同理，当切线位于另外一侧时，可求得：b=10+2．
（2）由题意，可知矩形ABCD顶点D的坐标为（2，2）．
由一次函数的性质可知，当b由小到大变化时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）向右平移，依次扫过矩形ABCD的不同部分．
可得当直线经过A（2，0）时，b=4；当直线经过D（2，2）时，b=6；当直线经过B（6，0）时，b=12；当直线经过C（6，2）时，b=14．
①当0≤b≤4时，S=0；②当4＜b≤6时，如答图2所示．
设直线l：y=﹣2x+b与x轴交于点P，与AD交于点Q．
令y=0，可得x=，∴AP=﹣2；令x=2，可得y=b﹣4，∴AQ=b﹣4．
∴S=S△APQ=AP•AQ=（﹣2）（b﹣4）=b2﹣2b+4；
③当6＜b≤12时，如答图3所示．
设直线l：y=﹣2x+b与x轴交于点P，与CD交于点Q．
令y=0，可得x=，∴AP=﹣2；令y=2，可得x=﹣1，∴DQ=﹣3．
S=S梯形APQD=（DQ+AP）•AD=b﹣5；
④当12＜b≤14时，如答图4所示．
设直线l：y=﹣2x+b与BC交于点P，与CD交于点Q．
令x=6，可得y=b﹣12，∴BP=b﹣12，CP=14﹣b；
令y=2，可得x=﹣1，∴DQ=﹣3，CQ=7﹣．
S=S矩形ABCD﹣S△PQC=8﹣CP•CQ=b2+7b﹣41；
⑤当b＞14时，S=S矩形ABCD=8．
综上所述，当b由小到大变化时，S与b的函数关系式为：
．

　


18．（2014•东海县一模）解：（1）∵A（﹣2，0），∴OA=2，
∵P是半圆O上的点，P在y轴上，∴OP=2，∠AOP=90°，∴AC=2，
∴四边形AOPC是正方形，∴正方形的面积是4，
又∵BD⊥AB，BD=6，
∴梯形OPDB的面积===8，
∴点P的关联图形的面积是12．
（2）判断△OCD是直角三角形．
证明：延长CP交BD于点F，则四边形ACFB为矩形，
∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，
∴△OCD是直角三角形．
（3）连接OC交半圆O于点P，则点P即为所确定的点的位置．
理由如下：连接CD，梯形ACDB的面积===16为定值，
要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，
∵CD为定长，∴P到CD的距离就要最小，
连接OC，设交半圆O于点P，
∵AC⊥OA，AC=OA，∴∠AOC=45°，过C作CF⊥BD于F，则ACFB为矩形，
∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴OC⊥CD，OC=2，
∴PC在半圆外，设在半圆O上的任意一点P′到CD的距离为P′H，则P′H+P′O＞OH＞OC，
∵OC=PC+OP，∴P′H＞PC，
∴当点P运动到半圆O与OC的交点位置时，点P的关联图形的面积最大．
∵CD=4，CP=2﹣2，
∴△PCD的面积=CD×CP=××（2﹣2）=8﹣4，
∴点P的关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积﹣△PCD的面积=16﹣（8﹣4）=8+4．


　















19．（2012秋•滨湖区校级期中）
解：（1）∵直线AB的解析式为y=x﹣6，分别与x 轴y轴相交于A、B 两点．
∴当x=0时，y=﹣6，当y=0时，x=6，
∴A（6，0），B（0，﹣）；（2分）
（2）∵A（6，0），B（0，﹣）；
∴OA=6，OB=6，∴AB==12，
当⊙C与y轴相切时，设切点为D，连接CD，
则CD⊥y轴，∴CD∥OA，∴△BCD∽△BAO，∴CD：OA=BC：AB，
即1：6=BC：12，∴BC=2，
∵动点C从点B出发沿射线BA以3cm/秒的速度运动，∴t=；
当⊙C与x轴相切，且在x轴下方时，
设切点为E，连接CE，则CE⊥x轴，
∴CE∥OB，∴△AEC∽△AOB，∴EC：OB=AC：AB，
即1：6=AC：12，解得：AC=，
∴BC=AB﹣AC=12﹣，∴t=4﹣；
当⊙C与x轴相切，且在x轴上方时，BC=12+，
∴t=4+；
（3）∵在Rt△AOB中，tan∠OBA==，∴∠OBA=30°，
∵动点C从点B出发沿射线BA以3cm/秒的速度运动，
∴⊙C沿x轴正方向的速度为每秒1.5cm，
①第一次相切时，2t﹣1.5t=1，得：t=2，P1（4，0）；
②第二次相切 2t+1.5t+1=12，得t=，P2（，0）；
③第三次相切 2t+1.5t﹣1=12，得t=，P3（，0）；
④第四次相切 2t﹣12+1=1.5t，得t=22，
∵t≤，即t≤，∴t=22＞（不符合题意舍去）；
综上：p1（4，0）或P2（，0）或P3（，0）．

　





20．（2011•金华）解：（1）连接BC，
∵A（10，0），∴OA=10，CA=5，
∵∠AOB=30°，∴∠ACB=2∠AOB=60°，∴弧AB的长=；
（2）①若D在第一象限，连接OD，
∵OA是⊙C直径，∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，∴OB是AD的垂直平分线，∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，OE==，
∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4，
由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，∴，即，∴EF=3；
②若D在第二象限，连接OD，
∵OA是⊙C直径，∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，∴OB是AD的垂直平分线，∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，OE==，
∴AE=AO+OE=10+6=16，
由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，∴，即=，∴EF=12；∴EF=3或12；

（3）设OE=x，
①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角
形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，
当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC
中点，即OE=，∴E1（，0）；
当∠ECF=∠OAB时，有CE=5﹣x，AE=10﹣x，∴CF∥AB，有CF=，
∵△ECF∽△EAD，∴，即，解得：，
∴E2（，0）；
②当交点E在点C的右侧时，
∵∠ECF＞∠BOA，
∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，
连接BE，
∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，∴BE=AB=BD，
∴∠BEA=∠BAO，∴∠BEA=∠ECF，∴CF∥BE，∴，
∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，∴△CEF∽△AED，∴，
而AD=2BE，∴，
即，解得，＜0（舍去），∴E3（，0）；
③当交点E在点O的左侧时，
∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF．∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO
连接BE，得BE==AB，∠BEA=∠BAO∴∠ECF=∠BEA，∴CF∥BE，∴，
又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，
∴△CEF∽△AED，∴，
而AD=2BE，∴，∴，
解得x1=，x2=（舍去），
∵点E在x轴负半轴上，∴E4（，0），
综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，
此时点E坐标为：E1（，0）、E2（，0）、E3（，0）、E4（，0）．